Универсальная тригонометрическая подстановка, вывод формул, примеры

В этой статье мы поговорим об универсальной тригонометрической подстановке. Она подразумевает выражение синуса, косинуса, тангенса и котангенса какого-либо угла через тангенс половинного угла. Более того, такая замена проводится рационально, то есть, без корней.

Сначала мы запишем формулы, выражающие синус, косинус, тангенс и котангенс через тангенс половинного угла. Дальше покажем вывод этих формул. А в заключение рассмотрим несколько примеров использования универсальной тригонометрической подстановки.

Навигация по странице.

Синус, косинус, тангенс и котангенс через тангенс половинного угла

Для начала запишем четыре формулы, выражающие синус, косинус, тангенс и котангенс угла через тангенс половинного угла .

Указанные формулы справедливы для всех углов , при которых определены входящие в них тангенсы и котангенсы:

  • Например, формулы для синуса и косинуса и имеют место для , где z – любое целое число, так как при тангенс половинного угла не определен.
  • Формула справедлива для и , так как при не определен тангенс угла , и более того обращается в нуль знаменатель дроби, а при не определен тангенс половинного угла.
  • Формула , выражающая котангенс через тангенс половинного угла, справедлива для , так как при не определен котангенс, при не определен тангенс половинного угла, а при знаменатель дроби обращается в нуль.

Вывод формул

Разберем вывод формул, выражающих синус, косинус, тангенс и котангенс угла через тангенс половинного угла. Начнем с формул для синуса и косинуса.

Представим синус и косинус по формулам двойного угла как и соответственно. Теперь выражения и запишем в виде дробей со знаменателем 1 как и . Дальше на базе основного тригонометрического тождества заменяем единицы в знаменателе на сумму квадратов синуса и косинуса, после чего получаем и . Наконец, числитель и знаменатель полученных дробей делим на (его значение отлично от нуля при условии ). В итоге, вся цепочка действий выглядит так:

На этом вывод формул, выражающих синус и косинус через тангенс половинного угла, закончен.

Осталось вывести формулы для тангенса и котангенса. Теперь, учитывая полученные выше формулы, и формулы и , сразу получаем формулы, выражающие тангенс и котангенс через тангенс половинного угла:

Итак, мы вывели все формулы для универсальной тригонометрической подстановки.

Примеры использования универсальной тригонометрической подстановки

Для начала рассмотрим пример применения универсальной тригонометрической подстановки при преобразовании выражений.

Приведите выражение к выражению, содержащему лишь одну тригонометрическую функцию .

Здесь следует использовать универсальную тригонометрическую подстановку. Применим к косинусу и синусу четырех альфа формулы, выражающие их через тангенс половинного угла. В результате останется лишь упростить вид полученного выражения, имеем

Как мы уже сказали в самом начале статьи, основное предназначение универсальной тригонометрической подстановки заключается в преобразовании исходного рационального тригонометрического выражения, содержащего синус, косинус, тангенс и котангенс, к рациональному выражению с одной единственной тригонометрической функцией, а именно, с тангенсом половинного угла. А такое преобразование особенно полезно при решении тригонометрических уравнений определенного вида, а также при интегрировании тригонометрических функций.

Универсальная тригонометрическая подстановка

Остальные тригонометрические функции выражаются через тангенс половинного аргумента следующим образом:

Данные формулы имеют смысл, когда определен , то есть при . И для двух последних формул

Указанная универсальная тригонометрическая подстановка позволяет свести интеграл от некоторой рациональной функции от и – к интегралу от рациональной дроби.

Дифференцируя левую и правую части последнего равенства, будем иметь выражения для дифференциала переменной интегрирования:

Универсальная тригонометрическая подстановка формулы

Ключевые слова: тригонометрия, двойной угол, синус, косинус, тангенс половинного аргумента

Определение. Универсальной тригонометрической подстановкой называются выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента.

$$tg x = \frac<2tg\frac<2>><1 - tg^<2>\frac<2>>, x \ne \pi +2\pi n, n \in Z, x \ne \frac<\pi><2>+ \pi n, n \in Z$$;

$$ctg x = \frac<1 - tg^<2>\frac<2>><2tg\frac<2>>, x \ne \pi n, n \in Z, x \ne \pi + 2\pi n, n \in Z$$.