Углы в равнобедренном треугольнике

Определение и формулы для вычисления углов в равнобедренном треугольнике

Свойство углов равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Поскольку в любом треугольнике сумма углов равна , то угол, противоположный основанию выражается следующим образом:

где – угол при основании равнобедренного треугольника.

Примеры решения задач

Таким образом, углы при основании равны по , а угол между боковыми сторонами .

1. Если известный угол – это угол при основании, то второй угол при основании также равен , а третий угол равен

2. Если известный угол – угол, противолежащий основанию (угол при вершине), то углы при основании равны

Углы равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике равны не только боковые стороны, но и углы при основании, поэтому зная любой из углов, можно вычислить остальные. Если известны углы α при основании, то угол β будет равен разности 180° и двух известных углов: β=180°-2α

Если известен угол, лежащий напротив основания, то для того чтобы найти угол при основании равнобедренного треугольника нужно от 180° отнять известный угол и разделить это на два:

Также угол при основании равнобедренного треугольника можно найти, зная стороны. Высота, проведенная к основанию, делит его на две равные части, и косинус искомого угла становится равен половине основания, деленного на боковую сторону:

Как найти углы равнобедренного треугольника?

Равнобедренный треугольник представляет собой простейший многоугольник, имеющий три угла и три стороны. Прежде чем выяснить, как найти углы равнобедренного треугольника, надо знать свойства этой геометрической фигуры.

Свойства равнобедренного треугольника

Рассмотрим, каковы свойства равнобедренного треугольника.

  • В равнобедренном треугольники две боковые стороны равны. Третья его сторона является основанием.
  • Углы у основания такого треугольника равны.
  • Биссектриса, медиана и высота, проведенные из углов к противоположной стороне геометрической фигуры также между собой равны.
  • Биссектриса, медиана и высота из верхнего угла к основанию равнобедренного треугольник совпадают.
  • Если внутри равнобедренного треугольника вписать круг, а также описать его вокруг такой фигуры, их центры будут лежать на одной линии.
  • Углы у основания могут быть только острыми.

Таким образом, если в треугольнике два угла равны, а его высота совпадает с медианой и биссектрисой, он является равнобедренным. Это основной признак равнобедренного треугольника.

Теперь, рассмотрим, как найти углы равнобедренного треугольника. Если такой треугольник является к тому же еще и прямоугольным, то найти два его угла не представляется сложным, так они всегда будут равны по 45 градусов, что вытекает из свойств и признаков равнобедренного треугольника.

  • Зная один из углов, всегда можно рассчитать необходимый. Например, угол при основании будем обозначать буквой α, угол у вершины фигуры будем обозначать буквой β. Отсюда угол α будет равен: (π — β)/2, где π является постоянной величиной.
  • Углы также можно рассчитать через арксинусы. Для этого надо описать вокруг такого треугольника окружность с радиусом, который обозначим большой буквой R. Тогда, угол α = arcsin(a/2R), а угол β = arcsin(b/2R), где а и b являются сторонами треугольника.

Пример решения задачи

Необходимо найти углы в равнобедренном треугольнике, если известно, что угол у его основания на 15 градусов больше угла, который противоположен основанию.

Решение: Обозначим противоположный угол β, тогда угол у основания будет равен: β + 15. Поскольку сумма в треугольнике всегда равна 180 градусам, находим:

β + 2х (β +15) = 180;

β + 2 β + 30 = 180;

Итак, угол у основания равен 50 градусам, а значит два других угла, будут равны по 65 градусов каждый. Теперь вы знаете правила того, как найти углы равнобедренного треугольника. Желаем вам удачи во всех расчетах!