Видеоурок геометрия 8 класс синус косинус тангенс

В этом уроке мы познакомимся с такими понятиями, как синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике, выведем несколько тригонометрических формул, а также рассмотрим решение задачи.

Начертим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С.

Сторона треугольника АС является катетом, прилежащим к углу А, сторона ВС – катетом, противолежащим углу А, АВ – гипотенуза.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Обозначается sin A.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Обозначается: cos A.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Обозначается tg А.

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету. Обозначается сtg А.

Докажем, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы, косинусы и тангенсы этих углов равны.

В этом уроке мы познакомились с синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике, вывели тригонометрические формулы и решили задачу, используя полученные знания.

Косинус синус тангенс котангенс видеоурок 8 класс

В треугольнике ABC угол C равен 90°, АС = 4, Найдите АВ. Решение. .. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 6 и 10.. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен 21°.

§1. Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника

В этом уроке мы познакомимся с такими понятиями, как синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике, выведем несколько тригонометрических формул, а также рассмотрим решение задачи.

Начертим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С.

Сторона треугольника АС является катетом, прилежащим к углу А, сторона ВС – катетом, противолежащим углу А, АВ – гипотенуза.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Обозначается Sin A.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Обозначаетс я: Cos A.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Обозначается Tg А.

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету. Обозначается Сtg А.

Докажем, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы, косинусы и тангенсы этих углов равны.

§2. Решение задачи по теме урока

В этом уроке мы познакомились с синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике, вывели тригонометрические формулы и решили задачу, используя полученные знания.

1. Л. С. Атанасян. Учебник. 8 класс.

2. Н. Ф. Гаврилова. Поурочные разработки по геометрии. 8 класс. – Москва: «Вако», 2005.

3. Л. С. Атанасян и др. Методические рекомендации к учебнику. – Москва: «Просвещение», 2001.

4. Д. А. Мальцева. Математика. 9 класс. ГИА 2014. – Москва: Народное образование, 2013.

5.О. В. Белицкая. Геометрия. 8 класс. Тесты. – Саратов: «Лицей», 2009.

6.С. П. Бабенко, И. С. Маркова. Геометрия 8. Комплексная тетрадь для контроля знаний. – Москва: «Аркти», 2014.

Для визуально оформления использовались:

Подпишитесь на нашу рассылку.

Отправляя форму, подтверждаю ознакомление и согласие с Пользовательским соглашением полностью.

Спасибо, за подписку.

Мы выслали вам на email дальнейшие инструкции

Указанный email уже подписан на рассылку.

Выслать инструкции повторно?

All Rights Reserved.

All Rights Reserved.

Напишите нам.

Отправляя форму, подтверждаю ознакомление и согласие с Пользовательским соглашением полностью.

Косинус синус тангенс котангенс видеоурок 8 класс

Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается буквой С. Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается а. Угол обозначается соответствующей греческой буквой a.

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет, лежащий напротив угла, называется Противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет, который лежит на одной из сторон угла, называется Прилежащим.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему

Из определения синус, косинус, тангенс и котангенс угла прямоугольного треугольника получим следующие правила:

Катет, противолежащий острому углу a равен произведению гипотенузы на sina.

Катет, прилежащий острому углу a равен произведению гипотенузы на сosa.

Катет, противолежащий острому углу a равен произведению второго катета на tg a.

Используя эти тождества, можно находить неизвестные элементы прямоугольного треугольника.

8 класс. Алгебра. Квадратные корни

8 класс. Алгебра. Квадратичная функция

8 класс. Алгебра. Неравенство

8 класс. Алгебра. Первоначальное понятие о теории.

8 класс. Геометрия. Четырехугольники

8 класс. Геометрия. Соотношение между сторонами и.

8 класс. Геометрия. Прямоугольная система координа.

Косинус синус тангенс котангенс видеоурок 8 класс

§1. Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника

В этом уроке мы познакомимся с такими понятиями, как синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике, выведем несколько тригонометрических формул, а также рассмотрим решение задачи.

Начертим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С.

Сторона треугольника АС является катетом, прилежащим к углу А, сторона ВС – катетом, противолежащим углу А, АВ – гипотенуза.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Обозначается Sin A.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Обозначаетс я: Cos A.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Обозначается Tg А.

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету. Обозначается Сtg А.

Докажем, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы, косинусы и тангенсы этих углов равны.

§2. Решение задачи по теме урока

В этом уроке мы познакомились с синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике, вывели тригонометрические формулы и решили задачу, используя полученные знания.

1. Л. С. Атанасян. Учебник. 8 класс.

2. Н. Ф. Гаврилова. Поурочные разработки по геометрии. 8 класс. – Москва: «Вако», 2005.

