Свойства вписанных углов в окружность

На рисунке таким углом является .

Свойства вписанных углов

  1. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
  2. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу:
  • Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
  • Вписанный угол, опирающийся на диаметр равен 90°.
  • Любая пара вписанных углов, опирающихся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по разные стороны хорды, составляют в сумме 180°.
  • Окружность. Центральный и вписанный угол

    Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности.
    Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее.

    На рисунке — центральные и вписанные углы, а также их важнейшие свойства.

    Итак, величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается.
    Значит, центральный угол величиной в градусов будет опираться на дугу, равную , то есть круга. Центральный угол, равный , опирается на дугу в градусов, то есть на шестую часть круга.

    Величина вписанного угла в два раза меньше центрального, опирающегося на ту же дугу.

    Также для решения задач нам понадобится понятие «хорда».

    Равные центральные углы опираются на равные хорды.

    1 . Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности? Ответ дайте в градусах.

    Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.

    2 . Центральный угол на больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

    Пусть центральный угол равен , а вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен .

    Мы знаем, что .
    Отсюда ,
    .

    Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

    3 . Радиус окружности равен . Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную . Ответ дайте в градусах.

    Пусть хорда равна . Тупой вписанный угол, опирающийся на эту хорду, обозначим .
    В треугольнике стороны и равны , сторона равна . Нам уже встречались такие треугольники. Очевидно, что треугольник — прямоугольный и равнобедренный, то есть угол равен .
    Тогда дуга равна , а дуга равна .
    Вписанный угол опирается на дугу и равен половине угловой величины этой дуги, то есть .

    4 . Хорда делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как . Под каким углом видна эта хорда из точки , принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.

    Главное в этой задаче — правильный чертеж и понимание условия. Как вы понимаете вопрос: «Под каким углом хорда видна из точки ?»
    Представьте, что вы сидите в точке и вам необходимо видеть всё, что происходит на хорде . Так, как будто хорда — это экран в кинотеатре 🙂
    Очевидно, что найти нужно угол .
    Сумма двух дуг, на которые хорда делит окружность, равна , то есть

    Чему равен вписанный угол

    Выясним, чему равен вписанный угол окружности и как его величина связана с величиной центрального угла.

    (О вписанном угле)

    Вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла.

    Дано : окружность (O; R),

    1) Рассмотрим частный случай, когда одна из сторон угла проходит через центр окружности.

    В треугольнике AOB OA=OB (как радиусы). Значит, треугольник AOB — равнобедренный с основанием AB. Следовательно, у него углы при основании равны:∠ABO=∠BAO.

    ∠AOC — внешний угол треугольника AOB. Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

    2) Если центр окружности лежит между сторонами угла.

    Проведем из вершины вписанного угла ABC диаметр BF.

    Аналогично, ∠AOF — внешний угол при вершине O равнобедренного треугольника ABO и

    ∠FOC — внешний угол при вершине O равнобедренного треугольника BCO и

    3) Если центр окружности лежит вне угла.

    Проведем диаметр BF.

    ∠AOF — внешний угол при вершине O равнобедренного треугольника ABO и

    ∠СOF — внешний угол при вершине O равнобедренного треугольника BCO и

    Что и требовалось доказать.

    Дугу окружности можно измерять в градусах. Если центральный угол AOC меньше либо равен 180º, то градусная мера дуги AC равна градусной мере центрального угла AOC:

    Если центральный угол AOC больше 180º, то градусная мера дуги AC равна 360º-∠AOC.

    Таким образом, сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360º.

    Другая формулировка теоремы о вписанном угле:

    Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.