Системы уравнений

Прежде чем перейти к разбору как решать системы уравнений, давайте разберёмся, что называют системой уравнений с двумя неизвестными.

Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (чаще всего неизвестные в них называют « x » и « y »), которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Например, система уравнений может быть задана следующим образом.

Чтобы решить систему уравнений, нужно найти и « x », и « y ».

Как решить систему уравнений

Существуют два основных способа решения систем уравнений. Рассмотрим оба способа решения.

Способ подстановки
или
«железобетонный» метод

Первый способ решения системы уравнений называют способом подстановки или «железобетонным».

Название «железобетонный» метод получил из-за того, что с помощью этого метода практически всегда можно решить систему уравнений. Другими словами, если у вас не получается решить систему уравнений, всегда пробуйте решить её методом подстановки.

Разберем способ подстановки на примере.

Выразим из первого уравнения « x + 5y = 7 » неизвестное « x ».

Чтобы выразить неизвестное, нужно выполнить два условия:

  • перенести неизвестное, которое хотим выразить, в левую часть уравнения;
  • разделить и левую и правую часть уравнения на нужное число так, чтобы коэффициент при неизвестном стал равным единице.

Перенесём в первом уравнении « x + 5 y = 7 » всё что содержит « x » в левую часть, а остальное в правую часть по правилу переносу.

При « x » стоит коэффициент равный единице, поэтому дополнительно делить уравнение на число не требуется.

Теперь, вместо « x » подставим во второе уравнение полученное выражение
« x = 7 − 5y » из первого уравнения.

Подставив вместо « x » выражение « (7 − 5y) » во второе уравнение, мы получили обычное линейное уравнение с одним неизвестным « y ». Решим его по правилам решения линейных уравнений.

Чтобы каждый раз не писать всю систему уравнений заново, решим полученное уравнение « 3(7 − 5y) − 2y = 4 » отдельно. Вынесем его решение отдельно с помощью обозначения звездочка (*) .

Мы нашли, что « y = 1 ». Вернемся к первому уравнению « x = 7 − 5y » и вместо « y » подставим в него полученное числовое значение. Таким образом можно найти « x ». Запишем в ответ оба полученных значения.

Способы решения систем уравнений с двумя неизвестными

Линейные системы уравнений

Системы линейных уравнений. Метод подстановки

• Выражаем одну переменную через другую.

• Выраженную из одного уравнения переменную подставляем во второе уравнение. Получаем уравнение относительно одной переменной, которое и решаем.

• Опираясь на найденное значение одной переменной, находим значение второй, подставляя в оставшееся уравнение.

Решить систему уравнений:

Из первого уравнения системы выражаем через и подставляем во второе уравнение:

Вторая строка системы – уравнение с одной переменной. Решаем его и найденное значение подставляем в первое уравнение для нахождения .

Ответ:

Системы линейных уравнений. Метод сложения

Добиваемся, путем равносильных преобразований, наличия равных (или противоположных) коэффициентов при одной из неизвестных переменных в уравнениях.

Вычитаем (или складываем) полученные уравнения с целью выхода на уравнение с одной неизвестной.

Решаем полученное уравнение с одной неизвестной.

Найденное значение одной переменной подставляем в любое из уравнений системы, находим значение второй.

1. Решить систему уравнений:

Складываем уравнения системы, заменяя результатом одно из уравнений, оставляя другое.

Ответ:

2. Решить систему уравнений:

Прежде домножаем первую строку системы , вторую строку системы – на . Вычитаем уравнения системы, заменяя результатом одно из уравнений, оставляя другое.

Ответ:

Нелинейные системы уравнений

Системы уравнений, сводящихся к линейным

1. Решить систему уравнений:

Можно сделать замену и Тогда выходим на систему линейных уравнений:

Систему можно решить методом сложения, например.

Но приведем решение без замены.

Умножим первое уравнение системы на , второе – на и произведем сложение полученных уравнений, оставим при этом в системе, например, первое уравнение исходной системы.

Ответ:

2. Решить систему уравнений:

Можно сделать замену и выйти на систему линейных уравнений:

Приведем решение без замены.

Выражаем из второго уравнения системы и подставляем в первое.

Ответ:

Нелинейные системы уравнений. Метод подстановки

Решить систему уравнений:

Выражаем из первого уравнения системы и подставляем во второе.

Ответ:

Нелинейные системы уравнений. Метод сложения

Решить систему уравнений:

Складываем уравнения системы, заменяя результатом одно из уравнений, оставляя другое.

Ответ:

Нелинейные системы уравнений. Метод почленного умножения (деления)

1. Решить систему уравнений:

Производим деление первой строки на вторую, оставляем в системе вторую строку без изменений.

Ответ:

Симметрические системы. Метод введения переменной

Симметрическая система – система, все уравнения которой симметрические. Симметрическое уравнение от двух переменных и – уравнение, которое не изменяется при замене на и на .

Для таких систем удобно использовать замену

Решить систему уравнений:

При замене приходим к следующей системе

которую будем решать способом подстановки:

Производим обратную замену:

Ответ:

Системы однородных уравнений и приводящиеся к ним системы

Однородным уравнением с двумя неизвестными будем называть уравнение вида

1. Решить систему уравнений:

Первое уравнение системы – однородное. Производим деление первого уравнения системы на (можно и на или ). Заметим, опасности деления на ноль нет.

Первое уравнение системы – квадратное относительно .

Ответ:

2. Решить систему уравнений:

Применим прежде к системе метод сложения. После чего выйдем на однородное уравнение.

Ответ:

Графический метод решения систем уравнений

1. Решите графически систему уравнений:

Выразим в обеих строках системы через :

Первое уравнение системы задает прямую, второе – гиперболу. Строим графики в одной системе координат, находим координаты точек пересечения графиков.

Ответ:

2. Решите графически систему уравнений:

Первая строка системы задает окружность с центром в точке радиусом . Вторая строка системы задает прямую .

Находим координаты точек пересечения графиков:

Ответ:

3. Решите графически систему уравнений:

Первая строка системы задает параболу с ветвями вверх с вершиной в точке .

Так как , то из второй строки системы при условии, что То есть вторая строка системы задает прямую с выколотой точкой

Ответ:

Задания для самостоятельной работы

Решите системы уравнений:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Решите графически системы уравнений:

9.

10.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Методы решения систем уравнений с двумя неизвестными

Можно построить 2 графика, соответствующие данным уравнениям и найти координаты точек пересечения.

Минус этого метода в том, что точки пересечения могут быть не в целых координатах, и по графику точные значения чисел х и у сложно определить.

2. Метод подстановки

1) Выразить одну переменную через другую из одного уравнения системы.

2) Подставить полученное выражение в другое уравнение системы.

3) Решить полученное уравнение.

4) Найти соответствующее значение другой переменной.

5) Записать ответ в виде пар значений (х; у).

х = 5 — 3у — выразили х через у из первого уравнения системы

(5 — 3у) · у = 2 —подставили полученное выражение вместо х во второе уравнение

5у – 3у 2 = 2раскрыли скобки

3у 2 – 5у + 2 = 0перенесли все слагаемые в одну часть

D = 25 — 4·3·2= 25 – 24 = 1вычислили дискриминант

Подставляем поочередно каждое из найденных значений у в выражение х = 5 — 3у

Ответ: (2; 1), (3; )не забываем, что сначала записывается х, потом у.

3. Метод алгебраического сложения

Суть метода в том, чтобы путем сложения избавиться от одной из переменных. Для этого перед данной переменной нужно иметь в обоих уравнениях противоположные коэффициенты.

4. Метод введения новой переменной

Метод введения новых переменных при решении систем двух уравнений с двумя переменными применяется в двух вариантах.

Первый вариант: вводится одна новая переменная и используется только в одном уравнении системы.

Второй вариант: вводятся две новые переменные и используются одновременно в обоих уравнениях системы.

Рассмотрим эти случаи на примерах.

Введем новую переменную t = , тогда .

Решим первое уравнение относительно переменной t.

— Все слагаемые перенесли в левую часть, приводим к общему знаменателю

— Оба корня удовлетворяют ОДЗ

Обратная замена: => х = 2у или => у = 2х

Подставляем полученные выражения поочередно во второе уравнение.

Вводим две новые переменные: Тогда

Решим систему с новыми неизвестными:

решаем методом алгебраического сложения

Системы неравенств

Несколько неравенств с одной переменной х образуют систему неравенств, если ставится задача найти все такие значения переменной, при которых каждое из заданных неравенств с переменной обращается в верное числовое неравенство.

Любое такое х называют решением системы неравенств.

Алгоритм решения систем неравенств:

1) Решить каждое неравенство, входящее в систему по отдельности.

Решением каждого неравенства является какое-то числовое множество.

2) Найти общее решение, т. е. найти пересечение найденных числовых множеств.

решим каждое из линейных неравенств отдельно