Способы решения систем уравнений с двумя неизвестными

Линейные системы уравнений

Системы линейных уравнений. Метод подстановки

• Выражаем одну переменную через другую.

• Выраженную из одного уравнения переменную подставляем во второе уравнение. Получаем уравнение относительно одной переменной, которое и решаем.

• Опираясь на найденное значение одной переменной, находим значение второй, подставляя в оставшееся уравнение.

Решить систему уравнений:

Из первого уравнения системы выражаем через и подставляем во второе уравнение:

Вторая строка системы – уравнение с одной переменной. Решаем его и найденное значение подставляем в первое уравнение для нахождения .

Ответ:

Системы линейных уравнений. Метод сложения

Добиваемся, путем равносильных преобразований, наличия равных (или противоположных) коэффициентов при одной из неизвестных переменных в уравнениях.

Вычитаем (или складываем) полученные уравнения с целью выхода на уравнение с одной неизвестной.

Решаем полученное уравнение с одной неизвестной.

Найденное значение одной переменной подставляем в любое из уравнений системы, находим значение второй.

1. Решить систему уравнений:

Складываем уравнения системы, заменяя результатом одно из уравнений, оставляя другое.

Ответ:

2. Решить систему уравнений:

Прежде домножаем первую строку системы , вторую строку системы – на . Вычитаем уравнения системы, заменяя результатом одно из уравнений, оставляя другое.

Ответ:

Нелинейные системы уравнений

Системы уравнений, сводящихся к линейным

1. Решить систему уравнений:

Можно сделать замену и Тогда выходим на систему линейных уравнений:

Систему можно решить методом сложения, например.

Но приведем решение без замены.

Умножим первое уравнение системы на , второе – на и произведем сложение полученных уравнений, оставим при этом в системе, например, первое уравнение исходной системы.

Ответ:

2. Решить систему уравнений:

Можно сделать замену и выйти на систему линейных уравнений:

Приведем решение без замены.

Выражаем из второго уравнения системы и подставляем в первое.

Ответ:

Нелинейные системы уравнений. Метод подстановки

Решить систему уравнений:

Выражаем из первого уравнения системы и подставляем во второе.

Ответ:

Нелинейные системы уравнений. Метод сложения

Решить систему уравнений:

Складываем уравнения системы, заменяя результатом одно из уравнений, оставляя другое.

Ответ:

Нелинейные системы уравнений. Метод почленного умножения (деления)

1. Решить систему уравнений:

Производим деление первой строки на вторую, оставляем в системе вторую строку без изменений.

Ответ:

Симметрические системы. Метод введения переменной

Симметрическая система – система, все уравнения которой симметрические. Симметрическое уравнение от двух переменных и – уравнение, которое не изменяется при замене на и на .

Для таких систем удобно использовать замену

Решить систему уравнений:

При замене приходим к следующей системе

которую будем решать способом подстановки:

Производим обратную замену:

Ответ:

Системы однородных уравнений и приводящиеся к ним системы

Однородным уравнением с двумя неизвестными будем называть уравнение вида

1. Решить систему уравнений:

Первое уравнение системы – однородное. Производим деление первого уравнения системы на (можно и на или ). Заметим, опасности деления на ноль нет.

Первое уравнение системы – квадратное относительно .

Ответ:

2. Решить систему уравнений:

Применим прежде к системе метод сложения. После чего выйдем на однородное уравнение.

Ответ:

Графический метод решения систем уравнений

1. Решите графически систему уравнений:

Выразим в обеих строках системы через :

Первое уравнение системы задает прямую, второе – гиперболу. Строим графики в одной системе координат, находим координаты точек пересечения графиков.

Ответ:

2. Решите графически систему уравнений:

Первая строка системы задает окружность с центром в точке радиусом . Вторая строка системы задает прямую .

Находим координаты точек пересечения графиков:

Ответ:

3. Решите графически систему уравнений:

Первая строка системы задает параболу с ветвями вверх с вершиной в точке .

Так как , то из второй строки системы при условии, что То есть вторая строка системы задает прямую с выколотой точкой

Ответ:

Задания для самостоятельной работы

Решите системы уравнений:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Решите графически системы уравнений:

9.

10.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Решение квадратных систем уравнений с двумя переменными

Метод сложения основан на теоремах 5.5 и 5.6 (п. 163). Суть его поясним на примерах.

Пример 1. Решить систему уравнений

Решение. Умножив обе части второго уравнения системы на 3, получим систему

равносильную данной по теореме 5.5.

Сложим теперь оба уравнения полученной системы. По теореме 5.6 система

равносильна системе (2). Система (3), в свою очередь, преобразуется к виду

Из уравнения находим . Подставив это значение в уравнение находим

Итак, решение системы (3), а значит, и решение равносильной ей системы (1).

Пример 2. Решить систему уравнений

Решение. Если обе части первого уравнения системы умножить на 2 и вычесть полученное уравнение из второго уравнения системы, то взаимно уничтожатся члены, содержащие переменные во второй степени:

Мы приходим к более простой системе

которую нетрудно решить методом подстановки. Имеем значит,

Если , то если , то

Ответ: (0; — 1) и (1,5; 0,5).

166. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом введения новых переменных. Метод введения новых переменных применяется при решении систем двух уравнений с двумя переменными одним из следующих способов: 1) вводится одна новая переменная только для одного уравнения системы; 2) вводятся две новые переменные сразу для обоих уравнений.

Пример 1. Решить систему

Решение. Положим тогда и первое уравнение системы примет вид . Решим полученное уравнение относительно новой переменной

Таким образом, либо либо

Итак, первое уравнение заданной системы распалось на два уравнения: . В соответствии с этим нам предстоит теперь решить совокупность двух систем:

Из первой системы находим из второй . Ответ: (2; 3) и (3; 2).

Пример 2. Решить систему уравнений

Решение. Положим Тогда и система примет вид

Полученную систему можно решить методом подстановки. Выразив из второго уравнения через и, получим и, подставив результат в первое уравнение, получим

Итак, нашли два решения системы (1):

Возвращаясь к исходным переменным, получим совокупность двух систем:

каждую из которых нетрудно решить методом подстановки

(выразив, например, у через х из первого уравнения). Первая система не имеет действительных решений, а вторая имеет два решения: (3; 4) и (4; 3). Они и будут решениями исходной системы.

Системы уравнений. Начальный уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных:

Методы решения систем уравнений:

1. Решение методом подстановки

Нужно в одном из уравнений выразить одну переменную через другие, а затем полученное выражение подставить в остальные уравнения вместо этой переменной, повторять подобную процедуру пока не будут найдены все переменные.

2. Решение графическим методом

Если построить графики для каждого уравнения в одной системе координат, решениями системы уравнений будут точки пересечения графиков.

Графический метод – самый неточный. Практически его можно применять только для систем линейных уравнений (вида ), графиками которых являются прямые. Если же хотя бы одно из уравнений имеет более сложный вид (содержит квадрат, корень, логарифм и т. д.), то не рекомендуется использовать графический метод (только для иллюстраций).

3. Решение методом сложения

Метод сложения основан на следующем: если сложить левые части двух (или больше) уравнений, полученное выражение будет равно сложенным правым частям этих же уравнений.

Но ни в коем случае не наоборот:

Другими словами, если задано несколько уравнений с одной, двумя или больше неизвестными, и все эти уравнения (равенства) должны одновременно выполняться, такую группу уравнений мы называем системой.

Объединяем уравнения в систему с помощью фигурной скобки:

Система уравнений и методы ее решения

Метод подстановки

Это самый простой метод, но зачастую – самый трудоемкий. Идея проста – нужно в одном из уравнений выразить одну переменную через другие, а затем полученное выражение подставить в остальные уравнения вместо этой переменной.

Затем точно так же выражаем и подставляем другую переменную и т. д., пока не получим уравнение с одной переменной. После его решения и нахождения одной из переменных — последовательно возвращаемся к ранее выраженным, подставляя найденные значения.

Непонятно? Давай рассмотрим на примере

Пример 1.

Из второго уравнения очень просто выразить :

Теперь подставим то, что получилось вместо в первое уравнение:

Мы получили уравнение с одной неизвестной, которое очень просто решить:

А теперь вернемся к выраженному и подставим в него полученное значение :

Ответ:

Ответ, кстати, принято записывать как координаты, то есть в таком виде: . В случае трех неизвестных: , и так далее.

То есть ответ в нашем примере запишется так:

Ответ:

Попробуй сам решить несколько примеров методом подстановки:

Ответы:

1) Здесь проще всего выразить из второго уравнения неравенства –

, а затем подставить в первое.

Ответ:

2) Выражаем из второго уравнения и подставляем в первое.

Ответ:

3) Здесь лучше выразить из первого уравнения:

, а затем уже подставлять во второе.

Ответ:

Графический метод

Недаром ответ записывается так же, как координаты какой-нибудь точки. Ведь если построить графики для каждого уравнения в одной системе координат, решениями системы уравнений будут точки пересечения графиков.

Например, построим графики уравнений из предыдущего примера. Для этого сперва выразим в каждом уравнении, чтобы получить функцию (ведь мы привыкли строить функции относительно ):

Видно, что графики пересекаются в точке с координатами .

Графический метод – самый неточный. Практически его можно применять только для систем линейных уравнений (вида ), графиками которых являются прямые. Если же хотя бы одно из уравнений имеет более сложный вид (содержит квадрат, корень, логарифм и т. д.), то не рекомендуется использовать графический метод (лучше использовать его только для иллюстраций).

Метод сложения

Метод сложения основан на следующем: если сложить левые части двух (или больше) уравнений, полученное выражение будет равно сложенным правым частям этих же уравнений. То есть:

(но ни в коем случае не наоборот: )

Действительно, мы ведь имеем право прибавить к обеим частям уравнения одно и то же число, например, прибавим к первому уравнению число :

Но раз , в правой части можем заменить на :

Пример 2

Сложим эти уравнения (левые части друг с другом, и правые – тоже друг с другом):

Вот как! просто уничтожился в результате сложения. Скажу сразу, это и была цель всего действия: складываем уравнения только тогда, когда при этом получим более простое уравнение.

Остается теперь только подставить в любое уравнение вместо число :

Ответ:

Пример 3.

Очевидно, здесь сложение ничего не даст. Придется решать другим методом? Нет! Иначе метод сложения был бы полезен слишком редко. Мы ведь можем умножать любое уравнение на любое ненулевое число? Так давай умножим первое уравнение на такое число, чтобы потом при сложении какая-то переменная исчезла. Лучше всего умножить на :

Теперь можно складывать:

Теперь подставим в первое уравнение системы:

Ответ:

Теперь порешай сам (методом сложения):

Ответы:

1. На что здесь надо умножить, чтобы коэффициенты при x или y были противоположными? Хм. Как из получить или из получить ? Умножать на дробное число? Слишком громоздко получится. Но ведь можно умножить оба уравнения! Например, первое на , второе на :

Теперь, сложив уравнения, мы можем легко найти .

Подставляем в любое из уравнений и находим .

Ответ: .

2. Решать нужно аналогично первому примеру – сначала нужно умножить первое уравнение на , а второе на , и сложить.

Ответ: .

3. Первое умножаем на , а второе на и складываем.

Ответ: .

4. Умножать можно и на дроби, то есть делить. Умножим первое уравнение на , а второе на :

Теперь сложим уравнения:

Подставив в первое уравнение, найдем :

Ответ:

Тренировка.

Теперь попробуй сам определить наиболее рациональный способ решения, а затем проверь ответы. Подсказок уже не будет!

Ответы:

Как видишь, система уравнений — базовая, но не самая сложная тема, используй методы, описанные в этой статье, и ты без труда справишься с решением систем.

Комментарии

Помогите. Произошел сбой в системе мозга( Вы все хорошо разьясняете, но надо решить систему, где в уравнениях есть степени..и тут пошло(( первое уравнение системы: 5 в степени х минус 5 в степени у равно 100 второе уравнение системы: 5 в степени х-1 плюс 5 в степени у-1 равно 30 Если есть возможность, помогите подробно разобрать его..что бы не вызывались дальнейшие трудности

Решить подобную систему достаточно легко. Нужно преобразовать её в знакомый вид. Чтобы это сделать, для начала переделайте степени второго уравнения. 5^(x-1) +5^(y-1) = 30 5^x / 5 +5^y / 5 = 30 умножим уравнение на 5 5^x + 5^y = 150 переносим 5^y в правую часть. 5^x = 150 — 5^y Теперь подставляем получившееся уравнение в первое уравнение (обычный метод подстановки) 150 — 5^y — 5^y = 100 складываем подобные — 2* 5^y = — 50 делим на 2 — 5^y = — 25 5^y = 25 5^y = 5^2 y=2 Подставляем значение в любое из уравнений, которые были даны нам в начале 5^x — 5^y = 100 5^x — 5^2 = 100 5^x — 25 = 100 5^x = 125 5^x = 5^3 x=3 Ответ готов! Получилась пара чисел (3;2)

В методе подстановки вторая система уравнений решена неправильно. В данном случае ответом будет не целая пара чисел (3;-1), а обыкновенная дробь (64/21; -8/7)

Ответ ко второй системе уравнений в разделе метод сложения тоже неверный. Пара чисел (7;5) не является решением. Ответом будет (147/62; 72/31)

Полина, спасибо, обе ошибки исправили.

Объясните пожалуйста куда здесь девались (x-1) и (y-1)

Никита, уточни, пожалуйста, о каком примере идёт речь?

Распространение материалов без согласования допустимо при наличии dofollow-ссылки на страницу-источник.

Политика конфиденциальности

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т. д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail