Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол — меньший 90 градусов.

Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин 🙂

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается . Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .

Угол обозначается соответствующей греческой буквой .

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

Давайте докажем некоторые из них.

  1. Сумма углов любого треугольника равна . Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa .
  2. С одной стороны, как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, , поскольку для угла катет а будет прилежащим. Получаем, что . Иными словами, .
  3. Возьмем теорему Пифагора:.Поделим обе части на : Мы получили основное тригонометрическое тождество.
  4. Поделив обе части основного тригонометрического тождества на , получим: Это значит, что если нам дан тангенс острого угла , то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично,

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .

Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от до .

Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

1. В треугольнике угол равен , . Найдите .

Задача решается за четыре секунды.

2 . В треугольнике угол равен , , . Найдите .

Найдем по теореме Пифагора.

Часто в задачах встречаются треугольники с углами и или с углами и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

Для треугольника с углами и катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы.

Треугольник с углами и — равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.

Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.

Прямоугольный треугольник: синус, косинус, тангенс, котангенс угла

Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс угла поможет понять прямоугольный треугольник.

Как называются стороны прямоугольного треугольника? Всё верно, гипотенуза и катеты: гипотенуза — это сторона, которая лежит напротив прямого угла (в нашем примере это сторона \( AC \) ); катеты – это две оставшиеся стороны \( AB \) и \( BC \) (те, что прилегают к прямому углу), причём, если рассматривать катеты относительно угла \( BC \) , то катет \( AB \) – это прилежащий катет, а катет \( BC \) — противолежащий. Итак, теперь ответим на вопрос: что такое синус, косинус, тангенс и котангенс угла?

Синус угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к гипотенузе.

В нашем треугольнике:

Косинус угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к гипотенузе.

В нашем треугольнике:

Тангенс угла – это отношение противолежащего (дальнего) катета к прилежащему (близкому).

В нашем треугольнике:

Котангенс угла – это отношение прилежащего (близкого) катета к противолежащему (дальнему).

В нашем треугольнике:

Эти определения необходимо запомнить! Чтобы было проще запомнить какой катет на что делить, необходимо чётко осознать, что в тангенсе и котангенсе сидят только катеты, а гипотенуза появляется только в синусе и косинусе. А дальше можно придумать цепочку ассоциаций. К примеру, вот такую:

В первую очередь, необходимо запомнить, что синус, косинус, тангенс и котангенс как отношения сторон треугольника не зависят от длин этих сторон (при одном угле). Не веришь? Тогда убедись, посмотрев на рисунок:

Рассмотрим, к примеру, косинус угла \( \beta \) . По определению, из треугольника \( ABC \) : \( \cos \beta =\dfrac=\dfrac<4><6>=\dfrac<2> <3>\) , но ведь мы можем вычислить косинус угла \( \beta \) и из треугольника \( AHI \) : \( \cos \beta =\dfrac=\dfrac<6><9>=\dfrac<2> <3>\) . Видишь, длины у сторон разные, а значение косинуса одного угла одно и то же. Таким образом, значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса зависят исключительно от величины угла.

Если разобрался в определениях, то вперёд закреплять их!

Для треугольника \( ABC \) , изображённого ниже на рисунке, найдём \( \sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \) .

\( \begin\sin \ \alpha =\dfrac<4><5>=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac<3><5>=0,6\\tg\ \alpha =\dfrac<4><3>\\ctg\ \alpha =\dfrac<3><4>=0,75\end \)

Ну что, уловил? Тогда пробуй сам: посчитай то же самое для угла \( \beta \) .

Ответы: \( \sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac<4> <3>\) .

Единичная (тригонометрическая) окружность

Разбираясь в понятиях градуса и радиана, мы рассматривали окружность с радиусом, равным \( 1 \) . Такая окружность называется единичной. Она очень пригодится при изучении тригонометрии. Поэтому остановимся на ней немного подробней.

Как можно заметить, данная окружность построена в декартовой системе координат. Радиус окружности равен единице, при этом центр окружности лежит в начале координат, начальное положение радиус-вектора зафиксировано вдоль положительного направления оси \( x \) (в нашем примере, это радиус \( AB \) ).

Каждой точке окружности соответствуют два числа: координата по оси \( x \) и координата по оси \( y \) . А что это за числа-координаты? И вообще, какое отношение они имеют к рассматриваемой теме? Для этого надо вспомнить про рассмотренный прямоугольный треугольник. На рисунке, приведённом выше, можно заметить целых два прямоугольных треугольника. Рассмотрим треугольник \( ACG \) . Он прямоугольный, так как \( CG \) является перпендикуляром к оси \( x \) .

Чему равен \( \cos \ \alpha \) из треугольника \( ACG \) ? Всё верно \( \cos \ \alpha =\dfrac \) . Кроме того, нам ведь известно, что \( AC \) – это радиус единичной окружности, а значит, \( AC=1 \) . Подставим это значение в нашу формулу для косинуса. Вот что получается:

А чему равен \( \sin \ \alpha \) из треугольника \( ACG \) ? Ну конечно, \( \sin \alpha =\dfrac \) ! Подставим значение радиуса \( AC \) в эту формулу и получим:

Так, а можешь сказать, какие координаты имеет точка \( C \) , принадлежащая окружности? Ну что, никак? А если сообразить, что \( \cos \ \alpha \) и \( \sin \alpha \) — это просто числа? Какой координате соответствует \( \cos \alpha \) ? Ну, конечно, координате \( x \) ! А какой координате соответствует \( \sin \alpha \) ? Всё верно, координате \( y \) ! Таким образом, точка \( C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha ) \) .

А чему тогда равны \( tg \alpha \) и \( ctg \alpha \) ? Всё верно, воспользуемся соответствующими определениями тангенса и котангенса и получим, что \( tg \alpha =\dfrac<\sin \alpha ><\cos \alpha >=\dfrac \) , а \( ctg \alpha =\dfrac<\cos \alpha ><\sin \alpha >=\dfrac \) .

А что, если угол будет больше \( 90<>^\circ =\dfrac<\pi > <2>\) ? Вот, к примеру, как на этом рисунке:

Ну вот, как видишь, значение синуса угла всё так же соответствует координате \( y \) ; значение косинуса угла – координате \( x \) ; а значения тангенса и котангенса соответствующим соотношениям. Таким образом, эти соотношения применимы к любым поворотам радиус-вектора.

Уже упоминалось, что начальное положение радиус-вектора – вдоль положительного направления оси \( x \) . До сих пор мы вращали этот вектор против часовой стрелки, а что будет, если повернуть его по часовой стрелке? Ничего экстраординарного, получится так же угол определённой величины, но только он будет отрицательным. Таким образом, при вращении радиус-вектора против часовой стрелки получаются положительные углы, а при вращении по часовой стрелке – отрицательные.

Итак, мы знаем, что целый оборот радиус-вектора по окружности составляет \( 360<>^\circ \) или \( 2\pi \) . А можно повернуть радиус-вектор на \( 390<>^\circ \) или на \( -1140<>^\circ \) ? Ну конечно, можно! В первом случае, \( 390<>^\circ =360<>^\circ +30<>^\circ \) , таким образом, радиус-вектор совершит один полный оборот и остановится в положении \( 30<>^\circ \) или \( \dfrac<\pi > <6>\) .

Во втором случае, \( -1140<>^\circ =-360<>^\circ \cdot 3-60<>^\circ \) , то есть радиус-вектор совершит три полных оборота и остановится в положении \( -60<>^\circ \) или \( -\dfrac<\pi > <3>\) .

Таким образом, из приведённых примеров можем сделать вывод, что углы, отличающиеся на \( 360<>^\circ \cdot m \) или \( 2\pi \cdot m \) (где \( m \) – любое целое число), соответствуют одному и тому же положению радиус-вектора.

