Решение задачи 6 по теме § 5. Геометрические построения из сборника задач по геометрии Погорелова за 7 класс

Другие решения на тему § 5. Геометрические построения

Другие решебники за 7 класс

Ответы на вопросы к учебнику по алгебре за 7 класс Макарычева

Ответы на вопросы к учебнику по геометрии Атанасян за 7-9 класс

Решебник по алгебре за 7 класс Мордковича

Ответы на вопросы к учебнику по физике за 7-9 классы Лукашик

Английский язык

ГДЗ Переводы Английский язык Happy English. ru Кауфман К. И. 7 класс

Литература

Все ответы на вопросы к учебнику литература за 7 класс Коровиной

Английский язык

ГДЗ Рабочая тетрадь Enjoy English 7 Биболетова М. З. Английский язык 7 класс

Английский язык

ГДЗ Spotlight 7 Английский в фокусе Рабочая тетрадь Ваулина Ю. Е. 7 класс

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника

Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

m, n, k — серединные перпендикуляры к сторонам AB, BC, AC

Доказать: m, n, k пересекаются в одной точке.

Сначала докажем, что серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Предположим, что m и k не пересекаются. Тогда m ∥ k.

Но прямые AB и AC пересекаются в точке A. Пришли к противоречию. Следовательно, прямые m и k пересекаются.

Обозначим точку пересечения прямых m и k как O.

По свойству серединного перпендикуляра к отрезку AO=OC и AO=BO. Следовательно, и OC=BO. Значит, точка O равноудалена от концов отрезка BC, следовательно, лежит на серединном перпендикуляре n к этому отрезку. Таким образом, все три серединных перпендикуляра m, n, k к сторонам треугольника ABC пересекаются в одной точке O.

Что и требовалось доказать.

Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника является центром описанной около этого треугольника окружности

Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника — одна из четырех замечательных точек треугольника.

Докажите что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника

Здравствуйте!
На зачете было задание «Докажите что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника…». Дальше не помню. Кто знает что там дальше и как это доказать? Срочно нужно!
Спасибо!

Докажем, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника будут пересекаться в одной точке.
Данное свойство серединных перпендикуляров будем доказывать от противоположного.

Доказательство.
Рассмотрим произвольный треугольник NRP. Точкой M сторона NR делится пополам, а точкой S — сторона RP.
Проведем к его боковым сторонам NR и RP перпендикуляры и . Данные перпендикуляры пересекутся в точке О.
Предположим, что перпендикуляры и не пересекутся. Это значит, что они параллельны. В таком случае прямая RN, которая перпендикулярна прямой , будет перпендикулярной и к прямой , которая параллельна .
Это невозможно, так как тогда через точку R должны проходить две прямые RN и RP, которые перпендикулярны к прямой .
Так как любая точка серединного перпендикуляра, проведенного к стороне, равноудалена от его вершин, то ON=OR и OR=OP. Из этого следует, что ON=OP, что означает равноудаленность точки О от концов стороны NP. Таким образом, все три серединных перпендикуляра, проведенных к сторонам произвольного треугольника NRP, пересекаются в одной точке, что и требовалось доказать.
Доказательство завершено.