Сфера и шар. Площади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей

Шар, сфера и их части

Введем следующие определения, связанные с шаром, сферой и их частями.

Определение 1. Сферой с центром в точке O и радиусом r называют множество точек, расстояние от которых до точки O равно r (рис. 1).

Определение 2. Шаром с центром в точке O и радиусом r называют множество точек, расстояние от которых до точки O не превосходит r (рис. 1).

Таким образом, сфера с центром в точке O и радиусом r является поверхностью шара с центром в точке O и радиусом r.

Замечание. Радиусом сферы ( радиусом шара ) называют отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром сферы. Длину этого отрезка также часто называют радиусом сферы ( радиусом шара ).

Определение 3. Сферическим поясом (шаровым поясом) называют часть сферы, заключенную между двумя параллельными плоскостями параллельными плоскостями (рис. 2).

Определение 4. Шаровым слоем называют часть шара, заключенную между двумя параллельными плоскостями параллельными плоскостями (рис. 2).

Окружности, ограничивающие сферический пояс, называют основаниями сферического пояса.

Расстояние между плоскостями Расстояние между плоскостями оснований сферического пояса называют высотой сферического пояса.

Из определений 3 и 4 следует, что шаровой слой ограничен сферическим поясом и двумя кругами, плоскости которых параллельны параллельны между собой. Эти круги называют основаниями шарового слоя.

Высотой шарового слоя называют расстояние между плоскостями расстояние между плоскостями оснований шарового слоя .

Определение 5. Сферическим сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит сферу пересекающая ее плоскость (рис. 3).

Определение 6. Шаровым сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит шар пересекающая ее плоскость (рис. 3).

Из определений 3 и 5 следут, что сферический сегмент представляет собой сферический пояс, у которого одна из плоскостей оснований касается сферы (рис. 4). Высоту такого сферического пояса и называют высотой сферического сегмента.

Соответственно, шаровой сегмент – это шаровой слой, у которого одна из плоскостей оснований касается шара (рис. 4). Высоту такого шарового слоя называют высотой шарового сегмента .

По той же причине всю сферу можно рассматривать как сферический пояс, у которого обе плоскости оснований касаются сферы (рис. 5). Соответственно, весь шар – это шаровой слой, у которого обе плоскости оснований касаются шара (рис. 5).

Определение 7. Шаровым сектором называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точки сферического сегмента с центром сферы (рис. 6).

Площади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей

В следующей таблице приведены формулы, позволяющие вычислить объем шара и объемы его частей, а также площадь сферы и площади ее частей.

Шар и сфера, объем шара, площадь сферы, формулы

Шар и сфера — это прежде всего геометрические фигуры, и если шар — это геометрическое тело, то сфера — это поверхность шара. Этими фигурами интересовались еще многие тысячи лет назад до н. э.

Впоследствии когда было открыто, что Земля — это шар, а небо — небесная сфера, получило развитие новое увлекательное направление в геометрии — геометрия на сфере или сферическая геометрия. Для того, чтобы рассуждать о размере и объеме шара, нужно сначала дать ему определение.

Шаром радиуса R с центром в точке О в геометрии называют тело, которое создано всеми точками пространство, имеющими общее свойство. Эти точки находятся на расстоянии, не превышающем радиуса шара, то есть заполняют все пространство меньше радиуса шара во все стороны от его центра. Если мы рассмотрим только те точки, которые равноудалены от центра шара — мы будем рассматривать его поверхность или оболочку шара.

Как можно получить шар? Мы можем вырезать из бумаги круг и начать его вращать вокруг его же диаметра. То есть диаметр круга будет осью вращения. Образованная фигура — будет шар. Поэтому шар называют также телом вращения. Потому что он может быть образован путем вращения плоской фигуры — круга.

Возьмем какую-нибудь плоскость и разрежем ею наш шар. Подобно тому как мы режем ножом апельсин. Кусок, который мы отсечем от шара, называется шаровым сегментом.

В Древней Греции умели не только работать с шаром и сферой, как с геометрическими фигурами, например, использовать их при строительстве, а также умели расчитывать площадь поверхности шара и объем шара.

Сферой иначе называется поверхность шара. Сфера — это не тело — это поверхность тела вращения. Однако так как и Земля и многие тела имеют сферическую форму, например капля воды, то изучение геометрических соотношений внутри сферы получило большое распространение.

Например, если мы соединим две точки сферы между собой прямой линией, то эта прямая линия назовется хордой, а если эта хорда пройдет через центр сферы, который совпадает с центром шара, то хорда назовется диаметром сферы.