Ниже на рисунке изображён угол \( \beta =-60<>^\circ \) . Это же изображение соответствует углу \( -420<>^\circ ,-780<>^\circ ,\ 300<>^\circ ,660<>^\circ \) и т. д. Этот список можно продолжить до бесконечности. Все эти углы можно записать общей формулой \( \beta +360<>^\circ \cdot m \) или \( \beta +2\pi \cdot m \) (где \( m \) – любое целое число)

\( \begin-420<>^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780<>^\circ =-60+360\cdot (-2);\\300<>^\circ =-60+360\cdot 1;\\660<>^\circ =-60+360\cdot 2.\end \)

Теперь, зная определения основных тригонометрических функций и используя единичную окружность, попробуй ответить, чему равны значения:

\( \begin\sin \ 90<>^\circ =?\\\cos \ 90<>^\circ =?\\\text\ 90<>^\circ =?\\\text\ 90<>^\circ =?\\\sin \ 180<>^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180<>^\circ =\cos \ \pi =?\\\text\ 180<>^\circ =\text\ \pi =?\\\text\ 180<>^\circ =\text\ \pi =?\\\sin \ 270<>^\circ =?\\\cos \ 270<>^\circ =?\\\text\ 270<>^\circ =?\\\text\ 270<>^\circ =?\\\sin \ 360<>^\circ =?\\\cos \ 360<>^\circ =?\\\text\ 360<>^\circ =?\\\text\ 360<>^\circ =?\\\sin \ 450<>^\circ =?\\\cos \ 450<>^\circ =?\\\text\ 450<>^\circ =?\\\text\ 450<>^\circ =?\end \)

Вот тебе в помощь единичная окружность:

Возникли трудности? Тогда давай разбираться. Итак, мы знаем, что:

Отсюда, мы определяем координаты точек, соответствующих определённым мерам угла. Ну что же, начнём по порядку: углу в \( 90<>^\circ =\dfrac<\pi > <2>\) соответствует точка с координатами \( \left( 0;1 \right) \) , следовательно:

\( \text\ 90<>^\circ =\dfrac=\dfrac<1><0>\Rightarrow \text\ 90<>^\circ \) — не существует;

Дальше, придерживаясь той же логики, выясняем, что углам в \( 180<>^\circ ,\ 270<>^\circ ,\ 360<>^\circ ,\ 450<>^\circ (=360<>^\circ +90<>^\circ )\ \) соответствуют точки с координатами \( \left( -1;0 \right),\text< >\left( 0;-1 \right),\text< >\left( 1;0 \right),\text< >\left( 0;1 \right) \) , соответственно. Зная это, легко определить значения тригонометрических функций в соответствующих точках. Сначала попробуй сам, а потом сверяйся с ответами.

Ответы:

\( \displaystyle \sin \ 180<>^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\( \displaystyle \cos \ 180<>^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\( \text\ 180<>^\circ =\text\ \pi =\dfrac<-1><0>\Rightarrow \text\ \pi \) — не существует

\( \text\ 270<>^\circ =\dfrac<-1><0>\Rightarrow \text\ 270<>^\circ \) — не существует

\( \text\ 360<>^\circ =\dfrac<1><0>\Rightarrow \text\ 2\pi \) — не существует

\( \sin \ 450<>^\circ =\sin \ \left( 360<>^\circ +90<>^\circ \right)=\sin \ 90<>^\circ =1 \)

\( \cos \ 450<>^\circ =\cos \ \left( 360<>^\circ +90<>^\circ \right)=\cos \ 90<>^\circ =0 \)

\( \text\ 450<>^\circ =\text\ \left( 360<>^\circ +90<>^\circ \right)=\text\ 90<>^\circ =\dfrac<1><0>\Rightarrow \text\ 450<>^\circ \) — не существует

\( \text\ 450<>^\circ =\text\left( 360<>^\circ +90<>^\circ \right)=\text\ 90<>^\circ =\dfrac<0><1>=0 \) .

