Уравнения Максвелла для электромагнитного поля

В основе теории Максвелла лежат рассмотренные выше четыре уравнения:

1. Электрическое поле может быть как потенциальным (ЕQ), так и вихревым (ЕB), поэтому напряженность суммарного поля Е=ЕQ +ЕB. Так как цир­куляция вектора ЕQ равна нулю (см. (137.3)), а циркуляция вектора ЕB определяется выражением (137.2), то циркуляция вектора напряженности суммарного поля

Это уравнение показывает, что источниками электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и изменяющиеся во времени магнитные поля.

2. Обобщенная теорема о циркуляции вектора Н (см. (138.4)):

Это уравнение показывает, что магнитные поля могут возбуждаться либо движущими­ся зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями.

3. Теорема Гаусса для поля D (см. (89.3)):

Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью r, то формула (139.1) запишется в виде

4. Теорема Гаусса для поля В (см. (120.3)):

Итак, полная система уравнений Максвелла в интегральной форме:

Величины, входящие в уравнения Максвелла, не являются независимыми и между ними существует следующая связь (изотропные несегнетоэлектрические и неферромагнитные среды):

где e0 и m0 — соответственно электрическая и магнитная постоянные, e и m — соответст­венно диэлектрическая и магнитная проницаемости, g — удельная проводимость веще­ства.

Из уравнений Максвелла вытекает, что источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля, а магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями. Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе существуют электрические заряды, но нет зарядов магнитных.

Для стационарных полей (E=const и B=const) уравнения Максвелла примут вид

т. е. источниками электрического поля в данном случае являются только электрические заряды, источниками магнитного — только токи проводимости. В данном случае электрические и магнитные поля независимы друг от друга, что и позволяет изучать отдельно постоянные электрическое и магнитное поля.

Воспользовавшись известными из векторного анализа теоремами Стокса и Гаусса

можно представить полную систему уравнении Максвелла в дифференциальном форме (характеризующих поле в каждой точке пространства):

Если заряды и токи распределены в пространстве непрерывно, то обе формы уравнений Максвелла — интегральная и дифференциальная — эквивалентны. Однако если имеются поверхности разрыва – поверхности, на которых свойства среды или полей меняются скачкообразно, то интегральная форма уравнений является более общей.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме предполагают, что все величины в пространстве и времени изменяются непрерывно. Чтобы достичь математической эквивалентности обеих форм уравнений Максвелла, дифференциальную форму дополняют граничными условиями, которым должно удовлетворять электромагнитное поле на границе раздела двух сред. Интегральная форма уравнений Максвелла содержит эти условия. Они были рассмотрены раньше:

(первое и последнее уравнения отвечают случаям, когда на границе раздела нет ни свободных зарядов, ни токов проводимости).

Уравнения Максвелла — наиболее общие уравнения для электрических и магнитных полей в покоящихся средах. Они играют в учении об электромагнетизме такую же роль, как законы Ньютона в механике. Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле всегда связано с порождаемым им магнитным, т. е. электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом — они образуют единое электромагнитное поле.

Ток смещения или абсорбционный ток — величина, прямо пропорциональная быстроте изменения электрической индукции. Это понятие используется вклассической электродинамике

. Введено Дж. К. Максвеллом при построении теории электромагнитного поля.

Введение тока смещения позволило устранить противоречие [1] в формуле Ампера для циркуляции магнитного поля, которая после добавления туда тока смещения стала непротиворечивой и составила последнее уравнение, позволившее корректно замкнуть систему уравнений (классической) электродинамики.

Строго говоря, ток смещения не является [2] электрическим током, но измеряется в тех же единицах, что и электрический ток.

ного коэффициента) называется [3] поток вектора быстроты изменения электрического поля через некоторую поверхность [4] :

2.10. Полная система уравнений Максвелла.

Полный анализ макроскопических электромагнитных процессов возможен на основе полной системы основных уравнений электродинамики. К числу которых относят:

— 4 уравнения Максвелла (2)

-система уравнений состояний (материальные уравнения) (3)

Для линейных анизотропных сред уравнения Максвелла остаются в той же самой форме, а в уравнениях состояния хотя бы один электродинамический параметр (а, а, ) является тензорной величиной.

На основе уравнений Максвелла можно сделать заключение о свойствах электромагнитного поля:

Электрическое и магнитное поля взаимосвязаны. Независимое существование электрического поля возможно только в электростатическом случае.

Источником электромагнитного поля являются электрические заряды и токи.

магнитное поле всегда вихревое, электрическое поле может быть как вихревым, так и потенциальным. Чисто потенциальное электрическое поле возможно только в электростатическом случае.

Силовые линии электрического поля могут иметь исток, сток. Силовые линии магнитного поля всегда непрерывны.

Из первого уравнения Максвелла следует, что соленоидальное магнитное поле охватывает силовые линии полного тока, образуя с ними правовинтовую систему.

Из 2 уравнения Максвелла следует, что линии вихревого электрического поля охватывают силовые линии вектора , образуя с ними левовинтовую систему.

Уравнения Максвелла являются линейными и дифференциальными, поэтому для электромагнитного поля справедлив принцип суперпозиции, т. е. поле, создаваемое системой источников электромагнитного поля, можно определить как сумму полей, создаваемых отдельными источниками.

при рассмотрении электродинамических задач используют уравнения Максвелла в интегральной форме.

Магнитный поток во втором уравнении Максвелла считается положительным или отрицательным в зависимости от того совпадает или нет с положительной единичной нормалью поверхности. В свою очередь векторное поле считается положительным или отрицательным в зависимости от того происходит увеличение или уменьшение положительного магнитного потока.

Уравнения образующие полную систему электродинамики являются линейными дифференциальными уравнениями. Поэтому можно утверждать, что для электромагнитных полей справедлив принцип суперпозиции: поле возбужденное системой источников можно представить как сумму полей отдельных источников. В ряде случаев уравнения Максвелла в дифференциальной форме оказываются не применимы. В этих задачах мы используем уравнения Максвелла в интегральной форме.

В случае гармонических электромагнитных полей систему уравнений Максвелла можно упростить, используя искусственный прием: метод комплексных амплитуд.

2.11 Классификация электромагнитных сред.

Совокупность уравнений Максвелла и материальных уравнений позволяют рассмотреть любые электромагнитные процессы классической электродинамики. В ряде случаев эти уравнения могут быть упрощены.

1 случай. Пусть, электромагнитное поле не зависит от времени и отсутствует перемещение заряженных частиц. В этом случае полная система распадается на две не связанные системы (1) и (2). Таким образом, в этом случае электрические и магнитные поля можно считать независимыми.

Верхняя система (1) описывает поле неподвижных, неизменных во времени электрических зарядов (электростатические задачи). Она называется полной системой дифференциальных уравнений электростатики. Нижняя система (2) описывает магнитное поле постоянных магнитов. С ее помощью может быть решена задача о магнитном поле, возбуждаемом постоянными токами, которыепротекают вне рассматриваемой области, которая не «сцеплена» с линиями тока (не охватывает линиями тока). Подобные задачи называются магнитостатическими, а систему называют полной системой дифференциальных уравнений магнитостатики.

Если в рассматриваемой области присутствуют постоянные токи, то магнитное и электрическое поля нельзя считать независимыми. В этом случае полная система уравнений электродинамики записывается в следующем виде: , , , , , , :система (3).

Электромагнитное поле постоянных токов называется стационарным, а систему (3)называют полной системой дифференциальных уравнений стационарного электромагнитного процесса.

В случае стационарного процесса электрическое и магнитное поля взаимосвязаны. Иногда в отдельную группу выделяют квазистационарные процессы (медленно меняющиеся во времени).

В этом случае, если в рассматриваемой области:

в квазистационарных процессах .

В случае гармонических процессов решение электродинамических задач упрощается путем использования теории ФКП (введение комплексных амплитуд).

Полная система уравнений электромагнитного поля уравнений максвелла

Итак, переменное магнитное поле вызывает появление вихревого электрического поля. Переменное электрическое поле вызывает появление магнитного поля. Взаимно порождаясь, они могут существовать независимо от источников заряда или токов, которые первоначально создали одно из них. В сумме это есть электромагнитное поле (ЭМП). Превращение одного поля в другое и распространение в пространстве есть способ существования ЭМП. Конкретные проявления ЭМП – радиоволны, свет, гамма-лучи и т. д.

В 1860 г. знаменитый английский физик Джеймс Клерк Максвелл создал единую теорию электрических и магнитных явлений, в которой он использовал понятие ток смещения, дал определение ЭМП и предсказал существование в свободном пространстве электромагнитного излучения, которое распространяется со скоростью света.

Теорию ЭМП Максвелл сформулировал в виде системы нескольких уравнений. В учении об электромагнетизме эти уравнения Максвелла играют такую же роль, как уравнения (или законы) Ньютона в механике.

1) Мы знаем теорему о циркуляции вектора напряжённости магнитного поля:

Это уравнение является обобщением закона Био–Савара–Лапласа и показывает, что циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру L равна сумме токов проводимости и токов смещения сквозь поверхность, натянутую на этот контур. Или другими словами, показывает связь между полным током и порождаемым им магнитным полем.

В дифференциальной форме это уравнение Максвелла выглядит так:

2) Рассматривая явление электромагнитной индукции, мы сделали вывод, что ЭДС индукции . Перейдем от вихревого электрического поля к магнитному:

Это уравнение описывает явление электромагнитной индукции (закон Фарадея) и устанавливает количественную связь между электрическими и магнитными полями: переменное электрическое поле порождает переменное магнитное поле. В этом физический смысл уравнения.

В дифференциальной форме это уравнение выглядит так:

3) Ещё два уравнения выражают теорему Остроградского–Гаусса для электрического и магнитного полей (статических полей)

Поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность S равен сумме зарядов внутри этой поверхности. Это уравнение показывает также, что силовые линии вектора и начинаются и заканчиваются на зарядах.