Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

1) Опустим из вершины C высоту CD.

2) Из прямоугольного треугольника ACD по определению синуса острого угла

3) Аналогично из треугольника BCD

4) Приравниваем правые части полученных равенств:

Поделив обе части последнего равенства на произведение sinα∙sinβ, получим:

5) Опустим из вершины A высоту AF.

6) Из прямоугольного треугольника ACF по определению синуса

7) Аналогично из треугольника ABF

8) Приравниваем правые части:

делим обе части равенства на произведение sinγ∙sinβ, получаем:

Что и требовалось доказать.

Если треугольник ABC тупоугольный, то все рассуждения и в этом случае сохраняются, поскольку

Например, из треугольника BCD

В прямоугольном треугольника теорему синусов не принято использовать (достаточно применить определение синуса).

Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов

Какие из следующих утверждений верны ?

1) Любые два равнобедренных треугольника подобны ?

2) Стороны треугольника пропорциональны косинусам противолежащих углов.

3) Правильный пятиугольник не имеет центра симметрии.

Теорема синусов. Доказательство теоремы синусов.

Теорема синусов — теорема, которая устанавливает зависимость: стороны треугольника — противолежащие им углы.

Теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Есть 2 подвида теоремы: обычная и расширенная теорема синусов.

Обычная теорема синусов:

Стороны треугольника пропорциональны sin противоположных углов.

Расширенная теорема синусов для произвольного треугольника:

где a, b, c — стороны треугольника, , β, γ — противолежащие этим сторонам углы, а R — радиус окружности, которая описана вокруг треугольника.

Доказательство теоремы синусов.

Пусть есть треугольник, вписанный в окружность. Обозначим его как ABC.

Что бы доказать всю теорему, так как треугольник имеет произвольные размеры, можно доказать только то, что соотношение 1-ной произвольной стороны к противолежащему углу соответствует 2R. Допустим, это будет 2R = a/sin , т. е. если смотреть по чертежу 2R = BC / sin A.

Проведем диаметр |BG| для описанной окружности. Из свойства углов, которые вписаны в окружность, угол GCB будет прямым, а угол CGB равен либо , когда точки A и G находятся по одну сторону от прямой BC, или в противоположном варианте. Так как sin( − )=sin , в обоих случаях получаем:

Повторяем это же рассуждение для оставшихся сторон треугольника: