Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов

Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.

Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.

Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?

В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.

Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.

Вот еще две формулы для площади.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

— радиус окружности, вписанной в треугольник.

Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :

где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.

Для любого треугольника верна теорема синусов:

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .

Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что . Тогда .

В ответ запишем .

. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

По теореме синусов,

Получаем, что . Угол — тупой. Значит, он равен .

. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.

, где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем . Тогда .

Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания .

В треугольник вписан равнобедренный прямоугольный треугольник

В треугольник ABC вписан равнобедренный прямоугольный треугольник DEF так, что его гипотенуза DF параллельна стороне AC, авершина E лежит на стороне AC. Найдите высоту треугольника ABC, если AC=16см, DF=8см

  • Попроси больше объяснений
  • Следить
  • Отметить нарушение

Svetlova 01.06.2012

Ответы и объяснения

Если DF параллельна АС и равна половине АС, значит, DF — cредняя линия треугольника АВС.

Средняя линия отсекает подобный треугольник, площадь которого равна одной четверти от исходного.

Квадрат вписан в равнобедренный прямоугольный треугольник

В прямоугольном треугольнике высота проведенная к гипотенузе равна 12 см а проекция одного из катетов на гипотенузу 9 см. Найдите этот катет а также синус, косинус этого угла образованного эти катетом и гипотенузой. Ответ: CK перенд. AB, CK^2=AK*KB(свойство ). 144=9*KB. KB=16, AB=25,.

В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат таким образом, что одна его сторона лежит на гипотенузе, которая равна 12 см. Найдите периметр

АВС равнобедренный прямоугольный треугольник, В=90, ОРМН — квадрат, НМ лежит на АС, О на АВ, Р на ВС. ОН=АН (треуг АОН равнобедренный прямоугольный Н-90), ОН=АН=НМ=МС=12/3=4. Периметр=4*4=16 см

Другие вопросы из категории

2. Что такое периметр треугольника?

3. Какие треугольники называются равными?

4. Что такое теорема и доказательство теоремы?

5. Объясните, какой отрезок называется перпендикуляром, проведённым из данной точки к данной прямой.

6. Какой отрезок называется медианой треугольника? Сколько медиан имеет треугольник?

7. Какой отрезок называется биссектрисой треугольника? Сколько биссектрис имеет треугольник?

8. Какой отрезок называется высотой треугольника? Сколько высот имеет треугольник?

9. Какой треугольник называется равнобедренным?

10. Как называются стороны равнобедренного треугольника?

11. Какой треугольник называется равносторонним?

12. Сформулируйте свойство углов при основании равнобедренного треугольника.

13. Сформулируйте теорему о биссектрисе равнобедренного треугольника.

14. Сформулируйте первый признак равенства треугольников.

15. Сформулируйте второй признак равенства треугольников.

16. Сформулируйте третий признак равенства треугольников.

17. Дайте определение окружности.

18. Что такое центр окружности?

19. Что называется радиусом окружности?

20. Что называется диаметром окружности?

21. Что называется хордой окружности?

Читайте также

1)Найдите углы параллелограмма, если его неправильные углы относятся как 5:7

2)В параллелограмме АБСД биссектриса угла А пересекает продолжение ВС в точке Е. Найдите периметр параллелограмма, если ВЕ=16см, СЕ=5см

3)В равнобедренном прямоугольном треугольнике вписан квадрат таким образом, что одна его сторона лежит на гипотенузе, которая равна 12см. Найдите периметр квадрата.

4)В ромбе высота, проведенная из вершины тупого угла делит его сторону пополам. Найдите:а)углы ромба, б)его периметр, если меньшая диагональ равна 3,5см.

Периметр квадрата, если гипотенуза равна 8 см

Квадрат так, что две его вершины находятся на гипотенузе,

А другие две на катетах. Найти сторону квадрата, если

Известно, что гипотенуза равна 3м.

Треугольника, если сторона квадрата равна 2 сантиметра.

Треугольника. найти стороны ромба если длина катета равна (2+корень из 2)/5

Квадрат вписан в равнобедренный прямоугольный треугольник

В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат таким образом, что одна его сторона лежит на гипотенузе, которая равна 12 см. Найдите периметр

АВС равнобедренный прямоугольный треугольник, В=90, ОРМН — квадрат, НМ лежит на АС, О на АВ, Р на ВС. ОН=АН (треуг АОН равнобедренный прямоугольный Н-90), ОН=АН=НМ=МС=12/3=4. Периметр=4*4=16 см

Другие вопросы из категории

2. Что такое периметр треугольника?

3. Какие треугольники называются равными?

4. Что такое теорема и доказательство теоремы?

5. Объясните, какой отрезок называется перпендикуляром, проведённым из данной точки к данной прямой.

6. Какой отрезок называется медианой треугольника? Сколько медиан имеет треугольник?

7. Какой отрезок называется биссектрисой треугольника? Сколько биссектрис имеет треугольник?

8. Какой отрезок называется высотой треугольника? Сколько высот имеет треугольник?

9. Какой треугольник называется равнобедренным?

10. Как называются стороны равнобедренного треугольника?

11. Какой треугольник называется равносторонним?

12. Сформулируйте свойство углов при основании равнобедренного треугольника.

13. Сформулируйте теорему о биссектрисе равнобедренного треугольника.

14. Сформулируйте первый признак равенства треугольников.

15. Сформулируйте второй признак равенства треугольников.

16. Сформулируйте третий признак равенства треугольников.

17. Дайте определение окружности.

18. Что такое центр окружности?

19. Что называется радиусом окружности?

20. Что называется диаметром окружности?

21. Что называется хордой окружности?

Читайте также

1)Найдите углы параллелограмма, если его неправильные углы относятся как 5:7

2)В параллелограмме АБСД биссектриса угла А пересекает продолжение ВС в точке Е. Найдите периметр параллелограмма, если ВЕ=16см, СЕ=5см

3)В равнобедренном прямоугольном треугольнике вписан квадрат таким образом, что одна его сторона лежит на гипотенузе, которая равна 12см. Найдите периметр квадрата.

4)В ромбе высота, проведенная из вершины тупого угла делит его сторону пополам. Найдите:а)углы ромба, б)его периметр, если меньшая диагональ равна 3,5см.

Периметр квадрата, если гипотенуза равна 8 см

Квадрат так, что две его вершины находятся на гипотенузе,

А другие две на катетах. Найти сторону квадрата, если

Известно, что гипотенуза равна 3м.

Треугольника, если сторона квадрата равна 2 сантиметра.

Треугольника. найти стороны ромба если длина катета равна (2+корень из 2)/5

Квадрат вписан в равнобедренный прямоугольный треугольник

Квадрат вписан в равнобедренный прямоугольный треугольник

ЛЧБДТБФ ЧРЙУБО Ч ТБЧОПВЕДТЕООЩК РТСНПХЗПМШОЩК ФТЕХЗПМШОЙЛ, РТЙЮЈН ПДОБ ЧЕТЫЙОБ ЛЧБДТБФБ ТБУРПМПЦЕОБ ОБ ЗЙРПФЕОХЪЕ, РТПФЙЧПРПМПЦОБС ЕК ЧЕТЫЙОБ УПЧРБДБЕФ У ЧЕТЫЙОПК РТСНПЗП ХЗМБ ФТЕХЗПМШОЙЛБ, Б ПУФБМШОЩЕ МЕЦБФ ОБ ЛБФЕФБИ. оБКДЙФЕ УФПТПОХ ЛЧБДТБФБ, ЕУМЙ ЛБФЕФ ФТЕХЗПМШОЙЛБ ТБЧЕО A.

ФБЛЦЕ ДПУФХРОЩ ДПЛХНЕОФЩ Ч ЖПТНБФЕ TeX

РХУФШ ЧЕТЫЙОБ L ЛЧБДТБФБ CKLM МЕЦЙФ ОБ ЗЙРПФЕОХЪЕ AB РТСНПХЗПМШОПЗП ФТЕХЗПМШОЙЛБ ABC, Б ЧЕТЫЙОЩ K Й M УППФЧЕФУФЧЕООП ОБ ЛБФЕФБИ BC Й AC. фПЗДБ AML Й BKL – ФБЛЦЕ ТБЧОПВЕДТЕООЩЕ РТСНПХЗПМШОЩЕ ФТЕХЗПМШОЙЛЙ, РПЬФПНХ AM = ML = MC. уМЕДПЧБФЕМШОП, MC = ½ AC = A /2.