Точки m и n лежат на стороне ac треугольника abc на расстояниях 4 и 15

29 января Новый сервис учителю: работа над ошибками кратко / полно

25 января Открыли новый раздел Итоговое собеседование
авторские материалы Т. Н. Стаценко (Кубань)

25 января Проверьте! Кнопка «Русский язык» в верхнем меню работает в двух режимах.

Наша группа Вконтакте
Мобильные приложения:

Точки M и N лежат на сто­ро­не AC тре­уголь­ни­ка ABC на рас­сто­я­ни­ях соответственно 4 и 15 от вер­ши­ны A. Най­ди­те радиус окружности, про­хо­дя­щей через точки M и N и ка­са­ю­щей­ся луча AB, если

Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на рисунке. По тео­ре­ме о ка­са­тель­ной и секущей:

Рассмотрим тре­уголь­ник по тео­ре­ме ко­си­ну­сов найдём сто­ро­ну

Аналогично из тре­уголь­ни­ка найдём сто­ро­ну

В тре­уголь­ни­ке сто­ро­ны и равны, следовательно, тре­уголь­ник — равнобедренный, от­ку­да Из ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства найдём

Найдём ис­ко­мый ра­ди­ус окруж­но­сти по тео­ре­ме синусов:

Задача 15957 Точки M и N лежат на стороне АС

Точки M и N лежат на стороне АС треугольника АВС на расстояниях соответственно 9 и 32 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки М и N и касающейся луча АВ, если cosBAC=2sqrt(2)/3

РЕШЕНИЕ ОТ SOVA ✪ ЛУЧШЕЕ РЕШЕНИЕ

По свойству касательной и секущей, проведенных к окружности из одной точки:
АР^2=AM*AN
AP=sqrt(9*32)=12sqrt(2)
Продолжим РО до пересечения с окружностью в точке К.
РК — диаметр
РК=2R
Пусть РК пересекает АС в точке Т.
Из прямоугольного треугольника АРТ
сos∠РАТ=АР/АТ
∠РАТ=∠ВАС
2sqrt(2)/3=12sqrt(2)/AT⇒ АТ=18
По теореме Пифагора
PT^2=AT^2-AP^2=18^2-(12sqrt(2))^2=324-288=36
PT=6
По свойству пересекающихся хорд
МТ*TN=PT*TK
MT=AT-AM=18-9=9
TN=AN-AT=32-18=14
9*14=6*TK
TK=21
PK=PT+TK=6+21=27
PK=2R
2R=27
R=13,5
О т в е т. 13,5

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC

Это начало задачи из второй части геометрии всероссийского экзамена по математике ОГЭ (ГИА) под номером 26. Вся задача звучит так: Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 18 и 22 от вершины A.

Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если

Заметим, что полученный нами треугольник PMN полностью вписан в окружность. Значит, если мы сможем найти какие то из его сторон или углов, то применим теорему синусов мы сможем найти и радиус описанной окружности.

Итак, цель нам ясна. Теперь начнем к ней двигаться.

Нам нужно подобраться к сторонам вписанного треугольника, а нам известна пока только одна его сторона MN=AN-AM=22-18=4.

Найдем сторону PM треугольника. Для этого рассмотрим треугольник APM. В этом треугольнике нам известен только косинус угла А (из условия задачи) и известна сторона AM=18. Однако, мы знаем, что AP — это часть касательной к окружности, и нам известны также внешняя часть секущей AM и вся длина секущей AN.

Тогда по теореме о касательной и секущей имеем:

Теперь, зная две стороны AM и AP и косинус угла А, по теореме косинусов мы можем найти сторону PM треугольника APM, которая также является стороной треугольника MPN.

Подставляем значения и получаем:

Таким образом, треугольник AMP — равнобедренный, так как стороны у него PM=AM.

Во вписанном треугольнике MPN мы теперь знаем две стороны треугольника MP и MN.

Теперь рассмотрим вопрос с углами. Нам известен только угол А через данный нам косинус этого угла. Но так как мы получили в ходе расчетов, что треугольник APM равнобедренный, то углы

Найдем угол
Заметим, что
А угол , тогда

Теперь по теореме косинусов найдем сторону PN треугольника PMN:

Из тригонометрии известно:

Подставляя значения, получим:

тогда
таким образом треугольник АPN тоже является равнобедренным, у него стороны AP=PN, тогда .

По теореме синусов для любого треугольника соблюдается равенство:

Для нашего вписанного треугольника PMN теорема синусов запишется следующим образом:

Для того, чтобы найти радиус описанной окружности нам необязательно высчитывать все синусы в формуле. И мы можем, безо всякого ущерба для решения нашей задачи, сократить формулу, оставив ее в виде:

, подставляем значение косинуса угла А, данное по условию задачи, получим: