Угол между прямой и плоскостью – определение, примеры нахождения

Начнем эту статью с определения угла между прямой и плоскостью. После этого покажем, как находится угол между прямой и плоскостью методом координат, подробно разберем решения характерных примеров и задач.

Навигация по странице.

Угол между прямой и плоскостью — определение.

Прежде чем говорить об определении угла между прямой и плоскостью, рекомендуем освежить в памяти понятие прямой линии в пространстве и понятие плоскости.

Чтобы определить угол между прямой и плоскостью нам потребуется несколько вспомогательных определений. Дадим эти определения.

Прямая и плоскость пересекаются, если они имеют одну единственную общую точку, которую называют точкой пересечения прямой и плоскости.

При этом прямая, которая пересекает плоскость, может быть перпендикулярна к этой плоскости.

Прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Проекцией точки М на плоскость называется либо сама точка М , если М лежит в плоскости , либо точка пересечения плоскости и прямой, перпендикулярной к плоскости и проходящей через точку М , если точка М не лежит в плоскости .

Проекцией прямой a на плоскость называют множество проекций всех точек прямой a на плоскость .

Очевидно, что проекцией прямой, перпендикулярной к плоскости , на плоскость является их точка пересечения. Также достаточно очевидно, что проекцией прямой a , которая пересекает плоскость и не перпендикулярна к этой плоскости, на плоскость является прямая линия, лежащая в плоскости и проходящая через точку пересечения прямой a и плоскости .

Теперь нам достаточно сведений, чтобы дать определение угла между прямой и плоскостью.

Угол между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Определение угла между прямой и плоскостью позволяет заключить, что угол между прямой и плоскостью представляет собой угол между двумя пересекающимися прямыми: самой прямой и ее проекцией на плоскость. Следовательно, угол между прямой и плоскостью есть острый угол.

Угол между перпендикулярными прямой и плоскостью считают равным , а угол между параллельными прямой и плоскостью либо не определяют вовсе, либо считают равным .

Нахождение угла между прямой и плоскостью.

Условия задач, в которых приходится отыскивать угол между прямой и плоскостью, достаточно разнообразны. В зависимости от исходных данных, приходится подбирать соответствующий метод решения. Часто справиться с задачей нахождения угла между прямой и плоскостью помогают признаки равенства или подобия фигур, теорема косинусов и определения синуса, косинуса и тангенса угла. Также можно найти угол между прямой и плоскостью методом координат. Остановимся на нем подробнее.

Пусть в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат Oxyz , в ней задана прямая a , которая пересекает плоскость в точке M и не перпендикулярна плоскости , и требуется найти угол между прямой a и плоскостью .

Начнем с начальных данных, от которых мы будем отталкиваться при определении угла между прямой и плоскостью методом координат.

Прямой a в заданной прямоугольной системе координат Oxyz соответствуют некоторые уравнения прямой в пространстве и направляющий вектор прямой в пространстве, а плоскости — уравнение плоскости некоторого вида и нормальный вектор плоскости. Пусть — направляющий вектор прямой a , — нормальный вектор плоскости . Итак, будем считать, что нам известны координаты направляющего вектора прямой a и координаты нормального вектора плоскости (если известны уравнения прямой a и плоскости , то координаты векторов и определяются по этим уравнениям).

Осталось получить формулу, которая позволят вычислять угол между прямой и плоскостью по известным координатам направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.

Отложим векторы и от точки пересечения прямой a и плоскости . В зависимости от координат векторов и возможны четыре варианта расположения этих векторов относительно заданных прямой и плоскости. Изобразим их на чертеже.

Очевидно, если угол между векторами и (обозначим его ) острый, то он дополняет искомый угол между прямой и плоскостью до прямого угла, то есть, . Если же , то .

Так как косинусы равных углов равны, то последние равенства можно записать следующим образом:

Формулы приведения приводят нас к равенствам , которые после преобразований принимают вид

То есть, синус угла между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости.

В разделе нахождение угла между двумя векторами мы выяснили, что угол между векторами равен отношению скалярного произведения векторов и произведения длин этих векторов, тогда для вычисления синуса угла между прямой и плоскостью справедлива формула .

Следовательно, формула для вычисления угла между прямой и плоскостью по координатам направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости имеет вид .

Основное тригонометрическое тождество позволяет найти косинус угла при известном синусе. Так как угол между прямой и плоскостью острый, то косинус этого угла является положительным числом и вычисляется по формуле .

Теперь мы можем находить синус угла, косинус угла и сам угол между прямой и плоскостью по полученным формулам. Решим несколько характерных примеров.

Найдите угол, синус и косинус угла между прямой и плоскостью .

Канонические уравнения прямой в пространстве позволяют сразу получить координаты направляющего вектора – их дают числа в знаменателях дробей. То есть, — направляющий вектор прямой .

Общее уравнение плоскости содержит в себе координаты нормального вектора плоскости в виде коэффициентов при переменных x , y и z . То есть, нормальным вектором плоскости является вектор .

Подставляем координаты векторов и в формулу для вычисления синуса угла между прямой и плоскостью:

На векторах построена пирамида. Найдите угол между прямой AD и плоскостью ABC .

Чтобы вычислить угол между прямой и плоскостью по полученной формуле, нам нужно знать координаты направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости. Направляющим вектором прямой AD является вектор .

Нормальный вектор плоскости АВС перпендикулярен и вектору и вектору , то есть, в качестве нормального вектора плоскости АВС можно взять векторное произведение векторов и :

Осталось подставить координаты векторов в формулу и вычислить требуемый угол между прямой и плоскостью:

Метод координат угол между прямой и плоскостью

Нахождение угла между прямой и плоскостью.

Давайте повторим определение угла между прямой и плоскостью.

Определение. Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Пусть даны плоскость γ и прямая a, которая пересекает эту плоскость и не перпендикулярна к ней.

Построим угол между прямой a и плоскостью γ:

  1. Из любой удобной для нас точки прямой a опустим перпендикуляр к плоскости γ;
  2. Через точки оснований наклонной и перпендикуляра проведем прямую b . Прямая b — проекция прямой a на плоскость γ;
  3. Острый угол между прямыми a и b – это угол между прямой a и плоскостью γ, т. е. ∠(a;b)= ∠(a;γ) , где ∠(a;b) — угол между прямыми а и b; ∠(a;γ) — угол между прямой а и плоскостью γ.

Для решения задач с помощью метода координат нам необходимо вспомнить следующее:

  1. Направляющим вектором прямойa называется ненулевой вектор , который лежит либо на прямой a, либо на прямой , параллельной a;
  2. Вектор нормали – это ненулевой вектор , перпендикулярный плоскости γ. Прямая s, на которой лежит вектор нормали, перпендикулярна плоскости γ;

3. Если известны координаты направляющего вектора < a1; b1; c1> и вектора нормали
, то угол между прямой а и плоскостью γ вычисляется по формуле, которую сейчас выведем.

Нам известна формула нахождения угла между прямыми:

; (1)
∠(s; a) = 90°-∠(a;b), тогда cos∠(s;a)=cos (90°-∠(a;b))=sin ∠(a;b) ; (2)
Из (1) и (2) => ; (3)
, где – угол между векторами m и n; (4)
Подставляем (4) в (3) и т. к. ∠(a;b)= ∠(a;γ), то получаем:

4. Если координаты вектора нормали неизвестны, то нам необходимо знать уравнение плоскости.

Любая плоскость в прямоугольной системе координат может быть задана уравнением

где хотя бы один из коэффициентов a, b, c отличен от нуля. Эти коэффициенты и будут координатами вектора нормали, т. е. .

Алгоритм решения задач на нахождение угла между прямой и плоскостью с помощью метода координат:

  1. Делаем рисунок, на котором отмечаем прямую и плоскость;
  2. Вводим прямоугольную систему координат ;
  3. Находим координаты направляющего вектора по координатам его начала и конца ;
  4. Находим координаты вектора нормали к плоскости;
  5. Подставляем полученные данные в формулу синуса угла между прямой и плоскостью;
  6. Находим значение самого угла.

Рассмотрим задачу:
1. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите тангенс угла между прямой AC1 и плоскостью BDD1 .
Решение:

1. Введем прямоугольную систему координат с началом координат в точке D.
2. Найдем координаты направляющего вектора АС1. Для этого сначала определим координаты точек А и С1:
А(0; 1; 0);
С1(1; 0; 1).
<1; -1; 1>.
3. Найдем координаты вектора нормали к плоскости BB1D1. Для этого найдем координаты трех точек плоскости, не лежащих на одной прямой, и составим уравнение плоскости:
D(0; 0; 0);
D1(0; 0; 1);
В(1; 1; 0);
Уравнение плоскости имеет вид ax+by+cz+d=0. Подставим в это уравнение координаты точек:
D: a⋅0+b⋅0+c⋅0+d=0;
D1: a⋅0+b⋅0+c⋅1+d=0;
B: a⋅1+b⋅1+c⋅0+d=0.
Получили систему из трех уравнений:

Подставим в уравнение: a⋅x+(-a)⋅y+0⋅z+0 = 0;
a⋅x-a⋅y = 0; |:a
x-y = 0.
Т. о., вектор нормали к плоскости BDD1 имеет координаты:
<1;-1; 0>.
4. Найдем синус между прямой АС1 и плоскостью BDD1:

6. Найдем тангенс угла между прямой АС1 и плоскостью BDD1:

Ответ: .

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой BD и плоскостью SBC.

1. Введем прямоугольную систему координат с началом координат в точке B.
2. Найдем координаты направляющего вектора BD . Для этого сначала определим координаты точек B и D:

Как получили координаты точки S ?

Из точки S опустили перпендикуляр к плоскости основания ABC. Точку пересечения обозначили О. Точка О — проекция точки S на плоскость ABC. Ее координаты по осям х и у будут первыми двумя координатами точки S.

Узнав значение высоты пирамиды, мы нашли третью координату точки S (по оси z)

Треугольник SOB — прямоугольный, следовательно, по теореме Пифагора:

Уравнение плоскости имеет вид ax+by+cz+d=0. Подставим в это уравнение координаты точек:

Подставим в уравнение:

Т. о., вектор нормали к плоскости SBD имеет координаты:

.
4. Найдем синус между прямой BD и плоскостью SBD:

Ответ: .

Автор: Аникина Марина

Комментарии к этой заметке:

Добавить Ваш комментарий

Подпишитесь на рассылку и получайте ссылки на свежие уроки, статьи и новости

Хотите внести свою лепту в его развитие!? Тогда Вам сюда!

Угол между прямой и плоскостью. Коротко о главном.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Геометрический метод нахождения угла между прямой и плоскостью

При геометрическом методе нужно найти какую-нибудь удобную точку на прямой, опустить перпендикуляр на плоскость, выяснить, что из себя представляет проекция, а потом решать планиметрическую задачу по поиску угла ( ) в треугольнике (зачастую прямоугольном).

Алгебраический метод нахождения угла между прямой и плоскостью

При алгебраическом методе вводится система координат, определяются координаты двух точек на прямой и уравнение плоскости, а затем применяется формула вычисления угла между прямой и плоскостью.

Угол между прямой и плоскостью – это.

. угол между прямой и её проекцией на эту плоскость

Вот, смотри: прямая плоскость . Как определить угол между ними? Оказывается (в соответствии с определением, которое мы только что дали) нужно опустить перпендикуляр ( ) из любой точки прямой на плоскость .

А потом провести прямую через точки и . Эта прямая ( ) называется проекцией прямой на плоскость . Так вот, угол между прямой и плоскостью (по определению !) равен углу ( ) между и .

Кстати, если тебе нужна эта статья в формате PDF.

Угол между прямой и плоскостью в задачах.

Как найти угол между прямой и плоскостью в задачах?

Как и в других задачах на нахождение углов и расстояний в стереометрии, есть два метода: геометрический и алгебраический.

Геометрический метод.

При геометрическом методе нужно найти какую-нибудь удобную точку на прямой, опустить перпендикуляр на плоскость, выяснить, что из себя представляет проекция, а потом решать планиметрическую задачу по поиску угла ( ) в треугольнике (зачастую прямоугольном).

Самый сложный момент – определить, куда опуститься перпендикуляр и какая же прямая является проекцией.

Алгебраический метод.

При алгебраическом методе вводится система координат, определяются координаты двух точек на прямой и уравнение плоскости, а затем применяется формула вычисления угла между прямой и плоскостью.

Самый сложный момент – твёрдо запомнить формулу и хорошо понимать, откуда взять все буквы для неё.

Теперь мы разберём одну задачу, где нужно найти угол между прямой и плоскостью, двумя разными способами: геометрическим и алгебраическим.

Задача по поиску угла между прямой и плоскостью:

Решение геометрическим методом:

Ищем этот угол. Пусть стороны основания равны какому – то , тогда боковые рёбра – . Заметь, что – прямоугольный и в этом треугольнике нам нужно найти острый угол. Проще всего найти тангенс этого угла.

Решаем алгебраическим методом (методом координат):

Тогда координаты точки

Значит, применяется формула вычисления угла между прямой и плоскостью

Сверим ответы. Если , то и

Вообще – то, по моему мнению, в этой задаче удобнее геометрический метод: ведь для метода координат всё равно пришлось искать и , а потом ещё и вставлять всё это в длинную формулу.

Теперь я хочу услышать тебя внизу в комментариях!

  • Что тебе понравилось? Что не понравилось?
  • Может быть ты нашел ошибку?
  • Или знаешь другой хороший материал на эту тему? Приведи, пожалуйста, ссылку.

А здесь ты можешь скачать весь текст в pdf формате.

Просто кликни по картинке:

Комментарии

Распространение материалов без согласования допустимо при наличии dofollow-ссылки на страницу-источник.

Политика конфиденциальности

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т. д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail