Решение на Задание 769 из ГДЗ по Математике за 5 класс: Виленкин Н. Я

Поиск в решебнике

Популярные решебники

Издатель: Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. 2013г.

Издатель: А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. 2014г.

Издатель: С. М. Никольский, М. К, Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. 2015г.

Издатель: Г. В. Дорофеев, И. Ф. Шарыгин, С. Б. Суворова. 2017г.

Издатель: И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. 2013г.

Найдите сумму площадей четырехугольников изображенных на рисунке 81

Задание 3. Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рисунок). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

1-й способ. Площадь четырехугольника вычислим как разность между площадью прямоугольника, охватывающий четырехугольник и площадями четырех треугольников и одного прямоугольника (см. рисунок ниже).

Площади треугольников равны

Площадь прямоугольника (малого) равна

Таким образом, суммарная вычитаемая площадь составляет

Площадь большого прямоугольника равна

Следовательно, площадь четырехугольника равна

2-й способ. Для вычисления площади сложной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге, можно воспользоваться формулой Пика:

где M – число точек на гранях фигуры (на сторонах и вершинах – синие точки на рисунке); N – число точек внутри фигуры (красные точки на рисунке). Причем точки выбираются только на пересечении линий (см. рисунок ниже).

Из рисунка видно, что M = 10, а N = 12. Имеем площадь:

Задача B5: площадь фигур с вершиной в начале координат

Этот видео урок посвящен вычислению площадей многоугольников без координатной сетки. Основная трудность решения этой задачи состоит в том, что одна из вершин четырехугольника лежит в начале координат. На практике ничего сложного в этом нет, но почему-то многие ученики в этом путаются и думают, что эта задача решается как-то по-особенному. Давайте посмотрим, как решаются такие задачи B5.

Задача. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на рисунке.

Итак, решаем. В действительности ничего особенного здесь нет. Чертим описанный прямоугольник, причем две из его сторон будут проходить через начало координат. Кроме того, в прямоугольнике есть тупой угол, поэтому спроецируем вершину этого угла на ближайшие стороны описанного прямоугольника. Получили четыре дополнительных фигуры. Обозначим их как S 1, S 2, S 3 и S 4. Взгляните на рисунок:

Возвращаемся к решению задачи. Для работы нам потребуется формула площади прямоугольного треугольника:

где a и b — катеты. А так же формула площади прямоугольника со смежными сторонами a и b :

Прежде чем перейти, собственно, к решению, необходимо найти стороны данных в задаче треугольников и прямоугольников.

Итак, треугольник S 1. Больший его катет равен 4, потому что одна точка лежит в начале координат, а другая точка имеет координаты (0; 4). Вычитаем из ординаты y = 4 ординату y = 0 и получаем 4. Аналогично, второй катет равен 2, так как 2 − 0 = 2.

Далее, у треугольника S 2 больший катет равен 2, а меньший 1. У прямоугольника S 3 одна сторона равна 1, а другая равна 2, потому что 2 − 0 = 2. Ну, и наконец, в треугольнике S 4 один катет уже известен — это 2, а другой катет равен 7 − 0 = 7. Теперь считаем площади:

S 1 = 0,5 · 4 · 2 = 4;
S 2 = 0,5 · 2 · 1 = 1;
S 3 = 2 · 1 = 2;
S 4 = 0,5 · 2 · 7 = 7.

Кроме того, нам необходима площадь всего описанного прямоугольника:

Поясню, откуда берутся эти числа. 4 — это одна из сторон прямоугольника, известная нам изначально. А вот вторую сторону нужно найти. Крайняя точка имеет абсциссу x = 8, а вторая точка имеет абсциссу x = 0, получаем 8 − 0 = 8.

Теперь осталось найти площадь закрашенной фигуры, которая и требуется в задаче B5. Для этого нужно из общей площади прямоугольника вычесть сумму площадей всех фигур, входящих в разбиение:

S = S 0 − ( S 1 + S 2 + S 3 + S 4) = 32 − (4 + 1 +2 + 7) = 32 − 14 = 18

Вот и все! Площадь искомого четырехугольника найдена. Она равна 18. Как видите, ничего сложного в задачах B5 из ЕГЭ по математике нет.