Решение задач с помощью линейных уравнений 7 класс решение

Мы уже рассматривали примеры функциональных зависимостей между величинами как математические модели реальных процессов. Теперь рассмотрим текстовые задачи, математическими моделями которых являются линейные уравнения и уравнения, сводящиеся к линейным.

Решать задачу с помощью уравнения следует в такой последовательности:

1) обозначить переменной одну из неизвестных величин;

2) другие неизвестные величины (если они есть) выразить через введенную переменную:

3) по условию задачи установить соотношение между неизвестными и известными значениями величин и составить уравнение;

4) решить полученное уравнение;

5) проанализировать решение уравнения и найти неизвестную величину, а при необходимости и значения остальных неизвестных величин;

6) записать ответ к задаче.

Рассмотрим несколько задач и решим их с помощью линейного уравнения.

Задача 1. На свой день рождения сестренки-близняшки Наталья и Елена получили вместе 127 поздравительных SMS — сообщений, причем Наталья получила 13 сообщений больше, чем Елена. По сколько SMS — сообщений на свой день рождения получила каждая из сестричек?

Решения. Пусть Елена получила х сообщений, тогда Наталья — (х + 13). А обе вместе — (х + х + 13) сообщений, что по условию равна 127.

Имеем уравнение: х + х + 13 = 127. Откуда х = 57.

Итак, Елена получила 57 сообщений,

57 + 13 = 70 (сообщ.) — получила Наталья.

В и д п о в е д ь: 70 сообщений; 57 сообщений.

Задача 2. Максимально возможная сумма кредита рассчитывается банком по формуле:

где S — сумма кредита, С — среднемесячная зарплата заемщика. Для кредита сроком в один год считают, что n = 9, сроком два года — n = 21, сроком на три года — n = 33. Какой должна быть наименьшая среднемесячная зарплата заемщика, чтобы банк падал ему кредит в сумме 30 000 грн на:

Р а з в ’ я з а н н я. По условию S = 30 000 грн. Пусть наименьшая среднемесячная зарплата заемщика составляет х грн.

1) Имеем уравнение: 30 000 = ∙ 9; откуда х = 10 000.

Следовательно, среднемесячная зарплата заемщика должна быть не меньше 10 000 грн.

2) Имеем уравнение: 30 000 = ∙ 21; откуда х ≈ 4285,7.

Следовательно, среднемесячная зарплата должна быть не меньше 4286 грн.

3) Имеем уравнение: 30 000 = ∙ 33; откуда х ≈ 2727,3.

Итак, если заемщик хочет получить кредит на три года, то его среднемесячная зарплата должна быть не меньше 2728 грн.

В и д п о в е д ь: 1) 10 000 грн; 2) 4286 грн; 3) 2728 грн.

Задача 3. Из города А до города В. расстояние между которыми 310 км, выехал грузовой автомобиль. Через 30 мин после этого из города В в город А выехал легковой автомобиль, скорость которого на 20 км/ч больше скорости грузового. Автомобили встретиться через 2 ч после выезда легкового автомобиля. Найти скорость каждого автомобиля.

Р а з в ’ я з а н н я. Пусть скорость грузового автомобиля — х км/час. Условие задачи удобно представить в виде таблицы:

Поскольку автомобили выехали в противоположных направлениях и встретились, то вместе они проехали 310 км.

Имеем уравнение: 2, 5х + 2(х + 20) = 310.

Решим его: 2,5 х + 2х + 40 = 310; 4,5 = 270;

х = 60 (км/ч) — скорость грузового автомобиля;

60 + 20 — 80 (км/ч) — скорость легкового автомобиля.

Ответ: 60 км/ч; 80 км/час.

Какого порядка следует придерживаться, решая задачу с помощью уравнения?

892. (Устно) Одно число на 20 больше второго. Меньше из них обозначено через х. Выразите через х большее из этих чисел.

893. (Устно) Одно положительное число в 5 раз больше за второе. Меньше из них обозначено через х. Выразите через х большее из этих чисел.

894. На одной клумбе растет х кустов роз, а на второй — вдвое больше. Выразите через х количество кустов роз, что растет на второй клумбе.

895. (Устно) Расстояние, равное х км велосипедист преодолевает за 5 часов. Выразите через х скорость его движения.

896. (Устно) Первое число обозначили через х, а второе составляет четверть от первого. Выразите второе число через х.

897. Первое число равно х , а второе составляет 70 % от первого. Выразите через х второе число.

898. (Устно) Сумма длин двух отрезков равна 10 см. Длина одного из других см. Выразите через х длину второго отрезка.

899. (Устно) Собственная скорость лодки равна 18 км/ч, а скорость течения — х км/час. Выразите через х скорость лодки по течению и против течения.

900. Загадали число. Если от него отнять 7 и полученный результат разделить на 9, то получим 12. Какое число загадали?

901. Найдите число, половина которого вместе с его третей частью равна 40.

902. В двух цистернах вместе 58 т топлива, причем в первой на 4 т меньше, чем во второй. Сколько тонн горючего в каждой цистерне?

903. В автопарке грузовых автомобилей в 6 раз больше, чем легковых. Сколько легковых автомобилей в автопарке, если их вместе с грузовыми 91?

904. Одно из двух положительных чисел втрое больше второго. Найдите эти числа, если их разность равна 28.

905. Бабушки вместе с мамой 99 лет. Сколько лет каждой из них, если бабушка старше мамы на 25 лет?

906. Сумма двух чисел 360, а их отношение равно 5 : 7. Найдите эти числа.

907. Разность двух чисел 42, а их отношение равно 7 : 4. Найдите эти числа.

908. Периметр треугольника равен 20 дм. Две его стороны равны между собой и каждая из них на 1 дм больше третьей. Найдите стороны треугольника.

909. За два дня было продано 384 кг бананов, причем второго дня продали от того, что продали первого. Сколько килограммов бананов продали в первый день и сколько — во второй?

910. Туристы за второй день преодолели от того расстояния, которое преодолели первого дня. Сколько километров преодолели туристы первого дня и сколько второго, если за первый день было преодолено на 3 км больше, чем за второй?

911. За стиральную машину и ее подключение заплатили 2940 грн. Стоимость подключения составляет 5 % от стоимости машина. Сколько стоит стиральная машина?

912. Бабушка лепила вареники в течение двух часов. За второй час она вылепила на 5 % больше вареников, чем за первую. Сколько вареников изготовила бабушка за первый час и сколько за вторую, если за второй час она вылепила на 3 вареники больше, чем за первую?

913. За 2 ч мотоциклист преодолевает такое же расстояние, что и велосипедист за 5 часов. Скорость мотоциклиста на 27 км/ч больше скорости велосипедиста. Найдите скорость каждого из них.

914. Ящик с апельсинами на 3 кг тяжелее, чем ящик с лимонами. Какова масса каждого из них, если масса четырех ящиков с апельсинами такая же, как масса пяти ящиков с лимонами?

915. Из города в село турист шел со скоростью 4 км/ч, а возвращался назад со скоростью 3 км/час. На весь путь он затратил 7 часов. Найдите расстояние от города до села.

916. Периметр прямоугольника равен 36 см, причем одна из его сторон на 4 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника и его площадь.

917. Во время летних каникул Сергей прочитал вдвое больше рассказов, чем Костя. Однако в течение сентября Костя успел прочитать еще 24 рассказа, после чего оказалось, что ребята прочитали одинаковое количество рассказов. Сколько рассказов прочитал каждый из ребят к началу учебного года?

918. У Маши было втрое больше денег, чем у Оли. После того как Маша потратила 18 грн, денег у девочек стало поровну. Сколько денег имела каждая из девушек сначала?

919. Сеть кондитерских к годовщине своего открытия дарила посетителям наборы сладостей торговых марок «Хорошо», «Сладко» и «Вкусно». В конце празднования выяснилось, что наборов «Сладко» было подарено на 12 больше, чем наборов «Хорошо», а наборов «Вкусно» — на 31 больше, чем &всехuo;Сладко». По сколько наборов каждой марки было подарено, если посетителей было 430 и каждый из них получил по одному набору?

920. Одна сторона треугольника на 9 см меньше второй и вдвое меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 105 см.

921. Можно разложить 68 банок консервов в три ящика так, чтобы во втором было вдвое больше банок, чем в первом, а в третьем — на 3 банки меньше, чем в первом?

922. Или можно 90 книг разместить на трех полках так, чтобы на третий было на 3 книги больше, чем на второй, и на 5 книг меньше, чем на первой?

923. Отцу сейчас — 38 лет, а его сыну — 10. Через сколько лет отец будет втрое старше сына?

924. На одном участке кустов крыжовника и втрое больше, чем на второй. Если с первого участка пересадить 12 кустов на второй, то кустов крыжовника на обоих участках станет поровну. По сколько кустов крыжовника растет на каждом участке?

925. В двух корпусах пансионата проживала одинаковое количество отдыхающих. В связи с проведением ремонта было решено переселить 24 отдыхающие из первого корпуса ко второму, после чего количество отдыхающих в первом корпусе стала в 4 раза меньше, чем во втором. По сколько отдыхающих проживало в каждом корпусе до начала ремонтных работ?

926. В двух мешках сахара было поровну. После того как из первого мешка пересыпали 8 кг до второго, в нем стало вдвое меньше сахара, чем во втором. По сколько килограммов сахара было в каждом мешке сначала?

927. На 33 гривны было приобретено 24 тетради в линейку и клеточку. Стоимость тетради в линейку — 1 грн 20 коп., а в клеточку — 1 грн 50 коп. По сколько тетрадей каждого вида купили?

928. Для копирования видеозаписи праздника последнего звонка приобрели 12 лазерных дисков двух видов: по 2,5 грн и по 3,25 грн за единицу, всего на сумму 33,75 грн. По сколько дисков каждого вида было приобретено?

929. Старинная греческая задача. У Пифагора спросили: «Сколько учеников учится в твоей школе?». На что он ответил: «Половина всех моих учеников изучает математику, четверть — музыку, седьмая часть молчит, и, кроме того, есть еще три женщины». Сколько учеников обучалось в школе Пифагора?

930. Масса бидона с молоком составляет 25 кг и еще половину его массы. Какова масса бидона с молоком?

931. от одного числа равна — от второго. Найдите эти числа, если их сумма равна 66.

932. 60 % от одного числа равны 45 % от второго. Найдите эти числа, если их сумма равна 210.

933. Лодка потратил на путь по течению 2,5 ч, а против течения 3,6 час. Расстояние, которое проплыл лодка по течению, оказался на 7,6 км меньше, чем расстояние, которое он проплыл против течения. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения равна 2 км/ч.

934. Катер по течению реки плыл 1,6 ч, а против течения — 2,5 час. Расстояние, которое преодолел катер против течения, оказалась па 6,2 км больше, чем расстояние, которое преодолел катер по течению. Найдите скорость течения, если собственная скорость катера равна 16 км/час.

935. Из пункта А до пункта В со скоростью 12 км/ч выехал велосипедист. Через 3 ч из пункта В В пункт А выехал мотоциклист со скоростью 45 км/час. Сколько часов до встречи с мотоциклистом ехал велосипедист, если расстояние от А до В составляет 235,5 км? На каком расстоянии от пункта А произошла их встреча?

936. С коттеджного городка в направлении железнодорожной станции со скоростью 14 км/ч выехал велосипедист, а через 2 ч после него оттуда же, но в противоположном направлении со скоростью 4 км/ч вышел пешеход. Через сколько часов после своего выхода пешеход будет на расстоянии 73 км от велосипедиста? На каком расстоянии от коттеджного городка в это время он будет находиться?

937. Один арбуз на 5 кг легче второй и в три раза легче, чем третий. Первый и третий арбузы вместе в два раза тяжелее второй. Найдите массу каждого арбуза.

938. Во время подготовки к олимпиаде по математике Иван решил на 3 задачи меньше, чем Оксана, и в 2 раза меньше, чем Сергей. При этом Иван и Сергей вместе развязали в 2,1 раза больше задач, чем Оксана. Какое количество задач решил каждый ученик, готовясь к олимпиаде?

Упражнения для повторения

939. Вычислите:

940. Сколько процентов составляет:

1) число 7 от числа 28;

2) число 2,7 от числа 3 ?

941. Объясните, почему не имеют решений уравнения:

942. Найдите все значения а, при которых уравнение ах = -8 имеет:

1) положительный корень;

2) отрицательный корень.

Интересные задачи для учеников ленивых

943. Муж, жена и двое детей должны переправиться с помощью лодки на противоположный берег реки. Масса человека — 80 кг, его жены — 60 кг, детей — по 40 кг. Как им воспользоваться лодкой, если он выдерживает массу до 80 кг и каждый в этой семье умеет грести.

Домашняя самостоятельная работа № 5

Каждое задание масс по четыре варианта ответов (А-Г), среди которых только один с правильным. Выберите вариант правильного ответа.

1. Из записей является уравнением?

2. Какое из уравнений является линейным?

3. Одно из двух чисел на 13 меньше вторых. Меньше из них обозначили через х. Как обозначить больше из них?

4. Решите уравнение 2х = -10.

5. Какое из уравнений равносильно уравнению 3х — 8 = 10?

6. Периметр прямоугольника равен 20 см, причем одна из сторон прямоугольника на 2 см меньше второй. Найдите меньшую сторону прямоугольника.

7. Укажите уравнение, корнем которого является любое число.

8. Найдите корень уравнения + = .

9. Приобрели 20 карандашей по 80 коп. и 90 коп., заплатив за всю покупку 17 грн 10 коп. Сколько карандашей по 80 коп. приобрели?

10. Решите уравнение |2х — 1| = 5.

11. Найдите наименьшее целое значение а, при котором корнем уравнения ах = 8-целое число.

12. 80 % от одного числа равна от другого. Найдите меньшее из этих чисел, если их сумма равна 76.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРОВЕРКИ ЗНАНИЙ К § 22 — § 24

1. Или с число 4 корнем уравнения:

2. Какие из уравнений являются линейными:

3. Сколько корней имеет уравнение:

4. Решите уравнение:

5. Или равносильные уравнения 3х — 2 = х + 8 и 2(х — 3) = х — 1?

6. В одной корзине было в два раза больше грибов, чем во втором. По сколько грибов было в каждой корзине, если в обеих корзинах вместе было 78 грибов?

7. Решите уравнение:

2) 5х — (х + 5) = 4(х — 2).

8. Лодка по течению плыл 3,5 ч, а против течения — 4,2 час. Расстояние, которое проплыл лодка по течению, оказался на 9,8 км больше, чем расстояние, которое он проплыл против течения. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения равна 2 км/ч.

9. Найдите все целые значения а, при которых корень уравнения ах = -6 является целым числом.

10. Решите уравнение |3 — 4х| = 5.

11. Из города в деревню отправился пешеход со скоростью 4 км/час. Через 2 ч из деревни в город выехал велосипедист со скоростью 16 км/час. Сколько часов до встречи с пешеходом ехал велосипедист, если расстояние от села до города составляет 38 км?

Решение задач с помощью систем линейных уравнений. 7-й класс

Разделы: Математика

Аннотация: Урок объяснения нового материала. На уроке рассматриваются три разных способа решения одной задачи. Тем самым школьники приучаются анализировать условие задачи и выбирать более простой способ решения. Первый опыт применения уравнений для решения текстовых задач у учащихся уже имеется. Различные способы решения систем линейных уравнений уже изучены. И одна из целей урока — показать использование системы уравнений как математической модели реальной ситуации. Использование на уроке технических средств позволяет сделать урок ярким, насыщенным, полным и дает возможность мгновенно осуществить проверку решаемых на уроке заданий. Это очень важно, так как экономится время, а учащиеся, работающие самостоятельно, получают возможность проверить себя и вернуться назад, чтобы устранить свои ошибки. Тем самым осуществляется самоконтроль, внутренняя обратная связь — важнейший фактор самоуправления процесса обучения.

Цели

  • Показать использование системы линейных уравнений как математической модели реальной ситуации
  • Применение знаний по теме «Системы линейных уравнений» для решения текстовых задач.
  • Учить анализировать условие задачи и выбирать более простой способ решения.
  • Решите задачу, составив числовое выражение:

    Купили 7 тетрадей по 2р. и 2 ручки по 4р. Сколько денег заплатили?

    Турист ехал 2ч на поезде со скоростью 60км/ч и 3ч шел пешком со скоростью 5км/ч. Какое расстояние он преодолел?

    Решите задачу, составив буквенное выражение:

    Купили 10 тетрадей по Х р и 3 ручки по У р. Сколько заплатили за всю покупку?

    Турист ехал 3ч на автобусе со скоростью Х км/ч и 2ч шел пешком со скоростью 4км/ч

    Перейдите от словесной модели к математической:

    Числа В и С равны

    Число А на 18 больше числа В

    Число Х в 6 раз меньше числа У

    Разность Р и Н на 17 больше их частного

    Создайте реальную ситуацию по модели:

    I Этап. Объяснение нового материала.

    Задача На турбазе имеются палатки и домики. Всего их 25. В каждом домике размещается по 4 человека, в каждой палатке — по 2 человека. Сколько палаток и сколько домиков на турбазе, если на ней отдыхает всего 70 человек?

    Решим задачу арифметически.

    25*2=50(чел) разместилось бы, если селить по 2

    70-50=20(чел) не расселили

    20:2=10(домиков), т. к. подселяют еще по 2

    Ответ: 10 домиков, 15 палаток.

    Решим эту задачу с помощью уравнения.

    (Вспомним этапы математического моделирования)

    II этап. Составление математической модели.

    Пусть на турбазе Х палаток, тогда домиков 25-Х. Т. к. в каждой палатке по 2 человека, то 2Х чел живут в палатках. Т. к. в каждом домике по 4 человека, то 4(25-Х) чел. живут в домиках. Зная, что всего на турбазе 70 чел, составим уравнение:

    III этап. Работа с моделью.

    IV. этап. Ответ на вопрос задачи: 15 палаток и 10 домиков.

    Самый трудный этап в решении задач — составление математической модели. Ученик всегда затрудняется, что удобнее обозначить за Х. Всегда возникает желание обозначить за Х то, о чем спрашивается в задаче. Но в данной задаче два вопроса. Две искомые величины. Можно ли решить эту задачу, введя два неизвестных? Попробуем.

    Пусть Х — палаток, а У — домиков. Т. к их всего 25, то Х+У=25. 2Х чел живут в палатках, а 4У чел — в домиках. 2Х+4У=70 Получили два уравнения и оба с двумя незвестными.

    Как же их решить? Составить систему двух уравнений с двумя неизвестными и решить ее.

    Вспоминаем способы решения систем линейных уравнений.

    Решив систему, получаем тот же ответ: 10 домиков, 15 палаток.

    Делаем вывод: Система линейных уравнений тоже может быть использована как математическая модель реальной ситуации. Чтобы решить задачу с помощью системы надо ввести два неизвестных и составить два уравнения с ними. Способ решения системы надо выбирать тот, который представляется более уместным, или тот, который больше нравиться. Этапы математического моделирования те же, что и при решении задач с помощью уравнения.

    Закрепление изученного материала.

    Решите с помощью системы уравнений:

    1. У причала находилось 6 лодок, часть из которых была двухместными, а часть — трехместными. Всего в эти лодки может поместиться 14 человек. Сколько двухместных и сколько трехместных лодок было у причала?

    2. В хозяйстве имеются куры и овцы. Сколько тех и других, если у них вместе 19 голов и 46 ног?

    Подведение итогов урока.

    Домашнее задание: параграф 14 , №14.7, 14.14.

    Задачи на составление уравнений 7 класс с решением

    Решение задания С3 ЕГЭ. Профильный уровень. Подготовка к экзамену 11 класс. Урок 17 Формулы рационализации помогают в решении логарифмических неравенств успешно. Стало намного легче, и проще.

    Конспект урока алгебры в 7 классе по теме «Решение текстовых задач на движение с помощью составления уравнений с одной переменной». Учебник «Алгебра-7» под редакцией Теляковского С. А.

    Конспект урока алгебры в 7 классе

    По теме «Решение текстовых задач на движение с помощью составления уравнений с одной переменной».

    Учебник «Алгебра-7» под редакцией Теляковского С. А.

    Тема : Решение текстовых задач на движение с помощью составления уравнений с одной переменной.

    О Бразовательные : формирование знаний, умений и навыков учащихся решать текстовые задачи с помощью уравнений.

    Развивающие : развивать умения работать в группе, формировать учебно–познавательные навыки по работе с дополнительным материалом, развивать логическое мышление, внимание;

    Воспитательные : воспитывать интерес к математике, старательность, активность, мобильность, взаимопомощь, ответственность перед товарищами.

    Тип урока: усвоение знаний и умений.

    Оборудование: компьютер, проектор, презентация.

    Учитель приветствует учеников.

    Проверка домашнего задания.

    Сильные ученики отвечают на вопросы, которые возникли у более слабых учащихся в процессе выполнения домашнего задания.

    Актуализация опорных знаний.

    Написание «Теоретического текста».

    Учитель раздает каждому учащемуся текст для проверки уровня усвоения обязательного теоретического материала. В тексте пропущены слова, которые ученики должны вставить. Проверка организована в форме «взаимопроверки» с демонстрацией правильных ответов на экране.

    На предыдущем уроке мы изучали решение задач с помощью линейных уравнений. Много текстовых задач отображают некоторую жизненную ситуацию и используют нематематические понятия, такие задачи называют реальной математикой. Чтобы составить математическую модель задачи, надо сначала выбрать основную переменную, а потом составить соответствующее уравнение. Ответ необходимо проверить по содержанию задачи, а не уравнения. После того, как мы составили уравнение к задаче и чтобы его решить, уравнение необходимо привести к линейному. Для этого надо помнить такое правило-ориентир:

    Избавляемся от знаменателей.;

    Переносим члены с переменными в левую часть уравнения, а другие — в правую, меняя знаки на противоположные ;

    Приводим подобные слагаемые;

    Я считаю, что умение решать текстовые задачи необходимо для того, чтобы….

    4.Мотивация учебной деятельности.

    Я хочу, чтобы каждый из вас объяснил, почему считает необходимым научиться решать текстовые задачи………

    Ребята! Сегодня на уроке мы должны будем с вами познакомиться с алгоритмом решения задач на движение, обращая особое внимание на табличную запись условия. Работая над новой темой, мы проследим вместе с вами, как ранее изученный материал связан с новым, как постепенно происходит расширение и углубление знаний. Одним словом, мы будем объединять отдельные факты в целостный пласт. Я буду вам помогать в процессе систематизации ваших знаний. Мы приступаем к работе.

    5.Решение задач с помощью опорных схем.

    Коллективное решение задачи на историческую тематику.

    История сохранила нам мало фактов биографии древнего математика Диофанта. Все, что про него было известно, взято из надписи на его гробнице, составленной в виде математической задачи.

    Путник! Тут прах похоронен Диофанта. И числа расскажут, о диво, как долго жизнь его длилась

    Шестая часть ее прошла счастливым детством

    Двенадцатая часть жизни еще прошла-

    Покрылась пушком его борода

    Седьмую в бездетном браке провел Диофант

    Прошло пятилетие: он был счастлив рождением прекрасного первенца-сына

    Коему судьба только половину жизни прекрасной и светлой дала по сравнению с отцом

    И в горе глубоком старик земной жизни конец принял, прожив только года 4 после того, как без сына остался.

    Скажи, сколько лет жизни достигнув, принял смерть Диофант?

    Решив уравнение, получаем, что х=84, имеем такие эпизоды биографии Диофанта: женился в 21 год, стал отцом в 38 лет, потерял сына в 80 лет.

    Диофант Александрийский — древнегреческий математик.

    До нас дошло стихотворение-задача, из которого видно, что Диофант прожил 84 года. Вот его содержание: «детство Диофанта продолжалось одну шестую часть его жизни, спустя ещё одну двенадцатую у него начала расти борода, он женился спустя ещё одну седьмую, через пять лет у него родился сын, сын прожил половину жизни отца, и отец умер через четыре года после смерти горько оплакиваемого им сына».

    Своё основное произведение «Арифметика» Диофант посвятил Дионисию — вероятно, епископу Александрии. До нас дошло шесть первых книг «Арифметики» из тринадцати. Диофант ввёл буквенные обозначения для неизвестного, его квадрата, знака равенства и знака отрицательного числа.

    Занимался неопределёнными уравнениями. Ввёл в алгебру буквенную символику.

    Большую часть своей жизни Диофант Александрийский посвятил изучению алгебраических уравнений в целых числах. В дошедших до нас книгах «Арифметика» содержатся задачи и решения, в которых Диофант поясняет, как выбрать неизвестное, чтобы решить уравнение вида ax=b или ax =b. Способы решения полных квадратных уравнений изложены в книгах, которые не сохранились.

    6.Формирование умений решать задачи на движение с помощью составления линейных уравнений с одной переменной.

    Очень важно при решении любой задачи хорошо разобраться с условием и правильно его записать. Способ записи условия с помощью таблицы очень наглядный.

    С задачами на движение вы встречались в начальной школе и в 5 классе. Вы знаете, что в этих задачах присутствуют три величины. Назовите мне их. Как находится расстояние? Время? Скорость?

    Вы знакомы с формулами нахождения этих величин

    Повторение формул: V = S : t

    Интерактивная игра «Аквариум». Учитель объединяет учеников в группы по 5-6 человек и предлагает им ознакомиться с заданием. Эта группа читает задание вслух. Остальные учащиеся слушают, не вмешиваясь в процесс обсуждения. Но после дискуссии каждая группа поддерживает или выдвигает свои идеи. Наиболее удачное решение записывается на доске.

    1. Катер прошел расстояние между пристанями по течению реки за 4 часа, а против течения — за 6 часов. Найдите собственную скорость катера, если течение реки 1,5 км/ч.

    Пусть собственная скорость катера х км/ч. Когда катер двигался по течению реки, его скорость была (х+1,5) км/ч и за 4 часа он проплыл расстояние 4(х-1,5) км. Если катер двигался против течения река, то его скорость была (х-1,5) км/ч, и за 6 часов он проплыл расстояние 6(х-1,5) км. По условию задачи катер проплыл по течению и против течения одинаковое расстояние, поэтому

    Получаем, что собственная скорость катера 7,5 км/ч.

    2. По шоссе идут две машины с одной и той же скоростью. Если первая увеличит скорость на 10 км/ч, а вторая уменьшит скорость на 10 км/ч, то первая за 2ч пройдёт столько же, сколько вторая за 3ч. С какой скоростью идут автомашины?

    Х км/ч — скорость автомашины

    120 = 120 ( верно)

    (Наименование в таблице можно не писать.)

    Раскроем скобки и приведём уравнение к виду Ax = B :

    3. Какова скорость теплохода, если по течению реки он проплывает за 2ч

    То же расстояние, что за 4ч против течения? Скорость течения реки

    (Наименование в таблице можно не писать.)

    Раскроем скобки и приведём уравнение к виду Ax = B :

    7. Итог урока. Рефлексия.

    Учитель задает вопросы, которые касаются не только изученного материала, но и те, которые подводят их к рефлексии:

    -что на уроке было главным?

    — что было интересно?

    — чему вы научились?

    — чем пополнили свои знания?

    8. Домашнее задание.

    Свидетельство о публикации данного материала автор может скачать в разделе «Достижения» своего сайта.

    Вы первый можете оставить свой комментарий

    Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.

    Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

    Задачи на составление уравнений 7 класс с решением

    Задачи, решаемые с помощью уравнения. 7-й класс

    Проверка практических умений и навыков решения задач на составление уравнения. Активизация учебной деятельности учащихся путём общения в динамических парах, когда каждый учит каждого. Воспитывать ответственное отношение к учебному труду, развивать логическое мышление, любознательность, умение проверять и оценивать выполненную работу.

    Коллективным способом обучения (А. Г. Ривин и В. К. Дьяченко) является такая его организация, при которой обучение осуществляется путём общения в динамических парах, когда каждый учит каждого.

    I. Работа начинается с ввода или так называемого “запуска” раздела.

    Обобщение и систематизация знаний по теме “ Задачи, решаемые с помощью уравнения”.

    1. За 9 ч по течению реки теплоход проходит тот же путь, что за 11 ч против течения. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч.

    Пусть собственная скорость теплохода – Х км/ч. Заполним таблицу значений трёх величин.

    На основании условия задачи составим уравнение:

    9(Х + 2) = 11(Х – 2), которое имеет единственный корень 20.

    Собственная скорость теплохода 20 км/ч.

    2. Увеличив среднюю скорость с 250 до300 м/мин, спортсменка стала пробегать дистанцию на 1 мин быстрее. Какова длина дистанции?

    Пусть Х мин – время, за которое спортсменка пробегала дистанцию со скоростью 300 м/мин, тогда Х +1 мин – время, за которое спортсменка пробегала дистанцию со скоростью 250 м/мин. Составим уравнение:

    250(Х + 1) = 300Х, которое имеет единственный корень 5.Найдём длину дистанции 300Х = 300×5 = 1500 м.

    3. В первую бригаду привезли раствора цемента на 50 кг меньше, чем во вторую. Каждый час работы первая бригада расходовала 150 кг раствора, а вторая – 200кг. Через 3 ч работы в первой бригаде осталось раствора в 1,5 раза больше, чем во второй. Сколько раствора привезли в каждую бригаду?

    Пусть в первую бригаду привезли Х кг раствора, тогда во вторую – Х + 50 кг. Заполним таблицу значений величин для двух бригад:

    По условию задачи в первой бригаде осталось раствора в 1,5 раза больше, чем во второй. Составим уравнение:

    Х – 450 = (Х + 50 – 600)×1,5 , имеющее единственный корень 750. 750 кг раствора привезли в первую бригаду, а во вторую привезли 750 + 50 = 800 кг.

    4. (Задача Э. Безу) По контракту работникам причитается 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с них вычитается по 12 франков. Через 30 дней выяснилось, что работникам ничего не причитается. Сколько дней они отработали в течение этих 30 дней?

    Пусть работники отработали Х дней, тогда они не работали (30 – Х) дней. Составим уравнение:

    48Х – 12 (30 – Х) = 0.

    Решив это уравнение, получим Х = 6, то есть они отработали 6 дней.

    5. Книгу в 296 страниц ученик прочитал за три дня. Во второй день он прочитал на 20% больше, чем в первый, а в третий – на 24 страницы больше, чем во второй. Сколько страниц прочитал ученик в первый день?

    Пусть в первый день ученик прочитал Х страниц, тогда во второй день ученик прочитал Х + 0,2Х = 1,2Х страниц, а в третий день прочитал 1,2Х + 24. Составим уравнение:

    Х + 1,2Х +1,2Х + 24 = 296. Решив это уравнение, получим Х = 80, то есть ученик прочитал в первый день 80 страниц.

    6. На солнышке грелось несколько кошек. У них лап на 10 больше, чем ушей. Сколько кошек грелось на солнышке?

    Пусть грелось Х кошек, тогда у этих кошек 2Х ушей и 4Х лап. Составим уравнение:

    4Х – 2Х = 10. Решив это уравнение, получим Х = 5,то есть 5 кошек грелось на солнышке.

    II. Самостоятельная работа учащихся.

    Каждый ученик получает индивидуальную карточку с задачами. Правильность решения проверяет преподаватель, при необходимости он оказывает помощь в решении. После проверки ученику выставляется в оценочный лист плюс или оценка.

    Примеры карточек для первой группы:

    1. (Старинная задача.) Послан человек из Москвы в Вологду и велено ему проходить во всякий день по 40 вёрст. На следующий день вслед ему был послан другой человек и велено ему проходить по 45 вёрст в день. Через сколько дней второй догонит первого?

    2. Чтобы сделать вовремя заказ, артель стеклодувов должна была изготовлять в день по 40 изделий. Однако она изготовляла ежедневно на 20 изделий больше и выполнила заказ на 3 дня раньше срока. Каков был срок выполнения заказа?

    Ответ: № 1 – 8 дней, № 2 – 9 дней.

    1. Кооператив наметил изготовить партию мужских сорочек за 8 дней. Выпуская в день на 10 сорочек больше, чем предполагалось, он выполнил план за один день до срока. Сколько сорочек в день должен был выпускать кооператив?

    2. На ферме 1000 кроликов и кур, у них 3150 ног. Сколько кроликов и сколько кур на ферме?

    Ответ: № 1 – 70 сорочек, № 2 – 575 кроликов и 425 кур..

    1. Из пункта А вышла грузовая машина со скоростью 60км/ч. Через 2 ч вслед за ней из пункта А вышла легковая машина со скоростью 90 км/ч. На каком расстоянии от пункта А легковая машина догонит грузовую?

    2. Чтобы выполнить задание в срок, токарь должен изготавливать по 24 детали в день. Однако он ежедневно перевыполнял норму на 15 деталей и уже за 6дней до срока изготовил 21 деталь сверх плана. Сколько деталей изготовил токарь?

    Ответ: № 1 – 360 км, № 2 – 408 деталей.

    1. От турбазы до привала туристы шли со скоростью 4,5км/ч, а возвращались на турбазу со скоростью 4км/ч, затратив на обратный путь на 15 мин больше. На каком расстоянии от турбазы был сделан привал?

    2. На одном складе было 185 т угля, а на другом – 237 т. Первый склад стал отпускать ежедневно по 15 т угля, а второй – по 18 т. Через сколько дней на втором складе угля будет в полтора раза больше, чем на первом?

    Ответ: № 1 – 9 км, № 2 – 9 дней.

    Примеры карточек для второй группы:

    1. Из пункта А выехал велосипедист. Одновременно вслед за ним из пункта В, отстоящего от пункта А на расстоянии 60 км/ч, выехал мотоциклист. Велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, а мотоциклист – со скоростью 30 км/ч. На каком расстоянии от пункта А мотоциклист догонит велосипедиста?

    2. Три бригады изготовили 65 деталей. Первая бригада изготовила на 10 деталей меньше, чем вторая, а третья – 30% того числа деталей, которые изготовили первая и вторая детали вместе. Сколько деталей изготовила каждая бригада?

    Ответ: № 1 – 40 км, № 2 – 20, 30, 15 деталей.

    1. Расстояние между пристанями М и N равно 162 км. От пристани М отошёл теплоход со скоростью 45 км/ч. Через 45 мин от пристани N навстречу ему отошёл другой теплоход, скорость которого 36 км/ч. Через сколько часов после отправления первого теплохода они встретятся?

    2. Бригада рабочих должна была изготовить определённое количество деталей за 20 дней. Однако она ежедневно изготавливала на 70 деталей больше, чем планировалось первоначально. Поэтому уже за 7 дней до срока ей осталось изготовить 140 деталей. Сколько деталей должна была изготовить бригада?

    Ответ: № 1 – 2 ч, № 2 – 3000 деталей.

    1. От пристани А отошел теплоход со скоростью 40 км/ч. Через 1 ч вслед за ним отошёл другой теплоход со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов после своего отправления и на каком расстоянии от А второй теплоход догонит первый?

    2. В хозяйстве имеются куры и овцы. Сколько тех и других, если у них вместе 19 голов и 46 ног?

    Ответ: № 1 – 2 ,5 ч; 150 км, № 2 – 4 овцы и15 кур.

    1. Сумму в 74 р. заплатили девятнадцатью монетами по 2 р. и 5 р. Сколько было монет по 2 р.?

    2. За 4 ч катер проходит по течению расстояние, в 2,4 раза большее, чем за 2 ч против течения. Какова скорость катера в стоячей воде, если скорость течения 1,5 км/ч?

    Ответ: № 1 – 7 монет, № 2 – 16,5 км/ч.

    Примеры карточек для третьей группы:

    1. Со станции М и N, расстояние между которыми 380 км, одновременно навстречу друг другу вышли два поезда. Скорость поезда, отправившегося со станции N, была больше скорости другого поезда на 5 км/ч. Через 2 ч после отправления поездам оставалось пройти до встречи 30 км. Найдите скорость поездов.

    2. В одном резервуаре 380 м³ воды, а в другом 1500 м³. В первый резервуар каждый час поступает 80 м³ воды, а из второго каждый час выкачивают 60 м³. Через сколько часов воды в резервуаре станет поровну?

    Ответ: № 1 – 85 и 90км/ч, № 2 – 56 ч.

    1. Сумму в 74 р. заплатили девятнадцатью монетами по 2 р. и 5 р. Сколько было монет по 2 р.?

    2. Скашивая ежедневно по 60 га вместо 50 га, бригада сумела скосить луг на один день быстрее, чем планировалось. Какова площадь луга?

    Ответ: № 1 – 7 монет, № 2 – 300 га.

    1. (Старинная задача.) Летели галки, сели на палки: по две сядут – одна палка лишняя, по одной сядут – одна галка лишняя. Сколько было галок и сколько палок?

    2. Турист рассчитал, что если он будет идти к железнодорожной станции со скоростью 4км/ч, то опоздает к поезду на полчаса, а если он будет идти со скоростью 5км/ч, то придёт на станцию за 6 мин до отправления поезда. Какое расстояние должен пройти турист?

    Ответ: № 1 – 4 галки и 3 палки, № 2 – 12 км.

    1. (Задача С. А. Рачинского.) Я дал одному ученику 3 ореха, а всем остальным по 5 . Если бы я всем дал по 4 ореха, у меня осталось бы 15. Сколько было орехов?

    2. К числу приписали справа нуль. Число увеличилось на 405. Найдите первое число.

    Ответ: № 1 – 83 ореха, № 2 – 45.

    Раздел считается введённым в работу, если каждая карточка с заданиями выполнена хотя бы одним учеником.

    III. Работа в группах.

    Затем работа классного коллектива выглядит так: организуется 3–4 группы по 4 человека (можно до 7 человек). В группе у каждого ученика своя карточка, за которую ученик уже получил плюс или оценку в оценочный лист. Каждый в группе выбирает партнёра, и они меняются карточками. Школьники работают в парах (решают карточку своего партнера полностью), затем пары в группе меняются. Если необходима помощь, то происходит взаимообучение. Если помощь не нужна, то после выполнения задания происходит взаимопроверка и делается отметка в оценочный лист. Потом пары меняются, и процесс продолжается до тех пор, пока каждый ученик не выполнит задания других учеников группы. Затем подводится итог, и выставляется общая оценка.

    По диагонали оценка выставлена учителем. За выполнение карточки № 1оценка выставляется Лаптевой А., № 2 – Борзенковым Е., № 3 – Мартышиным С., № 4 – Казаковой В..

    Свидетельство о регистрации средства массовой информации ЭЛ №ФС77-69741 от 5 мая 2017 г.

    Задачи на составление уравнений 7 класс с решением

    Конспект урока по Алгебре «Решение задач на составление уравнений» 7 класс

    Конспект урока алгебры в 7 классе.

    Автор: Елизарова Инна Ивановна

    Место работы: МБОУ «Чудиновская основная общеобразовательная школа Вязниковского района Владимирской области»

    Должность автора : учитель математики

    Адрес: 601435, Владимирская область, Вязниковский район, деревня Чудиново, улица Центральная, дом 11.

    Тема « Решение задач на составление уравнений».