Если мы проведем прямую линию, которая коснется сферы всего в одной точке, то эта линия будет называться касательной. Кроме того, эта касательная к сфере в этой точке будет перпендикулярна к радиусу сферы, проведенному в точку касания.

Если мы продолжим хорду до прямой в одну и другую сторону от сферы, то эта хорда станет называться секущей. Или можно сказать иначе — секущая к сфере содержит в себе ее хорду.

Объем шара

Формула для вычисления объема шара имеет вид:

где R — радиус шара.

Если нужно найти объем шарового сегмента — воспользуйтесь формулой:

V сег=πh 2 (R-h/3), h — высота шарового сегмента.

Площадь поверхности шара или сферы

Чтобы вычислить площадь сферы или площадь поверхности шара (это одно и то же):

где R — радиус сферы.

Архимед очень любил шар и сферу, он даже попросил оставить на его гробницу рисунок, на котором в цилиндр вписан шар. Архимед считал, что объем шара и его поверхность равны двум третьим от объема и поверхности цилиндра, в который вписан шар»

Геометрия 11 класс. Зачет по теме: Объем шара и его частей. Площадь сферы.

Урок-зачет позволяет повторить, обобщить и систематизировать знания учащихся, что способствует осмыслению изученного на новом качественном уровне и подготовить учащихся к итоговой контрольной работе по теме.

Просмотр содержимого документа
«Геометрия 11 класс. Зачет по теме: Объем шара и его частей. Площадь сферы.»

МКОУ «Погорельская СОШ»

ОБЪЕМ УСЕЧЕННОГО КОНУСА

Формулы для вычисления объема: шара, шарового сектора, шарового слоя, шарового сектора и площади сферы

где R – это радиус сферы

где R – это радиус шара

где R – это радиус шара, а h – это высота сегмента

где V 1 – это объем одного шарового сегмента, а V 2 – это объем второго шарового сегмента

где R – это радиус шара, а h – это высота шарового сегмента

Вписать в текст недостающие по смыслу слова .

  • Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть …………………… перпендикуляра , опущенного из центра шара на секущую плоскость.

2. Центр шара является его ………………….……. симметрии.

3. Осевое сечение шара есть ………………………….

4. Линии пересечения двух сфер есть…………………

5. Плоскости, равноудаленные от центра, пересекают шар по ……………. кругам.

6. Около любой правильной пирамиды можно описать сферу , причем ее центр лежит на ……………….. пирамиды.

Вписать в текст недостающие по смыслу слова.

  • Любая диаметральная плоскость шара является его ………………… симметрии.

2. Осевое сечение сферы есть………………..

3. Центр шара , описанного около правильной пирамиды , лежит на …………………. пирамиды.

4. Радиус сферы , проведенный в точку касания сферы и плоскости ………………. ……………………..к касательной плоскости.

5. Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку …………………….

6. В любую правильную пирамиду можно вписать сферу , причем ее центр лежит на ……………… .…….пирамиды.

Плоскость перпендикулярная диаметру шара, делит его части 3см и 9см. Найдите объем шара ?

Два равных шара расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Как относится объем общей части шаров к объему целого шара ?

Какую часть объема шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,1 диаметра шара, равного 20см ?

Объем шара радиуса R равен V . Найдите : объем шара радиуса : а) 2 R б) 0,5 R

Чему равен объем шарового сектора, если радиус окружности основания равен 60см, а радиус шара-75см.

БЫСТРО И КРАТКО НАПИШИТЕ ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ:

  • Сколько сфер можно провести:

а) через одну и ту же окружность;

б) через окружность и точку, не принадлежащую её плоскости?

2. Сколько сфер можно провести через четыре точки, являющиеся вершинами:

б) равнобедренной трапеции;

3. Верно ли, что через любые две точки сферы проходит один большой круг?

4. Через какие две точки сферы можно провести несколько окружностей большого круга?

5. Как должны быть расположены две равные окружности, чтобы через них могла пройти сфера того же радиуса?

Иметь общий центр

Вписать в текст недостающие по смыслу слова.

  • Любая диаметральная плоскость шара является его ………………… симметрии.

2. Осевое сечение сферы есть………………..

3. Центр шара , описанного около правильной пирамиды , лежит на …………………. пирамиды.

4. Радиус сферы , проведенный в точку касания сферы и плоскости ………………. ……………………..к касательной плоскости.

5. Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку …………………….

6. В любую правильную пирамиду можно вписать сферу , причем ее центр лежит на ……………… .…….пирамиды.

Тестовая самостоятельная работа ур.52

Уровень1 Вариант 1

1.На расстоянии 12 см от центра шара проведено сечение, радиус которого равен 9см. Найдите объем шара и площадь его поверхности.