Таким образом, мы можем составить следующую табличку:

Нет необходимости помнить все эти значения. Достаточно помнить соответствие координат точек на единичной окружности и значений тригонометрических функций:

А вот значения тригонометрических функций углов в \( 30<>^\circ =\dfrac<\pi ><6>,\ 45<>^\circ =\dfrac<\pi > <4>\) и \( 30<>^\circ =\dfrac<\pi ><6>,\ 45<>^\circ =\dfrac<\pi > <4>\) , приведённых ниже в таблице, необходимо запомнить:

Не надо пугаться, сейчас покажем один из примеров довольно простого запоминания соответствующих значений:

Для пользования этим методом жизненно необходимо запомнить значения синуса для всех трёх мер угла ( \( 30<>^\circ =\dfrac<\pi ><6>,\ 45<>^\circ =\dfrac<\pi ><4>,\ 60<>^\circ =\dfrac<\pi > <3>\) ), а также значение тангенса угла в \( 30<>^\circ \) . Зная эти \( 4 \) значения, довольно просто восстановить всю таблицу целиком — значения косинуса переносятся в соответствии со стрелочками, то есть:

\( \begin\sin 30<>^\circ =\cos \ 60<>^\circ =\dfrac<1><2>\ \ \\\sin 45<>^\circ =\cos \ 45<>^\circ =\dfrac<\sqrt<2>><2>\\\sin 60<>^\circ =\cos \ 30<>^\circ =\dfrac<\sqrt<3>><2>\ \end \)

\( \text\ 30<>^\circ \ =\dfrac<1><\sqrt<3>> \) , зная это можно восстановить значения для \( \text\ 45<>^\circ , \text\ 60<>^\circ \) . Числитель « \( 1 \) » будет соответствовать \( \text\ 45<>^\circ \ \) , а знаменатель « \( \sqrt<\text<3>> \) » соответствует \( \text\ 60<>^\circ \ \) . Значения котангенса переносятся в соответствии со стрелочками, указанными на рисунке. Если это уяснить и запомнить схему со стрелочками, то будет достаточно помнить всего \( 4 \) значения из таблицы.

Координаты точки на окружности

А можно ли найти точку (её координаты) на окружности, зная координаты центра окружности, её радиус и угол поворота? Ну, конечно, можно! Давай выведем общую формулу для нахождения координат точки. Вот, к примеру, перед нами такая окружность:

Нам дано, что точка \( K(<_<0>>;<_<0>>)=K(3;2) \) — центр окружности. Радиус окружности равен \( 1,5 \) . Необходимо найти координаты точки \( P \) , полученной поворотом точки \( O \) на \( \delta \) градусов.

Как видно из рисунка, координате \( x \) точки \( P \) соответствует длина отрезка \( TP=UQ=UK+KQ \) . Длина отрезка \( UK \) соответствует координате \( x \) центра окружности, то есть равна \( 3 \) . Длину отрезка \( KQ \) можно выразить, используя определение косинуса:

\( \cos \ \delta =\dfrac=\dfrac\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \) .

Тогда имеем, что для точки \( P \) координата \( x=<_<0>>+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \) .

По той же логике находим значение координаты y для точки \( P \) . Таким образом,

\( y=<_<0>>+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \) .

Итак, в общем виде координаты точек определяются по формулам:

\( \beginx=<_<0>>+r\cdot \cos \ \delta \\y=<_<0>>+r\cdot \sin \ \delta \end \) , где

\( <_<0>>,<_<0>> \) — координаты центра окружности,

\( r \) — радиус окружности,

\( \delta \) — угол поворота радиуса вектора.

Как можно заметить, для рассматриваемой нами единичной окружности эти формулы значительно сокращаются, так как координаты центра равны нулю, а радиус равен единице:

\( \beginx=<_<0>>+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y=<_<0>>+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end \)

Синус, косинус, тангенс в прямоугольном треугольнике

На всякий случай, уточним, что гипотенузой называется та сторона треугольника, что лежит против угла в 90 градусов, две оставшиеся стороны называются катетами прямоугольного треугольника.

Подробнее про прямоугольный треугольник здесь.

Синусом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенсом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

Бывает (и на ЕГЭ, ГИА), что приходится иметь дело с косинусами, синусами и тангенсами внешних углов треугольника. Формулы приведения позволяют увидеть, что есть еще и вот такая связь между смежными углами (помимо того, что их сумма равна 180):

Смотрите подборку задач на применение указанных соотношений в статье «Прямоугольный треугольник. Вычисление длин и углов» часть I, часть II.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя: