Решение задач по математике онлайн

Программа решения неравенств не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т. е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Причём, если в процессе решения неравенства нужно решить, например, квадратное уравнение, то его подробное решение также выводится (оно заключается в спойлер).

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Нажмите на кнопку для изменения типа неравенства.

Выберите нужный знак неравенства и введите многочлены в поля ниже.
Решить неравенство

Т. к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек.

Немного теории.

Сравнивать величины и количества при решении практических задач приходилось ещё с древних времён. Тогда же появились и такие слова, как больше и меньше, выше и ниже, легче и тяжелее, тише и громче, дешевле и дороже и т. д., обозначающие результаты сравнения однородных величин.

Понятия больше и меньше возникли в связи со счётом предметов, измерением и сравнением величин. Например, математики Древней Греции знали, что сторона любого треугольника меньше суммы двух других сторон и что против большего угла в треугольнике лежит большая сторона. Архимед, занимаясь вычислением длины окружности, установил, что периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых диаметра.

Символически записывать соотношения между числами и величинами с помощью знаков > и b. Записи, в которых два числа соединены одним из знаков: > (больше), \frac<1> <3>\) верное числовое неравенство, 0,23 > 0,235 — неверное числовое неравенство.

Неравенства, в которые входят неизвестные, могут быть верными при одних значениях неизвестных и неверными при других. Например, неравенство 2x+1>5 верное при х = 3, а при х = -3 — неверное. Для неравенства с одним неизвестным можно поставить задачу: решить неравенство. Задачи решения неравенств на практике ставятся и решаются не реже, чем задачи решения уравнений. Например, многие экономические проблемы сводятся к исследованию и решению систем линейных неравенств. Во многих разделах математики неравенства встречаются чаще, чем уравнения.

Некоторые неравенства служат единственным вспомогательным средством, позволяющим доказать или опровергнуть существование определённого объекта, например, корня уравнения.

Далее вы узнаете свойства неравенств, научитесь решать неравенства. Полученные умения вам понадобятся при изучении последующего материала, для решения практических задач, а также задач физики и геометрии.

Числовые неравенства

Вы умеете сравнивать целые числа, десятичные дроби. Знаете правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями, но разными числителями; с одинаковыми числителями, но разными знаменателями. Здесь вы научитесь сравнивать любые два числа с помощью нахождения знака их разности.

Сравнение чисел широко применяется на практике. Например, экономист сравнивает плановые показатели с фактическими, врач сравнивает температуру больного с нормальной, токарь сравнивает размеры вытачиваемой детали с эталоном. Во всех таких случаях сравниваются некоторые числа. В результате сравнения чисел возникают числовые неравенства.

Определение. Число а больше числа b, если разность а-b положительна. Число а меньше числа b, если разность а-b отрицательна.

Если а больше b, то пишут: а > b; если а меньше b, то пишут: а b означает, что разность а — b положительна, т. е. а — b > 0. Неравенство а b, a = b, a , = или b и Ь > с, то а > с.

Теорема. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится.
Следствие.Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный.

Теорема. Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.
Следствие. Если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

Вы знаете, что числовые равенства можно почленно складывать и умножать. Далее вы научитесь выполнять аналогичные действия с неравенствами. Умения почленно складывать и умножать неравенства часто применяются на практике. Эти действия помогают решать задачи оценивания и сравнения значений выражений.

При решении различных задач часто приходится складывать или умножать почленно левые и правые части неравенств. При этом иногда говорят, что неравенства складываются или умножаются. Например, если турист прошёл в первый день более 20 км, а во второй — более 25 км, то можно утверждать, что за два дня он прошёл более 45 км. Точно так же если длина прямоугольника меньше 13 см, а ширина меньше 5 см, то можно утверждать, что площадь этого прямоугольника меньше 65 см2.

При рассмотрении этих примеров применялись следующие теоремы о сложении и умножении неравенств:

Теорема. При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака: если а > b и c > d, то a + c > b + d.

