Теорема о сумме углов треугольника

Доказательство теоремы о сумме углов треугольника

Рассмотрим треугольник (рис. 1).

Через вершину проведем прямую параллельно основанию . Тогда как внутренние накрест лежащие при параллельных и , и секущей . Аналогично, внутренние накрест лежащие при и секущей . Угол развернутый и равен

Учитывая, что развернутый угол равен , а и , окончательно получим

Теорема доказана.

Примеры решения задач

По условию, треугольник – равнобедренный. Углы при основании равны, на рисунке .

По теореме о сумме углов треугольника

Выразим из последнего равенства , получим

Подставляя заданные значения углов и , получим:

По теореме о сумме углов треугольника . Подставляя значение этой суммы в последнее равенство, получим

wiki. eduVdom. com

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Боковая панель

Геометрия:

Контакты

Теорема о сумме углов треугольника

Теорема 1. Сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC и докажем, что ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°.

Проведем через вершину В прямую а, параллельную стороне АС (рис.1).

Углы 1 и 4 являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых а и АС секущей АВ, а углы 3 и 5 — накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей ВС. Поэтому
∠ 4 = ∠ 1, ∠ 5 = ∠ 3. (1)

Очевидно, сумма углов 4, 2 и 5 равна развернутому углу с вершиной В, т. е.
∠ 4 + ∠ 2 + ∠ 5 = 180°.

Отсюда, учитывая равенства (1), получаем:
∠ l + ∠ 2 + ∠ 3 = 180°, или ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°.

Следствие 1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Следствие 2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике каждый острый угол равен 45°.

Следствие 3. В равностороннем треугольнике каждый угол равен 60°.

Следствие 4. В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой.

Следствие 5. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Доказательство. Из равенств ∠ 4 + ∠ 3 = 180° и ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 180° (рис.2) получаем, что ∠ 4 = ∠ 1 + ∠ 2.

Теорема о внешнем угле треугольника

Формулировка теоремы о внешнем угле треугольника

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним:

Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине (внутренним углом) (рис. 2).

Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Примеры решения задач

Задание. В треугольнике угол равен , угол . Найти градусную меру угла, смежного с третьим углом треугольника.

Решение. Согласно теореме о внешнем угле треугольника, искомый угол равен сумме углов не смежных с ним, то есть:

Ответ.

Задание. В треугольнике угол равен , а внешний угол при вершине равен . Найти остальные углы треугольника .

Решение. Сделаем чертеж к задаче (рис. 3).

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, получаем равенство для нахождения градусной меры угла :