2. Сфера радиуса 3см имеет цент в точке О (4;-2;1). Составьте уравнение сферы, в которую перейдет данная сфера при симметрии относительно плоскости ОХУ. Найдите объем шара, ограниченного данной сферой.

Уровень 1 Вариант 2

1.Через точку, лежащую на сфере, проведено сечение радиуса 3см под углом 60° к радиусу сферы, проведенному в данную точку. Найдите площадь сферы и объем шара.

2. Сфера радиуса 3 имеет центр в точке О (-2;5;3). Составьте уравнение сферы, в которую перейдет данная сфера при симметрии относительно плоскости ОХ Z . Найдите площадь данной сферы.

Тестовая самостоятельная работа ур.52

Уровень2 Вариант 1

1.На расстоянии 2√7см от центра шара проведено сечение. Хорда этого сечения, равна 4см, стягивая угол 90°. Найдите объем шара и площадь его поверхности.

2. Сфера с центром в точке О (2;1;-2) проходит через начало координат. Составьте уравнение сферы, в которую перейдет данная сфера при симметрии относительно оси абцисс. Найдите объем шара, ограниченного полученной сферой.

Уровень2 Вариант 2

1.На расстоянии 4см от центра шара проведено сечении. Хорда, удаленная от центра этого сечения на √5см, стягивая угол 120°. Найдите объем шара и площадь его поверхности.

2. Сфера с центром в точке О (-1;-2;2) проходит через начало координат. Составьте уравнение сферы, в которую перейдет данная сфера при симметрии относительно плоскости Z =1. Найдите площадь сферы.

  • Диаметр шара ½ дм. Вычислите объём шара и площадь сферы.

2. Волейбольный мяч имеет радиус 12 дм. Какой объём воздуха содержится в мяче?

  • Радиус шара ¾ дм. Вычислите объём шара и площадь сферы.

2. Футбольный мяч имеет диаметр 30 дм. Какой объём воздуха содержится в мяче?

  • Записать формулы площади сферы, объема шара и его частей.
  • Решить задачи:
  • Записать формулы площади сферы, объема шара и его частей.
  • Решить задачи:

1. Объем шара равен 36Псм³. Найдите площадь сферы, ограничивающей данный шар.

2. В шаре радиуса 15см проведено сечение, площадь которого равна 81см². Найдите объем меньшего шарового сегмента, отсекаемого плоскостью сечения.

3. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 6см, а высота соответствующего сегмента составляет шестую часть диаметра шара.

1. Площадь поверхности шара равна 144П см². Найдите объем данного шара.

2. На расстоянии 9м от центра шара проведено сечение, длина окружности которого равна 24П см. Найдите объем меньшего шарового сегмента, отсекаемого плоскостью сечения.

3. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 6см, а высота конуса, образующего сектор, составляет треть диаметра шара.

113,04=4πR³/3 = R³=27, R=3. S=4πR², S=4π3²=36π. Ответ: 3,36π. Дано: шар; S=64π см² Найти : R, V Решение: S=4πR², 64π=4πR², = R=4 V=4πR³/3, V=4π4³/3=256π/3. Ответ: 4,256π/3. 3. Дано: шаровой сегмент, r осн.=60 см, Rшара=75 см. Найти: Vшарового сегмента. Решение: V=πh²(R-⅓h) О ₁ С=√R²-r²=√75²-60²=45 h= ОС-ОС ₁ =75-45=30 V=π·30²·(75-⅓·30)=58500π. Ответ: 58500π. » width=»640″

Решение задач с самопроверкой.

Дано: шар; V=113,04 см³,

Решение: V=4πR³/3, = 113,04=4πR³/3 = R³=27, R=3.

Дано: шар; S=64π см²

Решение: S=4πR², 64π=4πR², = R=4

3. Дано: шаровой сегмент, r осн.=60 см, Rшара=75 см.

Найти: Vшарового сегмента.

Решение: V=πh²(R-⅓h) О ₁ С=√R²-r²=√75²-60²=45

h= ОС-ОС ₁ =75-45=30 V=π·30²·(75-⅓·30)=58500π.

Отрази свое настроение смайликом.

Возьмите смайлик соответствующий Вашему настроению на конец урока и, уходя прикрепите его на доске с магнитной основой.

Повторить формулы объемов шара, шарового сегмента, шарового слоя, шарового сектора. №723, №724, №755

  • Повторить формулы объемов шара, шарового сегмента, шарового слоя, шарового сектора. №723, №724, №755

Литература и интернет ресурсы

Учебник по геометрии 10-11 класс Атанасян Л. С., 2008 год

Гаврилова Н. Ф. Поурочные разработки по геометрии 11 класс