Средняя линия треугольника и его площадь

Выясним, как связаны средняя линия треугольника и его площадь.

I. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этой стороне:

Поскольку средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, равна половине третьей стороны:

то можно найти площадь треугольника через его среднюю линию:

Площадь треугольника равна произведению средней линии и высоты, перпендикулярной этой средней линии.

II. Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от него подобный треугольник.

Если MN — средняя линия треугольника ABC и MN параллельна AC, то треугольники ABC и MBN подобны.

Так как площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих сторон, то

Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого равна четверти площади исходного треугольника.

Например, если площадь треугольника ABC равна 40 см², то средняя линия MN, параллельная стороне AC, делит его площадь на части:

Площадь трапеции AMNC составляет три четверти площади треугольника ABC

или может быть найденакак разность площадей треугольников ABC и MBC.

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Найти площадь треугольника, средняя линия которого

Рассмотрим задачу на подобие, где требуется найти площадь треугольника, средняя линия которого делит его на части.

Средняя линия треугольника делит его на треугольник и трапецию, площади которых относятся как 1:3.

FK — средняя линия

Рассмотрим ∆ FCK и ∆ ACB

По свойству средней линии треугольника, FK∥AB и FK=1/2 AB.

Отсюда, ∠CFK=∠CAB (как соответственные при FK∥AB и секущей AC).

Следовательно, ∆ FCK и ∆ ACB подобны (по двум углам).

Так как площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров, то

Итак, средняя линия треугольника делит его на треугольник и трапецию, площади которых, соответственно, составляют одну четверть и три четверти от площади исходного треугольника, значит,

Средняя линия треугольника

Формулы и свойства средней линии треугольника

  • Средняя линия треугольника параллельна одной стороне и равна ее половине:
  • В любом треугольнике можно провести три средних линии, при пересечении которых образуются 4 равных треугольника, подобных исходному с коэффициентом 1/2.
  • Средняя линия отсекает треугольник, который подобен данному, а его площадь равна одной четвёртой площади исходного треугольника.
  • Примеры решения задач

    Найдем площадь треугольника :

    Так как средняя линия отсекает треугольник , площадь которого равна одной четвёртой площади исходного треугольника , то площадь треугольника равна:

    Теперь можно найти периметр треугольника как сумму длин всех его сторон: