Урок алгебры для 8-го класса по теме «Решение задач с помощью квадратных уравнений»

Разделы: Математика

Тема урока: Решение задач с помощью квадратных уравнений.

Цели урока:

  • Закрепить навыки решения текстовых задач с помощью квадратных уравнений;
  • Развивать у учащихся внимание при чтении условия задачи и выборе способа решения уравнения;
  • Воспитание ответственности и коллективизма у учащихся.

Оборудование: мультимедийный проектор, экран, графопроектор, шесть конвертов с шестью карточками, на каждой из которых написана задача.

Структура урока:

  • Организационный момент: замена тетрадей, учащиеся рассаживаются по группам: 6 групп по 5-6 человек в каждой, группы составлены разноуровневые – 3 мин.
  • Мотивация учебной деятельности через осознание учащимися практической значимости применяемых знаний и умений, сообщение темы, цели и задач урока -2 мин
  • Актуализация изученного материала:
    • Вопросы:
      • Какое уравнение называется квадратным?
      • Что показывает дискриминант?
      • Формулы корней квадратного уравнения?
    • Задания для устного решения Презентация 1 – 7 мин:
      • Решить уравнения;
      • Найти натуральный корень уравнения.
  • Решение задач (работа в группах):

Каждой группе предлагается конверт с 6 задачами. Набор задач у каждой группы одинаков. Каждый ученик выбирает себе задачу и решает ее. В первую очередь выбирать задачи № 1-5. Возможно советоваться с ребятами из своей группы. Учитель контролирует процесс и, в случае необходимости, оказывает помощь – 7 мин.
От каждой группы выходят по 1 человеку (те, кто раньше решил свою задачу) и оформляют свои решения на доске (3 чел.), на пленках для графопроектора (2 чел). Учитель контролирует, чтобы задачи были различны (задачи 1-5).
Весь класс сверяет свои решения с теми, которые представлены на доске. Те задачи, которых у учеников нет в тетрадях, они записывают. Для удобства текст проверяемой на доске задачи представлен в виде слайдов Презентации 2.
В ходе проверки задач, записанных на доске, остальные ребята, решавшие эти же задачи, вносят свои коррективы, если необходимо. Задачу 6 проверяет учитель в тетрадях, если есть время, то – разбор на доске. (15 мин.)

  • Подведение итогов урока, обобщение и систематизация результатов выполненных заданий. (4 мин.)
  • Постановка домашнего задания: № 656, 651, составить свою задачу, аналогичную одной из решенных в классе, и решить ее. (2 мин)

Задачи (в порядке разбора их у доски):

1. Несколько подруг решили обменяться фотографиями на память. Чтобы каждая девочка получила по одной фотографии каждой своей подруги, потребовалось 30 фотографий. Сколько было подруг?

Пусть было х подруг, тогда каждая должна получить по (х – 1) фотографии. Всего фотографий было х(х – 1), что по условию задачи равно 30. Составим и решим уравнение:

По смыслу ясно, что х – натуральное число, и существует только два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 30. Итак, х = 6. 6 подруг обменивались фотографиями.

2. Несколько приятелей решили сыграть турнир по шахматам. Кто-то из них подсчитал, что если каждый сыграет с каждым по одной партии, то всего будет сыграно 36 партий. Сколько было приятелей?

Решение:
Пусть х приятелей участвует в турнире, тогда каждый из них сыграет (х – 1) партию, но в этом случае партия каждой пары учтена дважды, значит всего было сыграно х(х – 1) партий, что по условию задачи равно 36. Составим и решим уравнение:
х(х – 1) = 36,
х(х – 1) = 72,
х 2 – х – 72 = 0,
D = 1 + 288 = 289,
х = ,
х1 = 9,
х2 = – 8 – не удовлетворяет смыслу задачи.

Рассуждения, аналогичные задаче 1.

9 приятелей участвовало в турнире.

Ответ: 9 приятелей.

3. Задача Диофанта (III в.)

Найти два числа. Зная, что их сумма равна 20, а произведение – 96.

Пусть х – одно из чисел, тогда второе число – (20 – х). Значит х(20 – х) – произведение этих чисел, что по условию задачи равно 96. Составим и решим уравнение:

х(20 – х) = 96,
20хх 2 – 96 = 0,
х 2 – 20х + 96 = 0,
= 100 – 96 = 4,
х = 10 + 2,
х1 = 12,
х2 = 8.
12 – первое число, тогда 20 – 12 = 8 – второе число;
8 – первое число, тогда 20 – 8 = 12 второе число.