Теорема. При умножении неравенств одинакового знака, у которых левые и правые части положительны, получается неравенство того же знака: если а > b, c > d и а, b, с, d — положительные числа, то ac > bd.

Неравенства со знаком > (больше) и 1/2, 3/4 b, c и и b, \quad ax

Решение неравенств второй степени с одной переменной

Неравенства вида
\( ax^2+bx+c >0 \) и \( ax^2+bx+c 0 \) или \( ax^2+bx+c 0 или вниз при a 0 или в нижней при a 0 \) ) или ниже оси x (если решают неравенство
\( ax^2+bx+c

Решение неравенств методом интервалов

Рассмотрим функцию
f(x) = (х + 2)(х — 3)(х — 5)

Областью определения этой функции является множество всех чисел. Нулями функции служат числа -2, 3, 5. Они разбивают область определения функции на промежутки \( (-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5) \) и \( (5; +\infty) \)

Выясним, каковы знаки этой функции в каждом из указанных промежутков.

Выражение (х + 2)(х — 3)(х — 5) представляет собой произведение трех множителей. Знак каждого из этих множителей в рассматриваемых промежутках указан в таблице:

Укажите решение неравенства 3-5х меньше или равно х+3

На каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство ре­ше­ний не­ра­вен­ства

В ответе укажите номер правильного варианта.

Решим неравенство: &nbsp Кор­ня­ми урав­не­ния яв­ля­ют­ся числа 1 и 3. Поэтому

Множество ре­ше­ний не­ра­вен­ства изоб­ра­же­но на рис. 1.

Правильный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Решение ка­ко­го из дан­ных не­ра­венств изоб­ра­же­но на рисунке?

В ответе укажите номер правильного варианта.

Решим каж­дое из неравенств.

1) &nbsp — ре­ше­ний нет.

3) &nbsp верно для всех

На ри­сун­ке изоб­ра­же­но ре­ше­ние четвёртого неравенства.

Правильный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

В ответе укажите номер правильного варианта.

Произведение двух со­мно­жи­те­лей будет боль­ше нуля, если оба со­мно­жи­те­ля имеют оди­на­ко­вый знак.

Правильный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

В от­ве­те укажите номер пра­виль­но­го варианта.

Произведение двух со­мно­жи­те­лей будет мень­ше нуля, если его со­мно­жи­те­ли имеют раз­ный знак.

Правильный ответ ука­зан под но­ме­ром 3

При закрашенных точка квадратные скобки, а не круглые.

Точки и не закрашены, т. к. это строгое неравенство. Поэтому и скобки круглые.

В от­ве­те укажите номер пра­виль­но­го варианта.

Про­из­ве­де­ние двух со­мно­жи­те­лей будет боль­ше нуля, если его со­мно­жи­те­ли имеют одинаковый знак.

Правильный ответ ука­зан под но­ме­ром 2

В ответе укажите номер правильного варианта.

Решим дан­ное неравенство:

. Про­из­ве­де­ние двух со­мно­жи­те­лей будет боль­ше нуля, если его со­мно­жи­те­ли имеют оди­на­ко­вый знак.

В дан­ном слу­чае это вы­пол­ня­ет­ся при сле­ду­ю­щих зна­че­ни­ях :

Решением не­ра­вен­ства будет яв­лять­ся объ­еди­не­ние этих промежутков: , что со­от­вет­ству­ет пер­во­му ва­ри­ан­ту ответа.

Укажите решение неравенства (х+3)(х-5)

Ответ или решение 1

1) Найдем корни уравнения (х + 3)(х — 5) = 0.

Произведение равно 0, если хотя бы один из множителей равен 0:

х + 3 = 0 или х — 5 = 0,

Так находим точки пересечения графика функции у = (х + 3)(х — 5) с осью ординат.

2) Преобразуем функцию к виду:

Графиком этой функции является парабола — ветви, которой направлены вверх, поэтому у ≤ 0 при х є [-3; 5].

А это значит, что неравенство (х + 3)(х — 5) ≤ 0 справедливо при х є [-3; 5].