» Решение квадратных уравнений с параметрами»

Документы в архиве:

Название документа квадратные уравнения с параметрами. ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

Решение квадратных уравнений с параметрами Схема исследования уравнения Если А=0, то В ∙х + с = 0 , х = Если А≠0, то находим дискриминант а) Д > 0 б) Д 0, а≠1 4(5а+4) ) > 0 , а > -4/5. б) Д -4/5 и а≠1 , то два различных корня, если а 2, то — нет решений а 0 Решение системы: Ответ:

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение имеет а) корни разных знаков; б) корни одного знака; в) положительные корни Решение. а) исходное уравнение имеет корни разных знаков, если выполняется условие По формулам Виета

б) исходное уравнение имеет корни одного знака, если выполняется условие в) ) исходное уравнение имеет положительные корни, если выполняется условие Ответ: если, то уравнение имеет корни разных знаков, если , то корни – одного знака; если , то положительные корни.

Чтобы скачать материал, введите свой E-mail, укажите, кто Вы, и нажмите кнопку

Нажимая кнопку, Вы соглашаетесь получать от нас E-mail-рассылку

Если скачивание материала не началось, нажмите еще раз «Скачать материал».

  • Математика

Решение задач с параметрами является одним из самыз трудных разделов школьной математики. При решении данных задач требуется, кроме хорошего знания стандартных методов решения уравнений и неравенств, умение проводить разветвленные логические построения, аккуратность и внимательность для того, чтобы не потерять решений ине приобрести лишних. В школьном курсе алгебры задачи с параметрами рассматриваются редко инет системы заданий по данной теме.

Презентация поможет школьнику ознакомиться с основным типом задач с параметром, связанных с квадратным трехчленом. В ней дана схема исследования квадратного уравнения с коэффициентами, зависящими от паораметров. При их решении исследуется дискриминант, используется формула нахождения корней квадратного трехчлена, отдельно рассматриваеися случай, когда коэффициент при х в квадрате равен нулю и уравнение не6 является квадратным. В презентации разобраны типовые примеры.

Урок «Решение квадратных уравнений с параметром»

Министерство образования и науки Самарской области

Государственное автономное образовательное учреждение дополнительного профессионального образования (повышения квалификации) специалистов

САМАРСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ИНСТИТУТ ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ

И ПЕРЕПОДГОТОВКИ РАБОТНИКОВ ОБРАЗОВАНИЯ

На курсах повышения квалификации

«Методические особенности обучения решению задач с параметром в условиях перехода к новым образовательным стандартам».

По ИОЧ ВБ 13.03.2017г-17.03.2017г

« Квадратные уравнения с параметрами»

Тихонова Надежда Викторовна,

БГПОУ Сызранский «политехнический колледж»

. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ

Уравнение вида ax2+bx+c=0, где a, b, c – числа, причем а≠0 называется

а – первый коэффициент, b – второй коэффициент, с – свободный член.

а) 2х2– 3х + 0,7 = 0

б) -0,9 х2+ 8 – 2 1/6х=0

Решим уравнение ax2+bx+c=0

а) если а=0, то уравнение имеет вид bx+c=0. Тогда x=-c|b

б) если а≠0, то уравнение имеет:

1) 2 различных корня х1≠х2, если Д>0,

2) 2 равных корня х1=х2, если Д=0

3) не имеет корней, если Д 0.

Решим неравенство 36-8b>0

Ответ: при t>281/8/

При каких значениях m равно один из корней уравнения равен нулю. х2 – 2х + 2m – 3 = 0

Решение: Если х = 0 , то имеем:

02 – 2 .0 + 2m – 3 = 0

Проверим, не равняется ли второй корень уравнения нулю.

При решении квадратного уравнения с параметрами контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х2 обращается в 0 . Дело в том, что если этот коэффициент равен нулю, то уравнение превращается в линейное и решается по соответствующему алгоритму; если же этот коэффициент отличен от нуля, то имеем квадратное уравнение, которое решается по иному алгоритму. Дальнейшее решение зависит от дискриминанта.

