Тема исследование функций с помощью производных

§1. Условие постоянства функции

Теорема. Если функция непрерывна на промежутке и во всех внутренних точках отрезка , то постоянна на этом промежутке.

Доказательство. Пусть . Применим теорему Лагранжа к функции на промежутке : . Но по условию , следовательно, и поэтому (на правом конце в силу непрерывности).

Пример. Рассмотрим функцию на промежутке . Её производная:

Следовательно, const на . Чтобы найти эту константу, достаточ-но вычислить в любой точке, например, . Итак, мы доказали тождество .

В интегральном исчислении важное приложение найдет следствие, вытекающее из доказанной теоремы.

Следствие. Если функции и непрерывны на промежутке и имеют равные производные во всех внутренних точках промежутка, то эти функции всюду в отличаются лишь на постоянную: .

Для доказательства достаточно применить теорему к вспомогательной функции . Тогда и .

§2. Условие монотонности функции

Известно, что функция называется строго возрастающей на , если для любых точек из неравенства следует неравенство . Другими словами знак приращения функции совпадает со знаком приращения аргумента: . Для убывающей функции, естественно, .

Теорема. (Достаточное условие монотонности). Пусть функция дифференцируема на . Тогда:

1) если на ,то строго возрастает на ;

2) если на ,то строго убывает на .

Доказательство. Возьмём две произвольные точки , причём пусть . Применим теорему Лагранжа к функции на промежутке (условия теоремы выполнены, ибо непрерывность вытекает из её дифференцируемости): По предположению , следовательно, знак определяется знаком производной. 1) Если , то и и ; т. к. это верно для любых , то возрастает на . 2) Если , то и и , что означает убывание .

Замечание. Связь между знаком и направлением изменения геометрически очевидна, если вспомнить, что производная – это угловой коэффициент касательной к графику . Однако, даже у строго монотонной функции касательная может быть и горизонтальной, т. е. для отдельных значений может обращаться в0. Примером служит функция : она строго возрастает, но производная при обращается в ноль.

Итак, теорема сводит вопрос о возрастании (убывании) функции к решению неравенства ( ).

Пример. Исследовать на монотонность функцию . Находим производную и разлагаем её на множители: . Метод интервалов позволяет определить знак :

На интервалах и функция возрастает, а на – убывает.

§3. Исследование функции на экстремум

Напомним уже известные факты. Во-первых, точка экстремума – это всегда внутренняя точка области определения функции; она характеризуется тем, что знак приращения функции не зависит от знака приращения аргумента, если последнее достаточно мало. Во-вторых, необходимое условие экстремума даётся теоремой Ферма: если в точке экстремума функция дифференцируема (т. е. обладает конечной производной), то производная в этой точке равна 0.

Точки, в которых производная функции обращается в ноль, принято называть стационарными точками.

Однако, если рассматривать функции, не имеющие в отдельных точках конечной двусторонней производной, то не исключена возможность, что экстремум придётся на какую на какую-либо из таких точек. Например, функции и имеют в минимумы, в тоже время , и , .

Определение. Точку называют критической точкой первого порядка функции , если или не существует.

Из теоремы Ферма следует, что точки экстремума следует искать среди критических точек (их ещё называют точками возможного экстремума). Требуется дополнительное исследование таких точек, чтобы отобрать среди них точки экстремума. Это исследование выполняется с помощью достаточных условий экстремума.

Теорема 1 (первое достаточное условие экстремума). Пусть – крити-ческая точка первого порядка непрерывной функции и пусть существует такое, что в односторонних окрестностях этой точки: и – функция дифференцируема и её производная сохраняет знак. Тогда:

1) если в и в , то – точка максимума;

2) если в и в , то – точка минимума;

3) если одного знака в и , то в точке нет экстремума.

Доказательство. 1) Возьмём произвольные точки и и рассмотрим функцию на двух промежутках: и . На каждом из этих промежутков функция удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа, следовательно, существуют точки и такие, что:

Из этих неравенств вытекает, что и . Таким образом значение – самое большое среди значений для . Это и означает: – точка максимума.

2) Доказывается аналогично.

3) Если , то возрастает как в , так и в . Если же , то убывает в тех же окрестностях. В обоих случаях такое поведение функции говорит о том, что в точке у неё нет

Замечание 1. Требование непрерывности функции нельзя ослабить, о чем свидетельствует рисунок: в точке функция имеет максимум, в то же время при переходе через эту точку производная не меняет знак.

Замечание 2. Доказанную теорему не всегда можно применить, ибо для некоторых функций требование сохранения знака производной не выполняется. Например, для функции

, значит, точка 0 – критическая точка. Далее, для

Выражение в скобках ограничено, поэтому при близких к нулю первый член полученной разности также близок к нулю, а второй член принимает значения от –1 до +1. Значит, знак определяется членом . Но в точках вида этот член обращается в ноль и меняет знак. А так как при , то в любой сколь угодно малой окрестности нуля бесконечное число раз меняет знак.

Теорема 2 (второе достаточное условие экстремума). Пусть функция имеет в критической точке конечную вторую производную. Тогда:

1) если , то – точка минимума;

2) если , то – точка максимума;

3) если , то требуется дополнительное исследование.

Доказательство. Существование конечной производной означает, что существует конечная производная в некоторой окрестности точки и , ибо – критическая точка. Обозначим . Тогда условия теоремы означают, что существует конечный предел

Пусть, например, . Тогда для близких к и , то есть . Это означает, что функция возрастает в некоторой окрестности точки . Но . Следовательно, левее точки функция отрицательна, а правее – положительна. Однако, . Значит, первая производная данной функции при переходе через точку меняет знак с «–» на «+». Это означает, что точка – точка минимума. Аналогично рассматривается и случай . В необходимости дополнительного исследования, когда , убеждают две функции: и . Очевидно, что – точка0 критическая для обеих функций, и . Однако, для ноль – это точка минимума, а в нуле не имеет экстремума.

Замечание 3. В теме «Формулы Тейлора и Маклорена» будет сформулировано и доказано третье достаточное условие экстремума, с помощью которого и производится это дополнительное исследование.

Пример 1. Найти точки экстремума функции .

Решение. Раскроем знак модуля и вычислим производную:

Наличие модуля в выражении для может привести, и в нашем случае приводит, к несуществованию в точке, где модуль обращается в ноль. Действительно,

Отличие левой производной от правой и означает отсутствие производной в точке , т. е. эта точка – критическая. Другие критические точки – это нули производной:

Итак, имеем две критические точки Они разбивают область определения функции на интервалы знакопостоянства производной, т. е. на интервалы монотонности функции. Для определения знака на интервале достаточно определить этот знак в какой-либо точке интервала. Дальнейшее исследование удобно вести, нарисовав вспомогательный чертёж:

Еще раз напомним, что критические точки наносятся на область определения. Мы получаем 4 интервала. Определяем знаки :

Анализ чертежа показывает: в точке функция имеет локальный минимум, причём , а в точке – локальный максимум: .

На чертеже видны и интервалы монотонности : на и функция возрастает, а на и – убывает.

Замечание 4. В точке максимума рассмотренная функция имеет нулевую производную и касательная к графику функции – горизонтальна. О таком максимуме говорят «гладкий максимум» (аналогично «гладкий минимум»). В противоположность этому, точка является точкой «негладкого минимума» – в этой точке производная не существует, хотя есть односторонние производные. Соответствующая точка графика называетсяугловой точкой графика.

Пример 2. Найти экстремумы функции .

Исследование функции на монотонность с помощью производной.

2)если ф-ция f(x) всюду в интервале убывает, то ее производная в этом интервале неположительная (f`(x) 0, x2>x1

Точка х называется точкой max ф-ции, если значение ф-ции в этой точке — наименьшее в некоторой ее окрестности.

1- локальный max

2- локальный min

3- глобальный max

4- глобальный min

если tga>0, то f`(x)>0

Достаточный признак: если f«(x) всюду в интервале “-”, то линия в интервале выпуклая; если f«(x)>0, то линия вогнутая

Признаки точки перегиба: чтобы X0 была т. перегиба, чтобы у« в этой точке = 0 и меняла знак при переходе х через х0.

Схема исследования функции. Показать на примере.

Найти:
-обл. определения ф-ции

-точки разрыва и интервалы, где ф-ция явл-ся непрерывной

-поведение ф-ции в окрестностях точки разрыва, вертикальной асимптоты

-т. пересечения графика с осями координат

-симметрия графика (чет./нечет):

f(-x)=x симметрична относительно осей

f(-x)=-x симметрична относительно О(0,0)

-наибольшее и наименьшее значение

-поведение ф-ции в безконечности, наклонная и горизонтальные асимптоты

-нанесение на график.

Пример 1

Исследовать и построить график функции

1). Заметим, что знаменатель имеет корни 1 и2, так что функцию можно представить в виде

Т. к. , отсюда следует, что области определения функции

2)Определим тип функции, т. е. четная, нечетная или общего вида функция.

3),следовательно x=1 и x=2 является точкой разрыва II рода, что в свою очередь

Даёт нам две вертикальные ассимптоты.

Пользуясь методом интервалов (известным из школьной программы), определим знак функции на интервалах между корнями и точками разрыва. Таких интервалов получается пять:

На этом рисунке знаком + отмечены те интервалы, на которых функция положительна, и знаком те, где она отрицательна.

5) Найдём производную:

Решением квадратного неравенства служит интервал

Исследование функций с помощью производной

Монотонная функция

Если функция является убывающей или возрастающей, то она называется монотонной функцией .

Пример: функция y = ln x y=\ln x y = ln x является возрастающей.
Пример: функция y = − 3 x + 2 y=-3x+2 y = − 3 x + 2 является убывающей.

Точки экстремума

Точка экстремума — это точка максимума либо точка минимума функции.

Признак возрастания и убывания функции

Признак максимума функции выполняется, если:

Признак минимума функции выполняется, если:

Критическая точка

Точка, в которой производная функции равна нулю.

В критических точках касательная является горизонтальной линией, так как тангенс угла наклона касательной (значение производной в точке касания) равен нулю.

Три типа критических точек:

Как искать точки максимума и минимума функции

Задачи на нахождение точек экстремума функции решаются по стандартной схеме в 3 3 3 шага.

Шаг 1 . Найдите производную функции

  • Решите полученное уравнение, чтобы найти нули производной .

Шаг 3 . Найдите точки экстремума

  • Используйте метод интервалов , чтобы определить знаки производной;
  • В точке минимумапроизводная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс, а в точке максимума – с плюса на минус.

Применим этот подход, чтобы решить следующую задачу:

Как искать наибольшее и наименьшее значение функции

Для решения задачи на поиск наибольших и наименьших значений функции необходимо :

  • Найти точки экстремума функции на отрезке (интервале).
  • Найти значения в концах отрезка и выбрать наибольшее или наименьшее величину из значений в точках экстремума и в концах отрезка.

Во многих задачах помогает теорема :

Если на отрезке только одна точка экстремума , причем это точка минимума, то в ней достигается наименьшее значение функции. Если это точка максимума, то в ней достигается наибольшее значение.