Урок по теме «Решение дробных рациональных уравнений». 8-й класс

Разделы: Математика

Цели урока:

  • формирование понятия дробных рационального уравнения;
  • рассмотреть различные способы решения дробных рациональных уравнений;
  • рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений, включающий условие равенства дроби нулю;
  • обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму;
  • проверка уровня усвоения темы путем проведения тестовой работы.
  • развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;
  • развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций — анализ, синтез, сравнение и обобщение;
  • развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом;
  • развитие критического мышления;
  • развитие навыков исследовательской работы.
  • воспитание познавательного интереса к предмету;
  • воспитание самостоятельности при решении учебных задач;
  • воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

Тип урока: урок – объяснение нового материала.

Ход урока

1. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята! На доске написаны уравнения посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений вы сможете решить? Какие нет и почему?

Уравнения, в которых левая и правя часть, являются дробно-рациональными выражениями, называются дробные рациональные уравнения. Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке? Сформулируйте тему урока. Итак, открываем тетради и записываем тему урока «Решение дробных рациональных уравнений».

2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.

А сейчас мы повторим основной теоретический материл, который понадобиться нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

  1. Что такое уравнение? (Равенство с переменной или переменными.)
  2. Как называется уравнение №1? (Линейное.) Способ решения линейных уравнений. (Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа — в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель).
  3. Как называется уравнение №3? (Квадратное.) Способы решения квадратных уравнений. (Выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему Виета и ее следствия.)
  4. Что такое пропорция? (Равенство двух отношений.) Основное свойство пропорции. (Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов.)
  5. Какие свойства используются при решении уравнений? (1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.)
  6. Когда дробь равна нулю? (Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.)

3. Объяснение нового материала.

Решить в тетрадях и на доске уравнение №2.

Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, используя основное свойство пропорции? (№5).

х 2 -4х-2х+8 = х 2 +3х+2х+6

х 2 -6х-х 2 -5х = 6-8

Решить в тетрадях и на доске уравнение №4.

Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, умножая обе части уравнения на знаменатель? (№6).

Теперь попытайтесь решить уравнение №7 одним из способов.

Решение дробных рациональных уравнений

Урок 24. Алгебра 8 класс

Конспект урока «Решение дробных рациональных уравнений»

Для начала давайте вспомним определения целых, дробных и рациональных выражений.

Итак, целые выражения – это выражения, составленные из чисел и переменных, содержащие действия сложения, вычитания и умножения, а также деления на число, отличное от нуля.

В отличие от целых выражений, дробные выражения помимо действий сложения, вычитания и умножения, содержат деление на выражение с переменными.

Целые и дробные выражения называют рациональными. Вообще, рациональными выражениями называют выражения, составленные из чисел, переменных, их степеней и знаков арифметических действий.

До этого мы могли решить не любое рациональное уравнение, а только такое, которое в результате различных преобразований сводилось к линейному уравнению. Теперь же наши возможности стали гораздо шире: мы можем решить рациональное уравнение, которое сводится и к квадратному уравнению.

Давайте рассмотрим уравнения:

Заметим, что во всех этих уравнениях левая и правая части являются рациональными выражениями. Такие уравнения называют рациональными уравнениями.

Рациональное уравнение, в котором и левая и правая части являются целыми выражениями, называют целым.

Рациональное уравнение, в котором левая или правая часть является дробным выражением, называют дробным.

Возвращаясь к нашим уравнениям, видим, что первое уравнение является целым, а второе и третье – дробными рациональными.

Пример 1. Решить уравнение.

Пример 2. Решить уравнение.

Если среди найденных корней окажется такое число, при котором знаменатель дроби обращается в нуль, то такое число корнем уравнения быть не может, его называют посторонним корнем и в ответ не включают.

Пример 3. Решить уравнение.

Запишем алгоритм решения дробно рациональных уравнений. Чтобы решить дробно рациональное уравнение, надо:

1) Разложить все знаменатели дробей, входящих в уравнение, на множители.

2) Найти общий знаменатель этих дробей.

3) Умножить все слагаемые данного уравнения на общий знаменатель.

4) Решить получившееся целое уравнение.

5) Из найденных корней исключить те, которые обращают в нуль общий знаменатель данного уравнения.

Задание 1: при каких значениях х равны значения выражений?

Задание 2: найти значение переменной х, при котором сумма дробей равна их произведению.

Уравнения, в которых в левой и правой частях записаны рациональные выражения, называют рациональными уравнениями.

Рациональное уравнение, в котором и левая и правая части являются целыми выражениями, называют целым.

Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называют дробным.

Чтобы решить дробно рациональное уравнение, надо:

1. Разложить все знаменатели дробей, входящих в уравнение, на множители.

2. Найти общий знаменатель этих дробей.

3. Умножить все слагаемые данного уравнения на общий знаменатель.

4. Решить получившееся целое уравнение.

Из найденных корней исключить те, которые обращают в нуль общий знаменатель данного уравнения.

Решение рациональных уравнений

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На данном уроке будет рассмотрено решение рациональных уравнений. С помощью рациональных уравнений решается целый ряд задач, которые возникают не только на страницах учебника математики, но и в жизни. Однако, для того чтобы решить рациональное уравнение, его ещё необходимо уметь правильно составить. Поэтому на данном уроке мы не только рассмотрим примеры решения рациональных уравнений как таковых, но и примеры математического моделирования задачи, которое приводит к возникновению соответствующих рациональных уравнений.

Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями

Урок: Решение рациональных уравнений

1. Пример решения рационального уравнения, являющегося математической моделью текстовой задачи

Как вы уже успели заметить на предыдущем уроке, основа решения рациональных уравнений – техника преобразования рациональных выражений. Рассмотрим пример решения рационального уравнения.

Пример 1

Решение:

В первую очередь обратим внимание на то, что в числителях обеих дробей, а также в правой части уравнения стоят чётные числа. То есть, можно упростить уравнение, поделив обе его части на . Этот шаг не является обязательным, но, чем проще уравнение, тем легче его решать, а чем меньше числа, фигурирующие в уравнении, тем легче арифметические вычисления при его решении.

В результате сокращения получаем:

Теперь перенесём все члены уравнения в левую часть, чтобы получить справа , а затем приведём полученные в левой части дроби к общему знаменателю:

Напомним, что дробь равна тогда и только тогда, когда её числитель равен , а знаменатель не равен . Поэтому наше уравнение превращается в следующую систему:

Теперь вспомним ещё один важный факт: произведение равно тогда и только тогда, когда хотя бы один из его множителей равен , а остальные множители при этом существуют. И наша система превращается в следующую:

Оба полученных корня являются решениями данного уравнения, так как при них знаменатель определён.

2. Пример текстовой задачи и решения её с помощью математического моделирования

Рассмотренное нами уравнение является моделью для такой задачи:

Задача 1

Лодка прошла по течению реки и против течения реки, затратив на весь путь . Чему равна собственная скорость лодки, если скорость течения реки равна ?

Решение:

Решение данной задачи осуществим с помощью метода математического моделирования и выделим 3 этапа данного метода.

Этап 1. Составление математической модели

Обозначим через собственную скорость лодки (это стандартный приём при решении текстовых задач – обозначить с помощью неизвестной ту величину, которая спрашивается в условии задачи). Тогда:

– скорость движения лодки по течению реки;

– скорость движения лодки против течения реки.

В этом случае, воспользовавшись формулой: , получаем, что время движения лодки по течению реки выражается как , а время движения лодки против течения реки – . Тогда общее время движения лодки равно , откуда получаем уравнение:

– это и есть математическая модель данной задачи.

Этап 2. Работа с математической моделью

В данном случае работа с математической моделью сводится к решению данного рационального уравнения, что мы уже сделали в примере 1. При этом получили корни уравнения: .

Этап 3. Ответ на вопрос задачи

Дело в том, что математическая модель потому и является математической, что абстрагирована от реальной жизни. Если брать конкретно данную задачу, то математическая модель – это уравнение, которое может иметь любые корни. Однако неизвестная величина обозначает скорость лодки, поэтому не может быть, к примеру, отрицательной. Или: не может быть меньше скорости течения реки, иначе бы лодка не смогла бы плыть против течения. И такие ограничения могут быть в самых разных задачах. Поэтому, прежде чем записать ответ, необходимо оценить, является ли он правдоподобным.

В данном случае очевидно, что не подходит, так как лодка не смогла бы с такой скоростью плыть против течения. Поэтому в ответ пойдёт только одна величина: .

3. Различные примеры решения рациональных уравнений

Рассмотрим несколько примеров на решение непосредственно рациональных уравнений.

Пример 2

Решение:

Перенесём все слагаемые в левую часть, а затем приведём дроби к общему знаменателю.

Снова воспользуемся тем фактом, что дробь равна тогда и только тогда, когда её числитель равен , а знаменатель не равен . Из этого следует, что данное уравнение эквивалентно системе:

Пример 3

Решение:

В данном уравнении в правой части уже стоит , поэтому ничего переносить левую часть не нужно. Сразу приведём дроби в левой части к общему знаменателю:

Снова воспользуемся тем фактом, что дробь равна тогда и только тогда, когда её числитель равен , а знаменатель не равен . Из этого следует, что данное уравнение эквивалентно системе:

. Подставив данное значение в знаменатель, убеждаемся, что он не равен . Значит, это значение переменной является ответом.

Пример 4

Решение:

Схема решения данного уравнения абсолютно такая же, как и у предыдущих:

4. Решение задачи, сводящейся к рациональному уравнению

К решению рациональных уравнений часто сводятся различные задачи. Рассмотрим один из таких примеров.

Задача 2

Существует ли такое значение , при котором разность дробей и равна ?

Решение:

Запишем уравнение, соответствующее условию данной задачи: .

Решим данное рациональное уравнение точно так же, как и в предыдущих примерах.

Приведём подобные слагаемые в числителе (они отмечены одинаковым цветом):

То есть, такое значение существует.

Ответ: существует: .

Итак, мы рассмотрели примеры решения рациональных уравнений, а также их использование при решении различных задач. На следующих уроках мы перейдём к изучению новой темы, посвящённой различным функциям.

Список литературы

1. Башмаков М. И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С. М., Потапов М. А., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).

2. Портал для всей семьи (Источник).

3. Обучающие курсы (Источник).

Домашнее задание

1. №№165, 178. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Решить уравнения: а) , б) .

3. Выполнить действия: а) , б) .

4. Два экскаватора могут выкопать котлован за . Первый экскаватор может выкопать котлован в 4 раза быстрее, чем второй. За сколько часов может выкопать такой же котлован каждый экскаватор, работая отдельно?

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.