Составьте уравнение касательной к графику функции y=x^3+2x в точке с абсциссой x0=-1

Ответ или решение 2

Уравнение касательной к к графику функции f(x) в точке х = х0 имеет следующий вид:

у = f'(x0) * (х — х0) + f(x0).

Следовательно, для того, чтобы записать уравнение касательной к графику некоторой f(x) в точке х = х0, необходимо:

  • найти, чему равна производная данной функции f'(x);
  • вычислить значение производной этой функции в точке х0;
  • вычислить значение самой функции в точке х0;
  • записать уравнение касательной.

При решении данной задачи будем действовать по этой схеме.

Находим производную функции f(x) = x³ + 2x

Для нахождения производной данной функции воспользуемся следующими фактами:

  • производная суммы функций равна сумме сумме производных этих функций;
  • производная от произведения функций и некоторого числа равна произведению этого числа и производной функции;
  • производная степенной функции у = х р вычисляется по формуле у’ = pх р-1 .

Используя данные утверждения, находим производную функции y = x³ + 2x.

Данная функция является суммой двух функций у = x³ и у = 2х.

Производная первой функции равна:

Производная второй функции равна:

Следовательно, производная функции y = x² + 2x равна:

f'(x) = (x³ + 2x)’ = (x³)’ + (2х)’ = 3x² + 2.

Находим значение производной функции f(x) = x³ + 2x в точке x = -1

Подставляя значение х = -1 в выражение для производной функции f'(x) = 3x² + 2, получаем:

f'(-1) = 3 * (-1)² + 2 = 3 + 2 = 5.

Находим значение самой функции f(x) = x³ + 2x в точке x = -1

Подставляя значение х = -1 в выражение уравнение функции f(x) = x³ + 2x, получаем:

f(-1) = (-1)³ + 2 * (-1) = -1 — 2 = -3.

Записываем уравнение касательной

Подставляя все найденные значения в общее уравнение касательной для функции f(x), получаем:

Ответ: искомое уравнение касательной у = 5х + 2.

10.3.1. Уравнение касательной

Выведем уравнение касательной к графику функции y=f (x) в точке с абсциссой х0. Для наглядности используем график из предыдущего урока 10.3. («Определение производной. Геометрический смысл производной») и выведем уравнение касательной МТ.

Так как точку М мы взяли произвольно, то должны получить уравнение касательной, которое будет справедливо для любой функции y=f (x), имеющей касательную в определенной точке с абсциссой х0.

Итак, любую прямую можно записать в виде y=kx+b, где k — угловой коэффициент прямой. Мы теперь знаем, что в качестве углового коэффициента можно взять f ‘(х0) — значение производной функции y=f (x) в точке с абсциссой х0. Эта точка является общей точкой для функции и для касательной МТ.

Таким образом, касательная МТ имеет вид: y=f ‘(х0)·x+b. Осталось определить значение b. Это мы сделаем просто: подставим координаты точки М в последнее равенство, т. е. вместо х запишем х0, а вместо у подставим f (х0). Получаем равенство:

f (х0) =f ‘(х0)·х0+b.

Отсюда b=f (х0)f ‘(х0)·х0. Подставляем это значение b в равенство: y=f ‘(х0)·x+b. Тогда:

y =f ‘(х0)·х+f (х0)f ‘(х0)·х0. Упростим.

y=f (х0)+(f ‘(х0)·х f ‘(х0)·х0) или

y=f (х0)+f ‘(х0)(х х0). Это и есть искомое уравнение касательной МТ.

Выполнить следующие задания.

1. Написать уравнение касательной к графику функции y=x 2 в точке x0=3. Сделать чертеж.

Решение.

Запишем уравнение касательной к графику функции y=f (x) в точке с абсциссой x0 в общем виде:

Находим значение данной функции в точке с данной абсциссой:

f (x0)=f (3)=3 2 = 9 .

Находим производную f ‘(x)=(x 2 )’=2x и находим значение этой производной при х=3.

Тогда f ‘(x0)=f ‘(3)=2·3= 6 .

Подставим найденные значения

f (x0)= 9 и f ‘(x0)= 6 в уравнение касательной, получим:

y= 9 + 6 ·(x-3);

y= 6 x-9 — искомое уравнение касательной.

Ответ: y= 6 x-9.

2. Написать уравнение касательной к графику функции

Решение.

Записываем общее уравнение касательной: y=f (x0) +f ‘(x0)(x-x0). Находим значение данной функции в точке х=1, получаем:

f (x0)=f (1) = 1 . Найдем производную данной функции по формуле производной степени:

f ‘(x)=(x -2 )=-2x -2-1 =-2x -3 .

Находим значение этой производной при х=1.

f ‘(x0)=f (1)=-2·(1) -3 = -2 . Подставляем найденные значения в общее уравнение касательной:

y= 12 (x-1);

y= -2 x+3 — искомое уравнение касательной.

Ответ: y=- 2 x+3.

Уравнение касательной

В этой статье мы разберем все типы задач на нахождение уравнения касательной.

Вспомним геометрический смысл производной: если к графику функции в точке проведена касательная, то коэффициент наклона касательной (равный тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси ) равен производной функции в точке .

Возьмем на касательной произвольную точку с координатами :

И рассмотрим прямоугольный треугольник :

В этом треугольнике

Это и есть уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке .

Чтобы написать уравнение касательной, нам достаточно знать уравнение функции и точку, в которой проведена касательная. Тогда мы сможем найти и .

Есть три основных типа задач на составление уравнения касательной.

1. Дана точка касания

2. Дан коэффициент наклона касательной, то есть значение производной функции в точке .

3. Даны координаты точки, через которую проведена касательная, но которая не является точкой касания.

Рассмотрим каждый тип задач.

1 . Написать уравнение касательной к графику функции в точке .

а) Найдем значение функции в точке .

б) Найдем значение производной в точке . Сначала найдем производную функции

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

Раскроем скобки в правой части уравнения. Получим:

Ответ: .

2 . Найти абсциссы точек, в которых касательные к графику функции параллельны оси абсцисс.

Если касательная параллельна оси абсцисс, следовательно угол между касательной и положительным направлением оси равен нулю, следовательно тангенс угла наклона касательной равен нулю. Значит, значение производной функции в точках касания равно нулю.

а) Найдем производную функции .

б) Приравняем производную к нулю и найдем значения , в которых касательная параллельна оси :

Приравняем каждый множитель к нулю, получим:

Ответ: 0;3;5

3 . Написать уравнения касательных к графику функции , параллельных прямой .

Касательная параллельна прямой . Коэффициент наклона этой прямой равен -1. Так как касательная параллельна этой прямой, следовательно, коэффициент наклона касательной тоже равен -1. То есть мы знаем коэффициент наклона касательной, а, тем самым, значение производной в точке касания.

Это второй тип задач на нахождение уравнения касательной.

Итак, у нас дана функция и значение производной в точке касания.

а) Найдем точки, в которых производная функции равна -1.

Сначала найдем уравнение производной.

Приравняем производную к числу -1.

б) Найдем уравнение касательной к графику функции в точке .

Найдем значение функции в точке .

Подставим эти значения в уравнение касательной:

б) Найдем уравнение касательной к графику функции в точке .

Найдем значение функции в точке .

Подставим эти значения в уравнение касательной:

Ответ:

4 . Написать уравнение касательной к кривой , проходящей через точку

Сначала проверим, не является ли точка точкой касания. Если точка является точкой касания, то она принадлежит графику функции, и её координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим координаты точки в уравнение функции.

sqrt<8-3^2>» title=»1<>sqrt<8-3^2>«/> . Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и не является точкой касания.

Это последний тип задач на нахождение уравнения касательной. Первым делом нам нужно найти абсциссу точки касания.

Пусть — точка касания. Точка принадлежит касательной к графику функции . Если мы подставим координаты этой точки в уравнение касательной, то получим верное равенство:

Значение функции в точке равно .

Найдем значение производной функции в точке .

Сначала найдем производную функции . Это сложная функция.

Производная в точке равна .

Подставим выражения для и в уравнение касательной. Получим уравнение относительно :

Решим это уравнение.

Сократим числитель и знаменатель дроби на 2:

Приведем правую часть уравнения к общему знаменателю. Получим:

Упростим числитель дроби и умножим обе части на — это выражение строго больше нуля.

Решим его. Для этого возведем обе части в квадрат и перейдем к системе.

Решим первое уравнение.

Решим квадратное уравнение, получим

Второй корень не удовлетворяет условию =0″ title=»8-3x_0>=0″/> , следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .

Напишем уравнение касательной к кривой в точке . Для этого подставим значение в уравнение — мы его уже записывали.