Вычисление площадей плоских фигур с помощью определённого интеграла

На данном уроке мы рассмотрим, каким образом с помощью определенного интеграла можно вычислять площадь плоских фигур, и решим несколько конкретных примеров.

1. Основная формула для вычисления площади плоских фигур с помощью определенного интеграла

Рассмотрим постановку задачи о площади криволинейной трапеции.

Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями (рис. 1).

Рис. 1. Площадь криволинейной трапеции

Как мы пытались ее решить:

Разбили отрезок на одинаковых отрезков, заменили искомую площадь площадью поступенчастой линии, легко ее сосчитали и получили приближенное решение нашей задачи. Далее устремили в пределе и

получили искомую площадь S. Ввели обозначение .

Это определенный интеграл. Вот таким образом мы пытались решить задачу. Мы знаем теперь, как приближенно ее решить, знаем обозначения для точного решения, но точного решения еще не знаем.

Затем мы получили точное решение задачи следующим образом: рис. 2:

Рис. 2. Функция S (x)

Ввели функцию . Каждому площадь под соответствующей частью кривой . Так, введенная функция удовлетворяет единственному закону, а именно:

Каждому соответствует единственное значение .

Мы доказали, что производная этой же функции и доказали, что точная площадь вычисляется следующим образом. Надо найти любую первообразную от функции и взять приращение этих первообразных. То есть взять первообразную в точке и отнять первообразную в точке . И в результате мы получили формулу, которой мы будем пользоваться для вычисления площадей.

2. Методика нахождения площади на примере

Методику нахождения площади рассмотрим сначала на относительно простом примере.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Вот искомая площадь:

Это общая формула. Конкретно к нашему случаю она применима так:

Вычислили площадь криволинейной фигуры.

В следующей задаче площадь искомой фигуры образовывается с помощью А именно:

3. Пример 2

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Посмотрим, как выглядит фигура (рис. 4).

Рис. 4. Фигура, ограниченная линиями

Формула та же самая:

В нашем случае . Итак, надо найти определенный интеграл

Искомая площадь найдена, и ответ получен.

4. Пример 3

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Рис. 5. Площадь фигуры, ограниченной линиями

Формула для площади та же самая:

В следующем примере ищется площадь под параболой.

5. Пример 4

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Схематически изобразим параболу Корни

Применим известную формулу

И применим ее для данной функции и пределов интегрирования

Искомая площадь найдена.

В предыдущих задачах площадь образовывалась с помощью разных кривых, но эта площадь находилась над осью . В следующей задаче наоборот.

6. Пример 5. Случай, если фигура находится под осью

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

Посмотрим, что это за фигура. График в пределах от Π до 2Π расположен под осью Ox (рис. 7).

Рис. 7. График в пределах от Π до 2Π

Ясно, что если возьмем определенный интеграл, то мы получим отрицательное число.

1. Сначала вычисляем определенный интеграл от π до 2π от подынтегральной функции

Надо найти первообразную.

По таблице первообразных: .

2. Для того чтобы найти площадь, надо взять модуль =2.

7. Пример. Общий случай для нахождения площади плоской фигуры, ограниченной двумя кривыми. Выводы

Следующее усложнение – искомая площадь расположена между двумя кривыми.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (рис. 8)

Рис. 8. Площадь фигуры, ограниченной линиями

Итак, площадь образуют 2 кривые, одна из них может находиться под осью .

Каким образом мы будем решать эту задачу?

Во-первых, мы можем сдвинуть фигуру на такое положительное , что площадь находится над осью . Рис. 9.

Рис. 9. Сдвиг фигуры

Затем мы возьмем соответствующий определенный интеграл и найдем площадь. Искомая площадь равна разности двух площадей.

Площадь под верхней кривой минус площадь под нижней кривой .

Каждую из площадей мы умеем находить.

Таким образом, в общем виде была поставлена задача, в общем виде получен ответ.

Обсудим и постановку задачи, и полученный важный результат.

Нам надо было найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Мы использовали известный прием: эту площадь подняли на некоторое , и это Так вот, эту площадь теперь можно считать без введения . Правило следующее:

Площадь фигуры, ограниченной прямыми линиями непрерывных на отрезке и таких, что для всех из отрезка вычисляется по формуле, которую мы вывели:

Рассмотрим первый конкретный пример на нахождение площади между двумя линиями.

8. Пример 6

Найти площадь фигуры, ограниченную линиями

Решение. Для начала построим графики этих линий и поймем, где та площадь, которую нам надо искать.

График квадратичной функции – парабола. Корни – 0, 4, ветви вниз. График

– биссектриса первого координатного угла. Вот площадь, которую надо найти:

Рис. 10. Искомая площадь

Но для этого сначала надо найти точки пересечения и решить стандартную задачу.

1. Находим точки пересечения. Для этого решаем систему: .

Отсюда получаем квадратное уравнение относительно :

Мы нашли , то есть, пределы интегрирования. Это первое важное действие.

Теперь стандартное действие:

Искомая площадь равна 4,5

9. Пример 7. Случай, когда часть площади плоской фигуры лежит под осью

Во втором примере часть площади находится под осью , но на методику это не влияет.

Итак, требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Сначала построим графики, посмотрим, какую площадь нам нужно найти. Рис. 11.

Первая функция – парабола, ветви вниз. График второй функции – прямая линия.

Есть две точки пересечения, их придется найти, а именно взять пределы интегрирования, и тогда будем решать задачу по знакомому нам плану.

Рис. 11. Площадь фигуры, ограниченной линиями

Первое действие – найти пределы интегрирования и второе – найти площадь.

Пределы интегрирования найдем из системы .

То есть, пределы интегрирования найдены.

Итак, мы показали, каким образом можно вычислять площади плоских фигур с помощью определенного интеграла.

Список литературы

Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Ru. scribd. com . Math4you. ru . Dok. opredelim. com .

Домашнее задание

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , , Найти площадь фигуры, ограниченной линиями Алгебра и начала анализа, Мордкович А. Г.: № 1030, 1033, 1037, 1038.

Вычисление с помощью определенного интеграла площади плоской фигуры

Таким образом, функция должна удовлетворять некоторым требованиям. В следующей теореме содержится один из вариантов достаточных условий для существования и единственности решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию .

Теорема 1. Пусть функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области D на плоскости хОу, точка .

Тогда в некотором интервале, содержащем х0 , существует, и притом единственное, решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Для продолжения скачивания необходимо собрать картинку:

Вычисление площадей плоских фигур с помощью интеграла

На этом уроке будем учиться вычислять площади плоских фигур, которые ограничены осью абсцисс ( Ox ), отрезками прямых x = a , x = b и графиком непрерывной и неотрицательной функции y = f(x) для значений «икса», принадлежащих отрезку [a, b] . Такая фигура называется криволинейной трапецией. Боковые отрезки могут вырождаться в точки.

Площадь s этой криволинейной трапеции может быть вычислена по формуле

Итак, определённый интеграл от неотрицательной непрерывной функции f(x) по [a, b] (график функции расположен выше оси Ox ) численно равен площади криволинейной трапеции с основанием [a, b] , ограниченной сверху графиком функции y = f(x) . В этом заключается геометрический смысл определённого интеграла. Рисунки таких фигур — в примерах.

Если же f(x) ≤ 0 (график функции расположен ниже оси Ox ), то площадь криволинейной трапеции может быть вычислена по формуле

Есть ещё случаи, когда и верхняя, и нижняя границы фигуры — функции, соответственно y = f(x) и y = φ(x) , то площадь такой фигуры вычисляется по формуле

Таким образом, вычисление площадей плоских фигур — одна из важнейших прикладных задач, в которой определённый интеграл находит наиболее плодотворное применение. Все мы изучали сведения из элементарной геометрии, которые позволяют вычислять площади прямолинейных фигур — прямоугольников, треугольников и многоугольников. Что же касается криволинейных фигур, то здесь для нахождения площади средств из элементарной геометрии уже недостаточно. Итак, к делу. Учимся применять то, что изложено в самом верху этой статьи.

Начнём со случаев, когда площадь фигуры может быть вычислена по формуле (1).

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции , осью абсцисс ( Ox ) и прямыми x = 1 , x = 3 .

Решение. Так как y = 1/x > 0 на отрезке [1; 3] , то площадь криволинейной трапеции находим по формуле (1):

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции , прямой x = 1 и осью абсцисс ( Ox ).

Решение. Результат применения формулы (1):

Если то s = 1/2 ; если то s = 1/3 , и т. д.

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции , осью абсцисс ( Ox ) и прямой x = 4 .

Решение. Фигура, соответствующая условию задачи — криволинейная трапеция, у которой левый отрезок выродился в точку. Пределами интегрирования служат 0 и 4. Поскольку , по формуле (1) находим площадь криволинейной трапеции:

Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , и находящейся в 1-й четверти.

Решение. Чтобы воспользоваться формулой (1), представим площадь фигуры, заданной условиями примера, в виде суммы площадей треугольника OAB и криволинейной трапеции ABC . При вычислении площади треугольника OAB пределами интегрирования служат абсциссы точек O и A, а для фигуры ABC — абсциссы точек A и C (A является точкой пересечения прямой OA и параболы, а C — точкой пересечения параболы с осью Ox ). Решая совместно (как систему) уравнения прямой и параболы, получим (абсциссу точки A) и (абсциссу другой точки пересечения прямой и параболы, которая для решения не нужна). Аналогично получим , (абсциссы точек C и D). Теперь у нас еть всё для нахождения площади фигуры. Находим:

Пример 5. Найти площадь криволинейной трапеции ACDB , если уравнение кривой CD и абсциссы A и B соответственно 1 и 2.

Решение. Выразим данное уравнение кривой через игрек: Площадь криволинейной трапеции находим по формуле (1):

Переходим к случаям, когда площадь фигуры может быть вычислена по формуле (2).

Пример 6. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой и осью абсцисс ( Ox ).

Решение. Данная фигура расположена ниже оси абсцисс. Поэтому для вычисления её площади воспользуемся формулой (2). Пределами интегрирования являются абсциссы и точек пересечения параболы с осью Ox . Следовательно,

Пример 7. Найти площадь, заключённую между осью абсцисс ( Ox ) и двумя соседними волнами синусоиды.

Решение. Площадь данной фигуры можем найти по формуле (2):

Найдём отдельно каждое слагаемое:

Окончательно находим площадь:

Пример 8. Найти площадь фигуры, заключённой между параболой и кривой .

Решение. Выразим уравнения линий через игрек:

Площадь по формуле (2) получим как

где a и b — абсциссы точек A и B. Найдём их, решая совместно уравнения:

Окончательно находим площадь:

И, наконец, случаи, когда площадь фигуры может быть вычислена по формуле (3). Первый из этих примеров предлагается решить самостоятельно, а затем можно посмотреть правильное решение.

Пример 9. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций и .

Пример 10. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций , и прямыми и .

Решение. Так как на отрезке [0, 2] , то, используя для нахождения площади формулу (3), получим

Пример 11. Найти площадь фигуры, заключённой между параболами и .

Решение. Требуется вычислить площадь фигуры AmBn , у которой боковые отрезки выродились в точки A и B пересечения парабол. Решая совместно (как систему) уравнения парабол, находим их абсциссы: и . На отрезке [-1, 5] получаем . Следовательно, по формуле (3) находим площадь фигуры:

Пример 12. Найти площадь фигуры, заключённой между параболой и прямой .

Решение. Находим абсциссы точек пересечения параболы и прямой: и . Так как на отрезке [0, 4] , то по формуле (3) находим площадь фигуры: