Теорема об углах равнобедренного треугольника

Треугольник называется равнобедренным , если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами , а третья сторона – основанием равнобедренного треугольника (рис. 66, а ). Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним (рис. 66, б ). Докажем теорему об углах равнобедренного треугольника .

Теорема. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Доказательство. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием BC (рис. 67, а ) и докажем, что ∠B = ∠C .

Мысленно скопируем треугольник ABC на лист прозрачной бумаги, перевернем копию (рис. 67, б ) и наложим ее на треугольник ABC так, чтобы вершина A копии совместилась с вершиной A треугольника, а отрезок AC копии – с равной ему стороной AB треугольника (рис. 67, в ).

Так как угол A копии равен углу A треугольника, то отрезок AB копии наложится на луч AC , а поскольку AB = AC , то отрезок AB копии совместится со стороной AC треугольника. В результате копии полностью совместятся с треугольником ABC (рис. 67, г ). При этом угол B копии совместится с углом C треугольника ABC , а значит, эти углы равны. Теорема доказана.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны

Теорема (свойство углов при основании равнобедренного треугольника).

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Проведем в треугольнике ABC

Рассмотрим ∆ ACF и ∆ BCF.

1) AC=BC (по условию)

2) CF — общая сторона

3) ∠ ACF= ∠ BCF (так как CF — биссектриса).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠ A= ∠ B.

Что и требовалось доказать.

И обратно: если два угла треугольника равны, то этот треугольник — равнобедренный.

Эта теорема, обратная свойству углов при основании равнобедренного треугольника, относится к одному из признаков равнобедренного треугольника. Ее мы докажем позже.

Дидактический анализ теоремы об углах при основании равнобедренного треугольника.

Успейте воспользоваться скидками до 60% на курсы «Инфоурок»

Теорема: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

1. Строим В D – биссектриса АВС .

2. Рассмотрим  ABD и  CBD .

тогда  ABD =  CBD по I признаку равенства треугольников.

б)  ABD =  CBD и BD – общая, значит, ВА D = ВС D (в равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы).

Логико-математический и дидактический анализ теоремы о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника

I . Логико-математический анализ.

1. Анализ формулировки.

а) форма формулировки : категоричная;

б) условие : треугольник равнобедренный

заключение : углы при основании равны

в) простая теорема (одно условие и одно заключение).

2. Логический смысл теоремы: свойство.

3. Обратное утверждение: если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный. Обратное утверждение истинно, но доказываться оно будет позднее, после изучения признаков равенства прямоугольных треугольников.

4. Анализ доказательства.

метод доказательства – аналитико-синтетический;

при доказательстве используется приём дополнительного построения (этот приём является новым для учеников);

в основе доказательства лежит первый признак равенства треугольников, определение биссектрисы угла и то, что в равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы.

II . Дидактический анализ.

5. Опорный материал: первый признак равенства треугольников, определение биссектрисы угла и то, что в равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы.

Этот материал необходимо повторить на конкретных задачах на этапе актуализации.

6. На этапе мотивации можно предложить ученикам построить равнобедренный треугольник и измерить его углы (можно использовать треугольники, которые они рисовали на прошлом занятии при изучении понятия «равнобедренный треугольник»). Учитывая погрешности измерения, ученики получат примерно равные величины углов при основании.

7. Создание проблемной ситуации.

После получения пары равных углов при основании, возникает предположение, что в любом равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Постановка УЗ: выяснить, верно ли предположение.

8. При установлении наличия необходимой базы знаний, можно предложить ученикам следующие вопросы:

1. Какие математические факты позволяют устанавливать равенство углов? (первый признак равенства треугольников, определение биссектрисы угла, определение вертикальных углов и т. д.)

2. Но для использования первого признака равенства треугольников нужно иметь два треугольника, а у нас только один. Как из одного треугольника получит два? (нужно дополнить рисунок)

9. На этапе осознании, осмыслении можно предложить следующие вопросы:

1. Сформулируйте доказанную теорему.

2. Выделите идею доказательства.

3. Составьте план доказательства.

4. На какой теоретический материал мы опирались при доказательстве?

5. Сформулируете утверждение, обратное теореме. Можем ли мы установить его истинность?

6. Можем ли мы использовать обратное утверждение при установлении того, является ли треугольник равнобедренным?

10. Обратное утверждение истинно, но доказываться оно будет позднее, после изучения признаков равенства прямоугольных треугольников.

Выводы из логико-дидактического анализа теоремы о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника

Тема «Равнобедренные треугольники» является очень важной для учеников:

1. сравнительно простой материал для изучения при небольшом «геометрическом» опыте школьников;

2. на равнобедренных треугольниках школьники учатся исследованию свойств многоугольников, обладающих определёнными качествами, поскольку равнобедренный треугольник – это первый частный случай треугольников (и многоугольников), с которым сталкиваются ученики;

3. доказательства свойств равнобедренного треугольника не являются очень сложными для восприятия, поэтому на них можно обучать различным методам доказательства;

4. при доказательстве свойств равнобедренного треугольника используется первый признак равенства треугольников, пройденный несколько уроков назад. Тема «Признаки равенства треугольников» является сложной для учеников, поэтому её применение не в стандартных задачах, а при исследовании геометрических фигур способствует лучшему её усвоению;

5. после изучения свойств равнобедренного треугольника ученики, пользуясь тем, что любой равносторонний треугольник является также равнобедренным, устанавливают некоторые свойства равносторонних треугольников.

Формулировка теоремы носит категоричный характер.

Условие: треугольник равнобедренный.

Заключение: углы при основании равны.

Теорема простая, так как содержит одно условие и одно заключение. Она выражает свойство равнобедренного треугольника.

Обратное утверждение: если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный. Обратное утверждение истинно, но доказываться оно будет позднее, после изучения признаков равенства прямоугольных треугольников. Поэтому пока ученики не могут использовать как признак равнобедренного треугольника.

В учебнике «Геометрия 7 – 9» Л. С. Атанасяна, В. Ф. Бутузова и др. данная теорема доказывается синтетическим методом. Поиск доказательства на уроке лучше вести аналитико-синтетическим методом, а запись вести синтетически.

Теорема: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

1. Строим В D – биссектриса АВС.

2. Рассмотрим  ABD и  CBD .

тогда  ABD =  CBD по I признаку равенства треугольников.

б)  ABD =  CBD и BD – общая, значит, ВА D = ВС D (в равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы).

В основе доказательства лежит первый признак равенства треугольников, определение биссектрисы угла и то, что в равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы. Этот материал необходимо повторить на конкретных задачах на этапе актуализации.

На этапе осознании, осмыслении можно предложить следующие вопросы:

1. Сформулируйте доказанную теорему.

2. Выделите идею доказательства.

3. Составьте план доказательства.

4. На какой теоретический материал мы опирались при доказательстве?

5. Сформулируете утверждение, обратное теореме. Можем ли мы установить его истинность?

6. Можем ли мы использовать обратное утверждение при установлении того, является ли треугольник равнобедренным?