В какой точке касательная к графику функции y=x^2+4x параллельна прямой y=2x+3?

Ответ или решение 1

Общий вид уравнения касательной к графику функции выглядит следующим образом:

Найдем производную функции:

Так как искомая касательная параллельна прямой y = 2x + 3, то из равенства угловых коэффициентов, получим уравнение:

Найдем ординату точки:

Ответ: заданная касательная проходит через точку с координатами (-1; 2).

В какой точке касательная к графику функции параллельна прямой

Острые углы прямоугольного треугольника равны 81 и 9 градусов. Найдите угол между высотой и биссектрисой , проведенными из вершины прямого угла.( если можно с полным объяснением). Попроси больше объяснений; Следить ? Отметить нарушение ? Юлия19210 14.03.2013. Войти чтобы добавить.

Совет 1: Как найти уравнение касательной к графику функции

    Как найти уравнение касательной к графику функции Что такое парабола Как найти неизвестное уменьшаемое

Для начала дадим определение касательной. Касательной к кривой в данной точке М называется предельное положение секущей NM, когда точка N приближается вдоль кривой к точке М.

Кривая, представляющая собой график функции y = f(x), непрерывна в некоторой окрестности точки М (включая саму точку М).

Координаты точки М (x; y), координаты точки N1(x+∆x; y+∆y).

Из полученного треугольника MN1N можно найти угловой коэффициент этой секущей:

Где (x0; y0) – координаты точки касания,

(x; y) – текущие координаты, т. е. координаты любой точки, принадлежащей касательной,

F`(x0) = k = tg α – угловой коэффициент касательной.

Совет 2: Как найти касательное уравнение

Для решения этой задачи воспользуйтесь алгоритмом составления уравнения. Но при этом учитывайте, что в данном примере дана функция f(x)=2-х-х3, а=0.

Совет 3: Как написать уравнение касательной

Kx1 + b = y1, kx2 + b = y2.

Решая эту систему двух линейных уравнений, получаем: kx2 — kx1 = y2 — y1. Таким образом, k = (y2 — y1)/(x2 — x1).

Y = 6*(x — 3) + 9 = 6x — 9.

Правильность этого уравнения легко проверить. График прямой y = 6x — 9 проходит через ту же точку (3;9), что и исходная парабола. Построив оба графика, вы сможете убедиться, что эта прямая действительно прилегает к параболе в этой точке.

    Математика для школьников — уравнение касательной составить уравнение касательной

Совет 4: Как найти абсциссу точки касания

Совет 5: Как найти угловой коэффициент касательной

    — математический справочник; — простой карандаш; — тетрадь; — транспортир; — циркуль; — ручка.
    Касательная к графику функции

Совет 6: Как найти координаты точки касания

Совет 7: Как решать график функции и касательной

Совет 8: Как найти тангенс угла наклона касательной

В какой точке касательная к графику функции параллельна прямой

В какой точке касательная к графику функции параллельна прямой

В какой точке касательная проведенная к графику функции у=х^2-2х+1 параллельна прямой у=-4х-4

    Попроси больше объяснений Следить Отметить нарушение

Ответы и объяснения

Уравнение касательной y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)

Ищем производную f'(x)=(x^2-2x+1)’=2x-2

Угловые коэффициенты паралельных прямых равны k1=k2

В какой точке касательная к графику функции параллельна прямой

В какой точке касательная к графику функции параллельна прямой

В какой точке касательная проведенная к графику функции у=х^2-2х+1 параллельна прямой у=-4х-4

    Попроси больше объяснений Следить Отметить нарушение

Ответы и объяснения

Уравнение касательной y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)

Ищем производную f'(x)=(x^2-2x+1)’=2x-2

Угловые коэффициенты паралельных прямых равны k1=k2

Тестовые задания по теме: «Касательная к графику функции»

Разделы: Математика

При изучении темы “Касательная к графику функции” можно выделить 5 типов задач.

I. Задачи на составление уравнения касательной к графику функции в точке, принадлежащей графику

Обучение решению задач на касательную осуществляется при помощи алгоритма.

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке х : y = f(х ) + f ‘(х )(x – х )

Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f(x):

1. Обозначить х абсциссу точки касания.

3. Найти f ‘(x) и f ‘(х ) 4. Подставить найденные числа х , f(х ), f ‘(х ) в общее уравнение касательной

Задача. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х =3.

1. х = 3 – абсцисса точки касания.

3. f ‘(x) = x 2 – 4, f ‘(3) = 5. 4.Подставив в уравнение касательной значения х =3, f(х )=-2, f ‘(х )=5, получим y = – 2 + 5(x – 3), т. е. y = 5x – 17. Это и есть искомое уравнение касательной. Ответ: y = 5x-17.

Найти уравнение касательной к графику функции f(x) в точке с абсциссой х .

8. Уравнение касательной, проведённой к графику функции y=lnx в точке его пересечения с осью абсцисс, имеет вид. 1) y = 2x-2; 2) y = x-1; 3) y = x+1; 4) y = x.

9. Уравнение касательной, проведённой к графику функции y=e -1 в точке его пересечения с осью абсцисс, имеет вид. 1) y = 2x; 2) y = 3x-1; 3) y = x-1; 4) y = x.

10. Уравнение касательной, проведённой к графику функции y=sin(x — )+1 в точке его пересечения с осью ординат, имеет вид. 1) y = x+1; 2) y = x-1; 3) y =- x-1; 4) y =1- x.

Ответы к упражнениям

II. Проведение касательной параллельно заданной прямой

Задача 1. В каких точках касательные к кривой у= — х — х+1 параллельны прямой y=2x-1?

Решение. Так как касательные параллельны прямой у=2х-1 то их угловые коэффициенты совпадают. Т. е. угловой коэффициент касательной в этой точке есть к = 2 .

Находим у’ = х -2х-1; к= у'(х )= х -2х -1=2.

Решив уравнение х -2х -1=2; х -2х -3=0, получим (х ) =3, (х ) =-1, откуда (у ) = -2, (у ) = . Итак, искомыми точками касания являются А(3;-2) и В(-1; )

Задача 2. Найти абсциссу точки, в которой касательная к графику функции f(x) = 2x-lnx, параллельна прямой у = х.

Решение. Пусть х — абсцисса точки касания. Угловой коэффициент касательной в этой точке есть к=1. Находим f ‘(x)=2- . К= f ‘ (х )=2- =1.

Решив уравнение 2- =1, получим х =1.

Найти абсциссу точки, в которой касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у(х).

6. Найти сумму абсцисс точек, в которых касательные к графику функции у=х — 3х+1 параллельны оси абсцисс. 1) 0; 2) 2; 3) 1; 4) –2.

7. Найти сумму абсцисс точек в которых касательные к кривой у= параллельны прямой у=х+5. 1) –2; 2) 4; 3) 2; 4) –4.

8. К графику функции у = проведены две параллельные касательные, одна из которых проходит через точку графика с абсциссой х = -1. Найдите абсциссу точки, в которой другая касательная касается графика данной функции. 1) –2; 2) 2; 3) 1; 4) –3.

9. К графику функции у =- проведены две параллельные касательные, одна из которых проходит через точку графика с абсциссой х = 1. Найдите абсциссу точки, в которой другая касательная касается графика данной функции. 1) –1; 2) 5; 3) 2; 4) –3.

10. На графике функции у = х (х-4) указать точки, в которых касательные параллельны оси абсцисс. Найти сумму абсцисс данных точек. 1) 5; 2) 4; 3) 3; 4) – 27.

Ответы к упражнениям

III. Задачи на касательную, связанные с ее угловым коэффициентом

Задача 1. К графику функции f(x) = 3x +5x-15 в точке с абсциссой x = проведена касательная. Найти тангенс угла наклона касательной к оси Ох.

f'(x ) является угловым коэффициентом касательной к графику функции у =f(x) в точке x . Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла, образованного этой прямой с положительным направлением оси Ох.

k= f ‘(x )=tg , где x — абсцисса точки касания, а — угол наклона касательной к оси Ох.

Задача 2. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = 0,5x 2 – 3x + 1, проходящей под углом 45° к прямой y = 0.

Решение. f ‘(x)= x-3. Из условия f ‘(x ) = tg 45° найдем x : x – 3 = 1, x = 4.

1. x = 4 – абсцисса точки касания.

2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.

4. y = – 3 + 1(x – 4). y = x – 7 – уравнение касательной

Задача 3. Под каким углом к оси Ох наклонена касательная к графику функции f(x)=x lnx в точке x =1.

Находим f ‘(x)= 2xlnx+x =2xlnx+x=x(2lnx+1).

При x =1 получим f ‘(1)=1, откуда tg =1 и, значит, = .

К графику функции f(x) в точке с абсциссой x проведена касательная. Найти тангенс угла наклона касательной к оси Ох если:

Найти угловой коэффициент касательной проведённой к графику функции f(x) в точке x

10. Под каким углом к оси Ох наклонена касательная к графику функции f(x)=3lnx — x , в точке x =1. 1) 2) 3) arctg2; 4)

Ответы к упражнениям

IV. Нахождение касательной проходящей через точку, внешнюю по отношению к заданному графику

Задача 1. Составить уравнения касательных к кривой y = x — 4x+3, проходящих через точку М(2;-5).

При х =2, находим у = 4-8+3=-1 -5, то есть точка М не лежит на кривой y = x -4x+3 и не является точкой касания.

Пусть (х ) – точка касания.

у ‘ =2х-4, k = 2x — 4. Составим уравнение касательной, проходящей через точку М:

у =-5-(2х -4)(2-х ). Поскольку точка (х ) лежит на кривой, получим y = x -4x +3.

Решим уравнение x -4x +3 = -5-(2х -4)(2-х );

x -4x +3=2x -8x +3, x — 4x =0, (х ) =0, (х ) = 4.

Таким образом, получили две точки касания А(0;3) и В(4;3). Итак, существуют две касательные к данной кривой; одна из них имеет угловой коэффициент k = -4 (при х =0) и уравнение у = -4х+3, а другая – угловой коэффициент k =4 (при х =4) и уравнение у=4х-13.

Ответ: у =-4х+3, у = 4х-13.

Через точку М(х;у) проведены две касательные к графику функции f(x). Найти сумму абсцисс точек касания.

7. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x)= х — 4х + 5, если эта касательная проходит через точку А(0;4) и абсцисса точки касания положительна.

1) у = 2х+4; 2) у = -2х+4; 3) у = -4х+4; 4) у = 4х-3.

8. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x)= х + 3х + 5, если эта касательная проходит через точку А(0;1) и абсцисса точки касания отрицательна.

1) у = 2х+1; 2) у = х+1; 3) у = — х+1; 4) у = -2х-5.

9. Напишите уравнения касательных к графику функции f(x)= -0,5 х +3, если эта касательные проходят через точку на оси Оу и образуют между собой угол 90 o ?.

1) у = х+3,5 и у = х-3,5 ; 2) у = — х+3,5 и у = х+3,5; 3) у = — х+4 и у =х+4; 4) у = — х+3 и у =х+3.

10. Через точку В(-2;3) проходят касательные к графику функции у= . Найти уравнения этих касательных.

1) у = 2х+2 и у = -22х+2; 2) у =-х+3 и у = х-3; 3)у =-0,5х+2 и у =х+4; 4)у =-0,5х+2 и у =-0,1х+2,8.

Ответы к упражнениям

V. Нестандартные задачи, связанные с касательной

1. Напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции y = 2x 2 – 4x + 3 в точках пересечения графика с прямой y = x + 3. Ответ: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.

2. При каких значениях a касательная, проведенная к графику функции y = x 2 – ax в точке графика с абсциссой x0 = 1, проходит через точку M(2; 3)? Ответ: a = 0,5.

3. При каких значениях p прямая y = px – 5 касается кривой y = 3x 2 – 4x – 2? Ответ: p1 = – 10, p2 = 2.

4. Найдите все общие точки графика функции y = 3x – x 3 и касательной, проведенной к этому графику через точку P(0; 16). Ответ: A(2; – 2), B(– 4; 52).

5. На кривой y = x 2 – x + 1 найдите точку, в которой касательная к графику параллельна прямой y – 3x + 1 = 0. Ответ: M(2; 3).

6. Напишите уравнение касательной к графику функции y = x 2 + 2x – | 4x |, которая касается его в двух точках. Сделайте чертеж. Ответ: y = 2x – 4.

7. На параболе y = x 2 взяты две точки с абсциссами x1 = 1, x2 = 3. Через эти точки проведена секущая. В какой точке параболы касательная к ней будет параллельна проведенной секущей? Напишите уравнения секущей и касательной.

Ответ: y = 4x – 3 – уравнение секущей; y = 4x – 4 – уравнение касательной.

8. Найдите угол между касательными к графику функции y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1, проведенными в точках с абсциссами 0 и 1. Ответ: = 45°.

9. Напишите уравнение всех общих касательных к графикам функций y = x 2 – x + 1 и y = 2x 2 – x + 0,5. Ответ: y = – 3x и y = x.

10. Определите, под какими углами парабола y = x 2 + 2x – 8 пересекает ось абсцисс.

Ответ: 1 = arctg 6, 2 = arctg (– 6).

11. Прямая y = 2x + 7 и парабола y = x 2 – 1 пересекаются в точках M и N. Найдите точку K пересечения прямых, касающихся параболы в точках M и N. Ответ: K(1; – 9).

12. При каких значениях b прямая y = 9x + b является касательной к графику функции y = x 3 – 3x + 15? Ответ: – 1; 31.

13. При каких значениях k прямая y = kx – 10 имеет только одну общую точку с графиком функции y = 2x 2 + 3x – 2? Для найденных значений k определите координаты точки.

14. При каких значениях b касательная, проведенная к графику функции y = bx 3 – 2x 2 – 4 в точке с абсциссой x0 = 2, проходит через точку M(1; 8)?