4. Решение Диофанта (показывает учитель):

Пусть числа 10 + х и 10 – х (сумма их равна 20), тогда (10 + х)(10 – х) – их произведение, что равно 96. Имеем:

(10 + х)(10 – х) = 96,
100 – х 2 = 96,
х 2 = 4.
х = + 2.
В обоих случаях искомые числа 12 и 8.

5. Задача Бхаскары, Индия, XII в.

Цветок лотоса возвышается над тихим озером на полфута. Когда порыв ветра отклонил цветок от прежнего места на 2 фута, цветок скрылся под водой. Определите глубину озера.

Пусть глубина озера х ф., тогда длина стебля (х + ) ф. Учитывая, что цветок рос вертикально, составим и решим уравнение:
х 2 + 22 = (х + ) 2
х 2 + 4 = х 2 + х +
х = 3
3 фута – глубина озера.
Ответ: 3 ф.

6. В море встретились два корабля. Один из них шел в восточном направлении, другой – в северном. Скорость первого на 10 узлов больше, чем второго. Через 2 часа расстояние между ними оказалось равным 100 милям. Найдите скорость каждого корабля.

Пусть х узлов – скорость второго корабля, тогда (х – 10) узлов – скорость первого корабля, за 2 часа они пройдут 2х и 2(х – 10) миль соответственно, т. к. они идут в перпендикулярных направлениях, то, используя теорему Пифагора, составим и решим уравнение:

(2х) 2 + (2(х + 10)) 2 = 100 2
4х 2 + 4(х 2 + 20х + 100) = 10000
2х 2 + 20х + 100 = 2500
х 2 + 10х + 50 – 1250 = 0
х 2 + 10х – 1200 = 0
= 25 + 1200 = 1225
х = – 5 + 35
х1 = – 40 – не удовлетворяет смыслу задачи,
х2 = 30
30 узлов – скорость корабля, идущего на север, тогда 30 + 10 = 40 (узлов) – скорость корабля, идущего на восток.

Ответ: 30 узлов и 40 узлов.

7. Два равных прямоугольника сложили так, что они образуют букву Т и их общей частью является меньшая сторона одного из прямоугольников. Периметр образовавшейся фигуры равен 42 м, а площадь каждого прямоугольника равна 27 м 2 . Найти стороны прямоугольников.

P = 3b + 3a + (ba) = 4b + 2a, a = – 2b, S = ab
Пусть b см длина прямоугольника, тогда ширина прямоугольника ( – 2b) м, т. к. P = 42 м, то длина – (21 – 2b)м. Площадь прямоугольника b(21 – 2b), что по условию равно 27 м 2 . Составим и решим уравнение.
b(21 – 2b) = 27
21b – 2b 2 – 27 = 0
2b 2 – 21b + 27 = 0
D = 441 – 4 * 2 * 27 = 441 – 216 = 225
b =
b1 = 9
b2 = 1
Если 9 м – длина, тогда 21 – 2 * 9 = 3(м) – ширина.
Если 1 м – длина, тогда 21 – 2 * 1 = 18(м) – ширина, что не удовлетворяет смыслу задачи.

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Решение задач с помощью квадратных уравнений.

1. Произведение двух натуральных чисел равно 180, причем одно число больше другого на 3. Найдите эти числа.

Пусть х – первое натуральное число, тогда (х + 3) – второе натуральное число. По условию задачи произведение этих чисел равно 180. Составим и решим уравнение.

х = -15 – не является решением задачи, так как не является натуральным числом.

Значит х = 12 – первое число, 12 + 3 = 15 – второе натуральное число.

Решите задачу самостоятельно:

Одно число меньше другого на 7, а произведение этих чисел равно 330. Найдите эти числа.

2. Первая мастерская получила заказ сшить 600 рубашек, а вторая – 560 рубашек. Первая мастерская выполнила заказ за 4 дня до срока, а вторая за 1 день до срока, причем первая мастерская шила ежедневно на 4 рубашки больше, чем вторая. Сколько рубашек каждая мастерская шила ежедневно?

Примечание: в данной задаче удобнее за неизвестное обозначить время, которое было дано на выполнение работы обеим мастерским.

Пусть х дней было дано мастерским на выполнение заказа, тогда (х – 4) дня работала первая мастерская, а (х – 1) дня работала вторая мастерская. Первой мастерской нужно было сшить 600 рубашек, а второй 560. Следовательно, первая мастерская в день шила рубашки, а вторая . По условию задачи первая мастерская в день шила на 4 рубашки больше, чем вторая. Составим и решим уравнение.

. Помножим обе части уравнения на общий знаменатель и раскроем скобки. Получим:

. Упростим данное выражение и запишем в стандартном виде.

. Разделим каждое слагаемое на (-4).

Находим корни уравнения методом перебора. .

х=-14 не является решением задачи, так как дни не могут быть отрицательными.

Найдем сколько рубашек в день шила первая мастерская:

(рубашки). Вторая мастерская: 24 – 4 = 20 (рубашек).

Ответ: 24 и 25 рубашек

Решите задачу самостоятельно:

Велосипедист и мотоциклист проехали 60 км, причем мотоциклист был в пути на 3 ч меньше. Вычислите скорость велосипедиста и мотоциклиста, если скорость велосипедиста на 18 км/ч меньше скорости мотоциклиста.

Рекомендация: составьте таблицу.

Задачи для закрепления.

1. Моторная лодка прошла 28 км по течению реки и 25 км против течения, затратив на весь путь столько же времени, сколько ей потребовалось бы на прохождение 54 км по озеру. Найдите скорость моторной лодки по озеру, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

2. Участок имеет форму прямоугольника площадью 2800 м2. Вычислите длину и ширину участка, если длина больше ширины на 30 м.

3. Расстояние между двумя городами равно 420 км. Из первого города во второй выехали одновременно два автомобиля, причем скорость одного автомобиля больше скорости другого на 10 км/ч, поэтому он прибыл во второй город на 1 ч раньше, чем другой автомобиль. Вычислите скорости этих автомобилей.

4. В зрительном зале 270 мест, поровну в каждом ряду. Сколько рядов в зрительном зале, если число рядов в зале на 3 меньше числа мест в ряду?

5. В саду было 180 деревьев. При расширении сада количество рядов увеличили на 5 и в каждом ряду добавили по 3 дерева. В результате общее количество деревьев увеличилось на 120. Сколько рядов в саду было до расширения?

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Урок 21. Алгебра 8 класс

Конспект урока «Решение задач с помощью квадратных уравнений»

В алгебре, геометрии, физике и др. науках очень часто решение задач сводится к нахождению корней квадратных уравнений. Решение квадратных уравнений особых трудностей не вызывает, если знать основные формулы.

Поэтому очень важно при решении задач научиться составлять квадратные уравнения, т. е. переводить условия задач на математический язык.

Решение несколько задач, которые сводятся к решению квадратных уравнений.

Задача 1. В зрительном зале рядов в 2 раза больше, чем мест в каждом ряду. Если при перепланировке зала число рядов увеличить на 1, а число мест в каждом ряду увеличить на 8, то в зале будет 500 мест. Сколько мест в зале?

Обозначим за – число мест в ряду. Тогда – число рядов. Число мест после перепланировки будет , а число рядов . Так как по условию задачи после перепланировки число мест в зале будет равно , то можем составить уравнение:

Задача 2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см. Найдите его катеты, если их сумма равна 14 см.

По теореме Пифагора , где и – катеты, – гипотенуза. Пусть (см) – длина одного из катетов. Тогда см – длина второго катета. По условию задачи известно что гипотенуза прямоугольного треугольника равна см. Составим уравнение:

Задача 3. Мяч брошен вертикально вверх с начальной скоростью 30 м/с. Считая ускорение земного притяжения равным 10 м/с в квадрате и не учитывая сопротивление воздуха, найдите, через сколько секунд мяч будет на высоте 25 м.

Итак, мы решили несколько разных текстовых задач. Обратите внимание, что оформлять решения задач можно и значительно короче. Только необходимо показать, какое неизвестное обозначается буквой. Записать уравнение. Решить его. И сделать вывод о том, удовлетворяют ли найденные корни условию задачи. Ну и, конечно же, не забыть ответить на вопрос задачи.