3. Л. С. Атанасян и др. Методические рекомендации к учебнику. – Москва: «Просвещение», 2001.

4. Д. А. Мальцева. Математика. 9 класс. ГИА 2014. – Москва: Народное образование, 2013.

5.О. В. Белицкая. Геометрия. 8 класс. Тесты. – Саратов: «Лицей», 2009.

6.С. П. Бабенко, И. С. Маркова. Геометрия 8. Комплексная тетрадь для контроля знаний. – Москва: «Аркти», 2014.

Для визуально оформления использовались:

Подпишитесь на нашу рассылку.

Отправляя форму, подтверждаю ознакомление и согласие с Пользовательским соглашением полностью.

Спасибо, за подписку.

Мы выслали вам на email дальнейшие инструкции

Указанный email уже подписан на рассылку.

Выслать инструкции повторно?

All Rights Reserved.

All Rights Reserved.

Напишите нам.

Отправляя форму, подтверждаю ознакомление и согласие с Пользовательским соглашением полностью.

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы затронем изучение одного из важнейших разделов математики – тригонометрии. Тригонометрия является своеобразным мостиком между алгеброй и геометрией, поскольку в одинаковой степени важна и там, и там. На этом уроке мы начнём «строительство» этого мостика со стороны геометрии, то есть именно из того раздела математики, где впервые возникла задача, которая и привела к появлению тригонометрии. Чуть позже мы расширим понятие тригонометрических функций, а в старших классах узнаем об их «алгебраических корнях». Мы введём понятия синуса, косинуса и тангенса острого угла, изучим связь между этими величинами и докажем основное тригонометрическое тождество.

Если у вас возникнет сложность в понимании тему, рекомендуем посмотреть уроки:

Повторение основных понятий, связанных с прямоугольным треугольником

На этом уроке мы познакомимся с синусом, косинусом и тангенсом – тригонометрическими функциями, связывающими острый угол прямоугольного треугольника с катетами и гипотенузой этого треугольника. Это очень важные понятия, которые будут встречаться не только в геометрии, но и в алгебре, физике и во многих других науках.

Напомним основные сведения о прямоугольном треугольнике (см. Рис. 1).

– катеты; AB=c – гипотенуза.

Также в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна : .

Для прямоугольного треугольника также верна теорема Пифагора: .

Введём теперь понятие синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.

Определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника

Определение

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Определение

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе.

Определение

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета к прилежащему катету.

Связь катетов и гипотенузы, двух катетов через тригонометрические функции угла

С помощью введённых понятий можно находить катеты или гипотенузу.

Например, из формулы: . Аналогично: .

Также можно получить формулу для связи длин двух катетов: .

Связь синуса и косинуса двух острых углов прямоугольного треугольника

При решении задач очень важно знать соотношения между синусом, косинусом и тангенсом острого угла прямоугольного треугольника.

Рассмотрим следующие две формулы: . Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , то формула приобретает следующий вид:

Аналогично получаем: . Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , то формула приобретает следующий вид:

Формула, связывающая тангенс с синусом и косинусом

Докажем теперь важную формулу, связывающую тангенс с синусом и косинусом:

Доказательство независимости значения тригонометрических функций от размеров треугольника

Доказательство

Запишем определение синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника: , . Тогда: . Доказано.

Рассмотрим следующую важную задачу.

Задача

Даны прямоугольные треугольники . Кроме того, .

Доказать: .

Доказательство

(так как оба треугольника прямоугольные с равными острыми углами). Значит, выполняется следующее соотношение: .

Вывод: синус, косинус и тангенс не зависят от треугольника, а зависят только от угла.

Основное тригонометрическое тождество

Сформулируем и докажем одну из важнейших теорем, связывающих синус и косинус острого угла прямоугольного треугольника, – основное тригонометрическое тождество.

Основное тригонометрическое тождество: .

Доказательство

, тогда: (при доказательстве мы пользовались теоремой Пифагора: ).

Рассмотрим пример, иллюстрирующий связь тригонометрических функций.

Решение примера

Решение

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: . Подставим в него известное нам значение синуса: . Отсюда: . Так как косинус, по определению, – это отношение катета к гипотенузе, то он может быть только положительным, поэтому: .

Найдём теперь тангенс угла, пользуясь формулой: .

Ответ: .

На этом уроке мы рассмотрели понятия синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника, вывели некоторые их свойства и формулы связи между этими величинами. На следующем уроке мы познакомимся со значениями синуса, косинуса и тангенса для некоторых конкретных значений углов.

Список литературы

  1. Александров А. Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
  2. Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Прасолов В. В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
  3. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир С. М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

  1. № 133(а-г), 134(а-г), Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Прасолов В. В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
  2. Найдите синус, косинус и тангенс наименьшего угла египетского треугольника.
  3. Найдите косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника, синус которого равен .

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.