В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит

ч РТСНПХЗПМШОПН ФТЕХЗПМШОЙЛЕ ФПЮЛБ ЛБУБОЙС ЧРЙУБООПК ПЛТХЦОПУФЙ ДЕМЙФ ЗЙРПФЕОХЪХ ОБ ПФТЕЪЛЙ, ТБЧОЩЕ 5 Й 12. оБКДЙФЕ ЛБФЕФЩ ФТЕХЗПМШОЙЛБ.

фБЛЦЕ ДПУФХРОЩ ДПЛХНЕОФЩ Ч ЖПТНБФЕ TeX

чЩТБЪЙФЕ ЛБФЕФЩ ЮЕТЕЪ ТБДЙХУ ЧРЙУБООПК ПЛТХЦОПУФЙ Й ЧПУРПМШЪХКФЕУШ ФЕПТЕНПК рЙЖБЗПТБ.

фБЛЦЕ ДПУФХРОЩ ДПЛХНЕОФЩ Ч ЖПТНБФЕ TeX

пВПЪОБЮЙН ТБДЙХУ ЧРЙУБООПК ПЛТХЦОПУФЙ ЮЕТЕЪ r. фПЗДБ ЛБФЕФЩ ФТЕХЗПМШОЙЛБ ТБЧОЩ 5 + r Й 12 + r. рП ФЕПТЕНЕ рЙЖБЗПТБ (5 + r)² + (12 + r)² = 17², ПФЛХДБ
r = 3.

фБЛЦЕ ДПУФХРОЩ ДПЛХНЕОФЩ Ч ЖПТНБФЕ TeX

фП ЦЕ ХТБЧОЕОЙЕ НПЦОП РПМХЮЙФШ ЙЪ ДЧХИ УРПУПВПЧ ОБКФЙ РМПЭБДШ ФТЕХЗПМШОЙЛБ: (5 + r)(12 + r) = r((5 + r) + (12 + r) + 17).

В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит

92. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 и 12 см. Найдите катеты треугольника (рис. 168). (1)

Решение. Впишем в треугольник ABC окружность и соединим её центр О с вершинами В, С. Проведём также перпендикуляры ОК, ON, ОМ (см. рис.). Они являются радиусами вписанной в треугольник окружности. Из равенства треугольников ВМО и BNO следует, что ВМ = BN = 5. Аналогично, из равенства треугольников ОКС и ONC следует, что КС = NC = 12. Заметим также, что AMOK – квадрат и, значит, AM = АК = r. Получаем, что АВ = АМ + МВ = r + 5, АС = АК + КС = r + 12. По теореме Пифагора получаем: АВ2+ АС2= ВС2.

(r + 5)2+ (r + 12)2= 172;

r2+ 10r + 25 + r2+ 24r + 144 = 289;

2r2+ 34r – 120 = 0;

r2+ 17r – 60 = 0; r = 3.

Катеты равны 5 + r = 8 и 12 + r = 15.

Ответ: 8 см; 15 см.

93. В треугольник вписана окружность с радиусом 4. Одна из сторон треугольника разделена точкой касания на отрезки, длины которых 6 и 8. Найдите длины сторон треугольника (рис. 169). (2)

Решение. Как и в предыдущей задаче, изобразим вписанную в треугольник окружность и соединим центр окружности О с вершинами треугольника. Проведем также перпендикуляры ОМ, ОТ, ОК, являющиеся радиусами окружности. Получены три пары равных треугольников: OAK и ОAT, ОВМ и ОВТ, ОСМ и ОСК. По условию одна из сторон треугольника разделена точкой касания на отрезки, длины которых 6 и 8. Пусть для определенности эта сторона – ВС и ВМ = 8, МС = 6. Тогда ВТ = ВМ = 8, СК = СМ = 6. Длины отрезков АК и AT обозначим через х. Для нахождения величины х воспользуемся формулой S = рг. По формуле Герона

В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит

В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5си и 12 см. найти катеты треугольника

  • Попроси больше объяснений
  • Следить
  • Отметить нарушение

Еша 19.09.2012

Ответы и объяснения

По риссунку видно, что ВС — гипотенуза.

ВК = 12см, КС = 5 см, ОК = ОТ = ОР = радиусы.

Свойства описсаного прямоугольного треугольника твердят, что (по риссунку)

а) РО = ОТ = РА = АТ , Получается квадрат АРОТ у котого все стороны равны;

б) РВ = ВК = 12 см

Пусть АР = АТ = х см, тогда АВ = 12 + х, АС = х + 5, ВС = 12 + 5 = 17 см