    Описание материала: Предлагаю вам конспект урока по данной теме. В ходе урока прослеживаются межпредметные связи с физикой и геометрией.

    Конспект урока алгебры в 7 классе.

    Тема «Решение задач на составление уравнений».

    Цель: Познакомить учащихся с алгоритмом решения задач на составление уравнений.

    Проследить интеграцию учебного материала внутри предмета и межпредметную связь с физикой и геометрией.

    Задачи : учить применять ранее полученные знания;

    Развивать способность строить логическую цепочку в рассуждениях;

    Строго использовать алгоритм действий при решении задач.

    Оборудование: набор заданий для самостоятельного выполнения на карточках для каждого ученика и оформление на доске.

    Знакомство с задачами на урок.

    Ребята! Сегодня на уроке мы должны будем с вами познакомиться с алгоритмом решения задач на движение, обращая особое внимание на табличную запись условия. В ходе урока мы должны будем с вами рассмотреть задачи из геометрии по изучаемой в настоящее время теме «Смежные углы». Работая над новой темой, мы проследим вместе с вами, как ранее изученный материал связан с новым, как постепенно происходит расширение и углубление знаний. Одним словом, мы будем объединять отдельные факты в целостный пласт.

    Выполняя задания устного характера, вы поймёте, что вам достаточно знаний, чтобы разобраться с новой темой. Я желаю вам успеха на уроке. Я буду вам помогать в процессе систематизации ваших знаний. Мы приступаем к работе.

    Распределительный закон умножения.

    Умножение многочлена на одночлен.

    Приведение подобных слагаемых.

    (х 3 -2х 2 — х)-(2х 3 +4х 2 +х)

    Выполнение письменных заданий.

    При выполнении устных заданий вы поняли, как последовательно мы переходим от одних знаний к другим, как опираясь на знание одной темы, мы расширяем свои знания при изучении другой. Вы заметили, ребята, как много надо знать, чтобы не допускать ошибок.

    Сейчас на карточках вы найдёте много различных заданий. Все эти задания будут вас готовить к пониманию новой темы. Я считаю, что особое внимание мы должны будем обратить на решение уравнений.

    Самостоятельно выполняем задания:

    В ходе выполнения заданий учитель оказывает ученикам помощь, осуществляется проверка, правильные ответы фиксируются учениками в своих тетрадях особыми значками на полях или учитель может давать ученикам поощрительные жетоны.

    Знакомство с новой темой.

    Ребята! Прочтите задачу №4. Эта задача на движение. Она решается составлением уравнения. Очень важно при решении любой задачи хорошо разобраться с условием и правильно его записать. Способ записи условия с помощью таблицы очень наглядный.

    С задачами на движение вы встречались в начальной школе и в 5 классе. Вы знаете, что в этих задачах присутствуют три величины. Назовите мне их. Как находится расстояние? Время? Скорость?

    Вы знакомы с формулами нахождения этих величин. В курсе физики вы с ними встретитесь снова, будете решать задачи, обращая внимание на физический смысл. Таким образом, вы будете расширять свои знания по этой теме, находить общие точки соприкосновения. Для того чтобы вам было легче, вы сейчас должны внимательно работать.

    До этого времени вы решали задачи на движение, пользуясь правилами или работая с формулами. А сейчас мы будем составлять уравнение. Сначала постараемся заполнить таблицу.

    При заполнении таблицы вы должны обратить внимание на то, какой пешеход был в пути меньше по времени и почему?

    Учащиеся самостоятельно заполняют таблицу. Затем правильно заполненная таблица демонстрируется на доске.

    Какой факт из текста задачи можно использовать для составления уравнения?

    Образец оформления задачи даётся после того, как учащиеся самостоятельно составят уравнение и решат его. Внимание необходимо обратить и на запись ответа.

    По условию задачи известно, что движение проходило по одному и тому же пути, значит выражение 4(х+0,5) равно 5х. Имеем уравнение

    Х=2(ч)-время движения 2 пешехода.

    Ответ: путь равен 10 км

    После проверки решения данной задачи ученикам предлагается решить эту задачу вторым способом дома, приняв за х расстояние. Необходимо обратить внимание, что уравнение получится дробное.

    Ребята! Мы с вами на последнем уроке геометрии познакомились с темой «Смежные углы». Вы знаете, что сумма смежных углов равна 180 . В ходе закрепления на уроке геометрии мы решили самую простую задачу. Сегодня я предлагаю решить вам задачу №7, которая связана с темой сегодняшнего урока. Решить эту задачу мы сможем, составив уравнение, используя свойства смежных углов. Это яркий пример межпредметных связей.

    Ученики самостоятельно записывают условие, составляют уравнение и решают его. Проверка осуществляется учителем. По мере проверки ведётся индивидуальная работа, ликвидируются пробелы в знаниях.

    Хорошо успевающие ученики решают задания с карточки. Учитель проверяет эти задания.

    Решить задачу №4 вторым способом.

    Как можно быстро умножить 199 на 4?

    Выполнить одно задание на выбор с карточки

    Подведение итогов урока. Оценки с учётом набранных в ходе урока баллов.

    12а(а 2 -4)-6а(2а 2 -5)=3а-4

    Решить уравнение 5у-12(у-1)= 7(3-у)-9

    Один из пешеходов проходит расстояние между населёнными пунктами на 0,5 часа быстрее, чем другой. Чему равно расстояние, если скорости пешеходов 4 и 5 ?

    Две машины двигались навстречу друг другу. Скорость одной из них

    На 20 больше, чем скорость другой. Через 2 часа машины

    Встретились. С какой скоростью двигались машины, если

    Расстояние между ними в начале пути было 180 км?

    Один из смежных углов в 3 раза больше другого. Найти углы.

    7. Решить задачу.

    Один из смежных углов на 30 больше другого. Найти углы.