В равнобедренном треугольнике чем является высота

Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является его медианой и высотой. Доказательство.

Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию

Теорема (Свойство высоты равнобедренного треугольника)

Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является его медианой и биссектрисой.

CF — медиана и биссектриса.

1) AC=BC (по условию

(как боковые стороны равнобедренного треугольника))

2) сторона CF — общая

∠ AFC= ∠ BFC=90º (как смежные)

Сумма углов треугольника равна 180º.

Если из 180º вычесть сумму равных углов, то получим равные углы:

2) ∆ ACF=∆ BCF ( по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AF=BF.

Поэтому CF является также медианой треугольника ABC.

Что и требовалось доказать.

One Comment

Ну вобщем доказательство этой теоремы не совсем корректно. Потому что предполагает предварительное введение признаков равенства треугольников, включая признаки равенства прямоугольных треугольников. Потому что тут напрямую можно воспользоваться равенством тр. AFC и тр. FCB по общему катету CF и гипотенузам AC и BC… Но дело в том, что введение этих признаков требует доказательства ряда теорем и свойств и по курсу геометрии предполагается после этой теоремы. Поэтому по логике такое доказательство не совсем уместно… Мы приходим к логическому противоречию. И потому требуется другое доказательство, не требующее использования признаков равенства треугольников. Это же доказательство ещё хуже, поскольку тут потребовали ещё и равенства углов противолежащих равным сторонам. (Это отдельная теорема, которая так же излагается после). Хотя этот недостаток легко устраняется… Но доказательство получается довольно таки запутанным. Вначале надо провести биссектрису(как обычно и доказывается эта теорема) и доказать равенство этих углов. Но если выбрать такой путь, то гораздо проще провести сразу биссектрису(не высоту. ) и доказать всю теорему. А потом ввести следствия и доказать эту на основании уже доказанной скажем методом от противного. Так обычно и излагается этот материал. Но если мы хотим доказать все свойства через высоту, то надо придумать что-то другое…

В равнобедренном треугольнике чем является высота

Признаки, составляющие элементы и свойства равнобедренного треугольника

Первые историки нашей цивилизации – древние греки — упоминают Египет как место зарождения геометрии. Трудно с ними не согласиться, зная, с какой потрясающей точностью возведены гигантские усыпальницы фараонов. Взаимное расположение плоскостей пирамид, их пропорции, ориентация по сторонам света – достичь такого совершенства было бы немыслимо, не зная основ геометрии.

Само слово «геометрия» можно перевести как «измерение земли». Причём слово «земля» выступает не как планета – часть Солнечной системы, а как плоскость. Разметка площадей под ведение сельского хозяйства, скорее всего, и является самой изначальной основой науки о геометрических фигурах, их видах и свойствах.

Треугольник – самая простая пространственная фигура планиметрии, содержащая всего три точки — вершины (меньше не бывает). Основа основ, может быть, оттого и мерещится в нём нечто таинственное и древнее. Всевидящее око внутри треугольника – один из самых ранних из известных оккультных знаков, причём география его распространения и временные рамки просто поражают воображение. От древних египетской, шумерской, ацтекской и других цивилизаций до более современных сообществ любителей оккультизма, разбросанных по всему земному шару.

Какими бывают треугольники

Обычный разносторонний треугольник – это замкнутая геометрическая фигура, состоящая из трёх отрезков разной длины и трёх углов, ни один из которых не является прямым. Кроме него, различают несколько особых видов.

Треугольник остроугольный имеет все углы величиной менее 90 градусов. Иными словами – все углы такого треугольника острые.

Прямоугольный треугольник, над которым во все времена плакали школьники из-за обилия теорем, имеет один угол с величиной 90 градусов или, как его ещё называют, прямой.

Тупоугольный треугольник отличается тем, что один из его углов тупой, то есть величина его — более 90 градусов.

Равносторонний треугольник имеет три стороны одинаковой длины. У такой фигуры равны также все углы.

И наконец, у равнобедренного треугольника из трёх сторон две равны между собой.

Отличительные особенности

Свойства равнобедренного треугольника определяют и его основное, главное, отличие – равенство двух сторон. Эти равные друг другу стороны принято называть бёдрами (или, чаще, боковыми сторонами), ну а третья сторона носит название «основание».

На рассматриваемом рисунке a = b.

Второй признак равнобедренного треугольника вытекает из теоремы синусов. Так как равны стороны a и b, равны и синусы их противолежащих углов:

Из равенства синусов следует равенство углов: γ = α.

Итак, вторым признаком равнобедренного треугольника является равенство двух углов, прилежащих к основанию.

Третий признак. В треугольнике различают такие элементы, как высота, биссектриса и медиана.

Если в процессе решения задачи выясняется, что в рассматриваемом треугольнике два любых из этих элементов совпадают: высота с биссектрисой; биссектриса с медианой; медиана с высотой — однозначно можно делать вывод, что треугольник равнобедренный.

Геометрические свойства фигуры

1. Свойства равнобедренного треугольника. Одним из отличительных качеств фигуры является равенство углов, прилежащих к основанию:

2. Ещё одно свойство рассмотрено выше: медиана, биссектриса и высота в равнобедренном треугольнике совпадают, если они построены от его вершины к основанию.

3. Равенство биссектрис, проведённых из вершин при основании:

Если АЕ – биссектриса угла ВАС, а CD – биссектриса угла BCA, то: AE = DC.

4. Свойства равнобедренного треугольника предусматривают также равенство высот, которые проведены из вершин при основании.

Если построить высоты треугольника АВС (где АВ = ВС) из вершин А и С, то полученные отрезки CD и АЕ будут равны.

5. Равными также окажутся и медианы, проведённые из углов при основании.

Так, если АЕ и DC – медианы, то есть AD = DB, а BE = EC, то АЕ = DC.

Высота равнобедренного треугольника

Равенство боковых сторон и углов при них привносит некоторые особенности в вычисление длин элементов рассматриваемой фигуры.

Высота в равнобедренном треугольнике делит фигуру на 2 симметричных прямоугольных треугольника, гипотенузами у которых выступают боковые стороны. Высота в таком случае определяется согласно теореме Пифагора, как катет.

У треугольника могут быть равными все три стороны, тогда он будет называться равносторонним. Высота в равностороннем треугольнике определяется аналогично, только для расчётов достаточно знать всего одно значение – длину стороны этого треугольника.

Можно определить высоту и другим путём, например зная основание и прилегающий к нему угол.

Медиана равнобедренного треугольника

Рассматриваемый тип треугольника, благодаря геометрическим особенностям, решается довольно просто по минимальному набору исходных данных. Так как медиана в равнобедренном треугольнике равна и его высоте, и его биссектрисе, то алгоритм её определения ничем не отличается от порядка вычисления данных элементов.

К примеру, определить длину медианы можно по известной боковой стороне и величине угла при вершине.

Как определить периметр

Так как у рассматриваемой планиметрической фигуры две стороны всегда равны, то для определения периметра достаточно знать длину основания и длину одной из сторон.

Рассмотрим пример, когда нужно определить периметр треугольника по известным основанию и высоте.

Периметр равен сумме основания и удвоенной длины боковой стороны. Боковая сторона, в свою очередь, определяется с помощью теоремы Пифагора как гипотенуза прямоугольного треугольника. Длина её равна корню квадратному из суммы квадрата высоты и квадрата половины основания.

Площадь равнобедренного треугольника

Не вызывает, как правило, трудностей и вычисление площади равнобедренного треугольника. Универсальное правило определения площади треугольника как половины произведения основания на его высоту применимо, конечно же, и в нашем случае. Однако свойства равнобедренного треугольника вновь облегчают задачу.

Допустим, что известны высота и угол, прилежащий к основанию. Необходимо определить площадь фигуры. Сделать это можно таким способом.

Так как сумма углов любого треугольника равна 180°, то определить величину угла не составит труда. Далее, воспользовавшись пропорцией, составленной согласно теореме синусов, определяется длина основания треугольника. Все, основание и высота – достаточные данные для определения площади — имеются.

Другие свойства равнобедренного треугольника

Положение центра окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника, зависит от величины угла вершины. Так, если равнобедренный треугольник остроугольный, центр круга располагается внутри фигуры.

Центр окружности, которая описана вокруг тупоугольного равнобедренного треугольника, лежит вне его. И, наконец, если величина угла при вершине равна 90°, центр лежит ровно на середине основания, а через само основание проходит диаметр окружности.

Для того чтобы определить радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, достаточно разделить длину боковой стороны на удвоенный косинус половины величины угла при вершине.

В равнобедренном треугольнике чем является высота

В равнобедренном треугольнике чем является высота

4.3. Равнобедренный треугольник

Свойства равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Пусть Δ ABC – равнобедренный с основанием AB. Рассмотрим Δ BAC. По первому признаку эти треугольники равны. Действительно, AC = BC ; BC = AC ; C = C. Отсюда следует A = B как соответствующие углы равных треугольников. Теорема доказана.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Пусть Δ ABC – равнобедренный с основанием AB, и CD – медиана, проведенная к основанию. В треугольниках CAD и CBD углы CAD и CBD равны, как углы при основании равнобедренного треугольника (по теореме 4.3), стороны AC и BC равны по определению равнобедренного треугольника, стороны AD и BD равны, потому что D – середина отрезка AB. Отсюда получаем, что Δ ACD = Δ BCD.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ACD = BCD, ADC = BDC. Из первого равенства следует, что CD – биссектриса. Углы ADC и BDC смежные, и в силу второго равенства они прямые, поэтому CD – высота треугольника. Теорема доказана.

Признаки равнобедренного треугольника.

Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Пусть Δ ABC – треугольник, в котором A = B. Δ ABC равен Δ BAC по второму признаку равенства треугольников. Действительно: AB = BA ; B = A ; A = B. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих его сторон: AC = BC. Тогда, по определению, Δ ABC – равнобедренный. Теорема доказана.

Если в треугольнике медиана является и высотой, то такой треугольник равнобедренный.

В треугольнике ABC проведем медиану BD, которая по условию также является высотой. Прямоугольные треугольники ABD и CBD равны, т. к. катет BD общий, AD = CD по построению. Следовательно, гипотенузы этих треугольников равны как соответственные элементы равных треугольников, т. е. AB = BC. Теорема доказана.

Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Пусть треугольники не равны. Отсюда следует, что одновременно. Иначе треугольники были бы равны по первому признаку.

Пусть Δ A 1 B 1 C 2 – треугольник, равный Δ ABC, у которого вершина C 2 лежит в одной полуплоскости с вершиной C 1 относительно прямой A 1 B 1 . По предположению вершины C 1 и C 2 не совпадают. Пусть D – середина отрезка C 1 C 2 . Треугольники A 1 C 1 C 2 и B 1 C 1 C 2 – равнобедренные с общим основанием C 1 C 2 . Поэтому их медианы A 1 D и B 1 D являются высотами. Значит, прямые A 1 D и B 1 D перпендикулярны прямой C 1 C 2 . A 1 D и B 1 D имеют разные точки A 1 и B 1 , следовательно, не совпадают. Но через точку D прямой C 1 C 2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

Чем является высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию?

Чем является высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию?

Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является одновременно медианой треугольника(делит одну сторону треугольника — основание — пополам), биссектрисой угла из которого она проведена (биссектриса — линия делящая один угол на два равных), перпендикуляром к основанию, осью симметрии, так как относительно нее две части треугольника будут симметричны друг к другу.

Для равнобедренных треугольников (т. е. таких, в которых, как минимум, две стороны равны, а третья называется основанием) существует теорема, согласно которой

И ее доказательство позволяет сделать вывод, что в равнобедренном треугольнике биссектриса — она же высота и она же медиана.

А уже из этого вывода можно без труда «вытащить» и ответ на поставленный вопрос: раз биссектриса, проведенная к основанию, в таком треугольнике является и медианой и высотой (опять-таки проведенными к тому же основанию), то, соответственно, и высота, проведенная к основанию, будет одновременно являться и биссектрисой и медианой.

wiki. eduVdom. com

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Боковая панель

Геометрия:

Контакты

Свойства равнобедренного треугольника. Третий признак равенства треугольников.

Свойства равнобедренного треугольника выражают следующие теоремы.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Докажем одну из них, например теорему 2.5.

Доказательство. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием ВС и докажем, что ∠ В = ∠ С. Пусть AD — биссектриса треугольника ABC (рис.1). Треугольники ABD и ACD равны по первому признаку равенства треугольников (АВ = АС по условию, AD — общая сторона, ∠ 1 = ∠ 2, так как AD — биссектриса). Из равенства этих треугольников следует, что ∠ В = ∠ С. Теорема доказана.

С использованием теоремы 1 устанавливается следующая теорема.

Теорема 5. Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 2).

Замечание. Предложения, установленные в примерах 1 и 2, выражают свойства серединного перпендикуляра к отрезку. Из этих предложений следует, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Пример 1. Доказать, что точка плоскости, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Решение. Пусть точка М равноудалена от концов отрезка АВ (рис. 3), т. е. AM = ВМ.

Тогда Δ АМВ равнобедренный. Проведем через точку М и середину О отрезка АВ прямую р. Отрезок МО по построению есть медиана равнобедренного треугольника АМВ, а следовательно (теорема 3), и высота, т. е. прямая МО, есть серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

Пример 2. Доказать, что каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов.

Решение. Пусть р — серединный перпендикуляр к отрезку АВ и точка О — середина отрезка АВ (см. рис. 3).

Рассмотрим произвольную точку М, лежащую на прямой р. Проведем отрезки AM и ВМ. Треугольники АОМ и ВОМ равны, так как у них углы при вершине О прямые, катет ОМ общий, а катет ОА равен катету ОВ по условию. Из равенства треугольников АОМ и ВОМ следует, что AM = ВМ.

Пример 3. В треугольнике ABC (см. рис. 4) АВ = 10 см, ВС = 9 см, АС = 7 см; в треугольнике DEF DE = 7 см, EF = 10 см, FD = 9 см.

Сравнить треугольники ABC и DEF. Найти соответственно равные углы.

Решение. Данные треугольники равны по третьему признаку. Соответственно равные углы: А и Е (лежат против равных сторон ВС и FD), В и F (лежат против равных сторон АС и DE), С и D (лежат против равных сторон АВ и EF).

Пример 4. На рисунке 5 АВ = DC, ВС = AD, ∠B = 100°.

Решение. Рассмотрим треугольники ABC и ADC. Они равны по третьему признаку (АВ = DC, ВС = AD по условию и сторона АС — общая). Из равенства этих треугольников следует, что ∠ В = ∠ D, но угол В равен 100°, значит, и угол D равен 100°.

Пример 5. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°. Найдите величину угла ABC . Ответ дайте в градусах.