Решить уравнение х2 – (2р + 1)х + (р2 + р – 2) = 0

Решение: Здесь коэффициент перед х2 отличен от нуля, значит данное уравнение при любых значениях параметра является квадратным. Найдем дискриминант:

D = (2р + 1)2 – 4∙1(р2 + р – 2) = (4р2 + 4р + 1) – (4р2 + 4р – 8) = 4р2 + 4р + 1 – – 4р2 – 4р + 8 = 9

D > 0, значит квадратное уравнение имеет два решения

Ответ: при любых значениях р х1 = р + 2; х2 = р – 1

Решить уравнение рх2 +( 1 – р)х – 1 = 0

Решение: Мы не можем утверждать, что данное уравнение является квадратным. Рассмотрим контрольные (точки) значения р = 0, имеем два случая.

Если р=0, то получается уравнение вида 0∙х2 + х – 1 = 0, которое является линейным и имеет корень х = 1

Если р ≠0, то уравнение является квадратным, можно применять формулы корней квадратного уравнения.

D = (1 – р)2 – 4∙.р .(-1) = 1 – 2р + р2 + 4р = (1+ р)2

Ответ: при р = 0 х = 1; при р ≠0 х1 = 1 х2 = –

Решить уравнение: (а – 1)х 2 + 2(2а + 1)х + (4а + 3) = 0

Решение: здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х2 обращается в 0.

Если а – 1 = 0, а = 1, уравнение имеет вид 0∙ х2 + 6х + 7 = 0 и является линейным. Корнем этого уравнения является х =

Если а–1 ≠ 0, а ≠ 0, уравнение является квадратным. Найдем его дискриминант.

D = (2∙(2а + 1))2 – 4(а – 1)(4а + 3) = 4(4а2 + 4а + 1) – 4(4а2 – а – 3) = 4(5а + 4)

Дальнейшие рассуждения зависят от значения дискриминанта.

Если D 0, то уравнение имеет два корня.

Дискриминант обращается в нуль при а = – (можно сказать, что это – второе контрольное значение параметра; при переходе через него происходит качественное изменение уравнения – меняется число корней уравнения).

Если а – , то если D > 0 и, значит квадратное уравнение имеет два корня:

Если а = – , то D = 0, то уравнение имеет единственное решение

Ответ: при а = 1, х = – ;

Иногда задания сформулированы так, что искать корни нет необходимости.

При каких значениях m ровно один из корней х2+(m+3)х +|m| – 3 = 0

уравнения равен нулю.

Решение. Если нуль является корнем уравнения, квадратный трехчлен х2+(m+3)х +|m| – 3 при х = 0 обращается в нуль . 02+(m+3) .0 +|m| – 3 = 0

|m| – 3 = 0 m1 = 3 m2 = –3

Найдем второй корень при найденных значениях m.

Если m=3, то уравнение принимает вид х2+6х = 0; х1 = 0 х2 = –6

Если m= –3, то уравнение принимает вид х2 = 0 , которое имеет два кратных корня, равных нулю.

Сколько корней имеет уравнение 3х (х – 1) 2 = kх в зависимости от значения параметра k ?

Решение: 3х (х – 1) 2 = kх

3х (х – 1) 2 – kх = 0

х (3(х – 1) 2 – k) = 0

Один корень есть всегда – х0 = 0

Исследуем 3х 2 – 6х + 3 – k = 0

D = 32 – 3(3 – k) = 3k

а) Если k = 0, существует один корень х = 1;

б) Если k > 0, существуют два корня х1 = х2 = , но необходимо исследовать случай, когда один из корней равен 0 . Это так, если k = 3;

Квадратные уравнения с параметром

Уравнение называется квадратным, если имеет вид \(ax^2+bx+c=0,\) где \(a, b,c\) — любые числа \((a≠0)\). При этом надо быть внимательным, если \(a=0\), то уравнение будет линейным, а не квадратным. Поэтому, первым делом при решении квадратного уравнения с параметром, рекомендую смотреть на коэффициент при \(x^2\) и рассматривать 2 случая: \(a=0\) (линейное уравнение); \(a≠0\) (квадратное уравнение). Квадратное уравнение часто решается при помощи дискриминанта или теоремы Виета. Проведем анализ уравнения. Для этого рассмотрим квадратный трехчлен: $$f(x)=ax^2+bx+x, a≠0.$$ График этой функции — парабола. Пусть \(x_1\) и \(x_2\) корни нашего уравнения, другими словами, они являются нулями функции \(f(x)\). И пусть \(x_1≤x_2\). Знания, которые могут потребоваться:

  • Может пригодиться, что абсциссу вершины параболы можно найти по формуле: \(x_0=\frac<-b><2a>,\) а \(f(x_0)\) – значение функции в вершине. Отметим, что вершина параболы будет точкой минимума или максимума функции \(f(x)\) в зависимости от того, куда направлены ветки параболы.
  • Важно помнить особенности дискриминанта:
    1. \(D>0\) – парабола пересекает ось \(x\) в двух точках: \(x_1\) и \(x_2\). В этих точках \(f(x)=0\). Или, другими словами, при дискриминанте большем нуля у нас будет два корня квадратного уравнения.
    2. \(D=0\) – парабола пересекает ось \(x\) в одной точке (один корень). Это означает, что вершина параболы лежит на оси \(x\).
    3. \(D 0\), ветки параболы направлены вверх. Если \(a

Чтобы решить квадратное уравнение с параметром, нужно понять, при каких значениях параметра существуют корни, и найти их, выразив через параметр. Обычно это делается просто через анализ дискриминанта. (см. пример 1) Но иногда в задачах с параметром просят найти такие значения параметра, при которых корни принадлежат определенному числовому промежутку. Например:

  • Найдите такие значения параметра, чтобы оба корня были меньше некоторого числа \(γ\): \(x_1≤x_2 0)\); ветки параболы направлены вниз \((a 0\). Значит, между корнями функция принимает отрицательные значения, а вне этого отрезка – положительные. Так как наше число \(γ\) должно по условию лежать вне отрезка \((x_1,x_2)\), то \(f(γ)>0\).
  • \(a 0\). Этим условием мы накладываем ограничение, что наши корни должны лежать слева или справа от числа \(γ\).

В итоге получаем:

если \(a*f(γ) 0\), то \(γ∉(x_1,x_2)\).

Нам осталось наложить условие, чтобы наши корни были слева от числа \(γ\). Здесь нужно просто сравнить положение вершины нашей параболы \(x_0\) относительно \(γ\). Заметим, что вершина лежит между точками \(x_1\) и \(x_2\). Если \(x_0 0, \\x_0

При каких значениях параметра a уравнение $$a(a+3) x^2+(2a+6)x-3a-9=0$$ имеет более одного корня?

1 случай: Если \(a(a+3)=0\), то уравнение будет линейным. При \(a=0\) исходное уравнение превращается в \(6x-9=0\), корень которого \(x=1,5\). Таким образом, при \(a=0\) уравнение имеет один корень.
При \(a=-3\) получаем \(0*x^2+0*x-0=0\), корнями этого уравнения являются любые рациональные числа. Уравнение имеет бесконечное количество корней.

2 случай: Если \(a≠0; a≠-3\), то получим квадратное уравнение. При положительном дискриминанте уравнение будет иметь более одного корня: $$D>0$$ $$D/4=(a+3)^2+3a(a+3)^2>0$$ $$(a+3)^2 (3a+1)>0$$ $$a>-\frac<1><3>.$$ С учетом \(a≠0;\) \(a≠-3\), получим, что уравнение имеет два корня при \(a∈(-\frac<1><3>;0)∪(0;+∞)\). Объединив оба случая получим (внимательно прочитайте, что от нас требуется):

Найти все значения параметра a, при которых корни уравнения $$(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1=0$$ принадлежат отрезку \([-2;2]\).

1 случай: Если \(a=-1\), то \(0*x^2-x+1-1=0\) отсюда \(x=0\). Это решение принадлежит \([-2;2]\).

2 случай: При \(a≠-1\), получаем квадратное уравнение, с условием, что все корни принадлежат \([-2;2]\). Для решения введем функцию \(f(x)=(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1\) и запишем систему, которая задает требуемые условия:

Подставляем полученные выражения в систему: