Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма

Что можно сказать о случае, когда точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне?

Если точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма принадлежит другой стороне, то одна сторона параллелограмма вдвое больше другой.

Дано : ABCD — параллелограмм,

AF — биссектриса ∠BAD,

DF — биссектриса ∠ADC, F∈BC.

Что и требовалось доказать.

Если точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма принадлежит другой стороне, то сумма квадратов этих биссектрис равна квадрату большей стороны и в 4 раза больше квадрата меньшей стороны параллелограмма.

Дано : ABCD — параллелограмм,

AF — биссектриса ∠BAD,

DF — биссектриса ∠ADC, F∈BC.

Так как биссектрисы параллелограмма, прилежащие к одной стороне, взаимно перпендикулярны, то ∠AFC=90º.

Из прямоугольного треугольника AFD по теореме Пифагора

Так как точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма принадлежит его стороне, длина большей стороны в 2 раза больше длины меньшей:

Что и требовалось доказать.

В следующий раз рассмотрим, как эти свойства биссектрис параллелограмма применяются при решении задач.

Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма

27827. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5. Найдите его большую сторону.

Так как ВЕ биссектриса, то угол АВЕ равен углу ЕВС. По признаку параллельности прямых угол ЕВС равен углу ВЕА. Получается, что треугольник АВЕ равнобедренный и АВ=АЕ=5.

Аналогично CD=DE=5. Таким образом большая сторона равна 10.

Для вас другие задачи этой рубрики:

Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Онлайн подготовка по математике. Годовой курс!

Подготовка к ЕГЭ — ИСТОРИЯ и ОБЩЕСТВОЗНАНИЕ!

Параллелограмм и его свойства. Площадь параллелограмма. Биссектрисы углов параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон.
Свойства параллелограмма:

  1. Противоположные стороны параллелограмма равны.
  2. Противоположные углы параллелограмма равны.
  3. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.

Давайте посмотрим, как свойства параллелограмма применяются в решении задач ЕГЭ.

1 . Найдите угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне. Ответ дайте в градусах.

Пусть и — биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к стороне . Сумма углов и равна . Углы и — половинки углов и . Значит, сумма углов и равна градусов. Из треугольника находим, что угол — прямой.
Ответ: .

Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, — перпендикулярны.

Легко доказывается и другое свойство биссектрис параллелограмма:

Биссектрисы противоположных углов параллелограмма — параллельны.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

2. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна . Найдите его большую сторону.

Найдем на этом рисунке накрест лежащие углы. Мы уже рассказывали, что это такое.

Углы и , а также и — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны. Значит, угол равен углу , а угол — углу .
Получаем, что треугольники и — равнобедренные, то есть , а . Тогда .

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

, где — основание параллелограмма, — его высота.
, где и — стороны параллелограмма, — угол между ними.

И еще одна формула.

, где и — диагонали параллелограмма, — угол между ними.