Вычислить площадь фигуры ПРИМЕРЫ

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

Находим точки пересечения заданных линий. Для этого решаем систему уравнений:

Для нахождения абсцисс точек пересечения заданных линий решаем уравнение:

Итак, данные линии, представляющие собой параболу и прямую, пересекаются в точках A(-2; 0), B(4; 6).

Эти линии образуют замкнутую фигуру, площадь которой вычисляем по указанной выше формуле:

По формуле Ньютона-Лейбница находим:

Найти площадь области, ограниченной эллипсом .

Из уравнения эллипса для I квадранта имеем . Отсюда по формуле получаем

Применим подстановку x = a sin t, dx = a cos t dt. Новые пределы интегрирования t = α и t = β определяются из уравнений 0 = a sin t, a = a sin t. Можно положить α = 0 и β = π/2.

Находим одну четвертую искомой площади

Найдем точки пересечения линий y = —x 2 + x + 4, y = —x + 1, приравнивая ординаты линий: —x 2 + x + 4 = —x + 1 или x 2 — 2x — 3 = 0. Находим корни x1 = -1, x2 = 3 и соответствующие им ординаты y1 = 2, y2 = -2.

По формуле площади фигуры получаем

Решая систему уравнений

находим абсциссы точек пересечения x1 = -2 и x2 = 1.

Полагая y2 = 3 — x и y1 = x 2 + 1, на основании формулы получаем

В полярной системе координат площадь фигуры, ограниченной дугой кривой r = f(φ) и двумя полярными радиусами φ1 = ʅ и φ2 = ʆ, выразится интегралом

В силу симметрии кривой определяем сначала одну четвертую искомой площади

Следовательно, вся площадь равна S = a 2 .

Запишем уравнение астроиды в виде

Отсюда получаем параметрические уравнения астроиды

Ввиду симметрии кривой (*) достаточно найти одну четвертую часть длины дуги L, соответствующую изменению параметра t от 0 до π/2.

Интегрируя полученное выражение в пределах от 0 до π/2, получаем

Решим систему уравнений

и получим x1 = 0, x2 = 1, y1 = 0, y2 = 1, откуда точки пересечения кривых O(0; 0), B(1; 1). Как видно на рисунке, искомый объем тела вращения равен разности двух объемов, образованных вращением вокруг оси Ox криволинейных трапеций OCBA и ODBA:

а) На отрезке [0, π] функция sin x сохраняет знак, и поэтому по формуле , полагая y = sin x, находим

б) На отрезке [0, 2π], функция sin x меняет знак. Для корректного решения задачи, необходимо отрезок [0, 2π] разделить на два [0, π] и [π, 2π], в каждом из которых функция сохраняет знак.

По правилу знаков, на отрезке [π, 2π] площадь берется со знаком минус.

В итоге, искомая площадь равна

Определить объем тела, ограниченного поверхностью, полученной от вращения эллипса вокруг большой оси a.

Учитывая, что эллипс симметричен относительно осей координат, то достаточно найти объем, образованный вращением вокруг оси Oxплощади OAB, равной одной четверти площади эллипса, и полученный результат удвоить.

Обозначим объем тела вращения через Vx; тогда на основании формулы имеем , где 0 и a — абсциссы точек B и A. Из уравнения эллипса находим . Отсюда

Таким образом, искомый объем равен . (При вращении эллипса вокруг малой оси b, объем тела равен )

Сначала найдем координаты точек пересечения парабол, чтобы определить отрезок интегрирования. Преобразуя исходные уравнения, получаем и . Приравнивая эти значения, получим или x 4 — 8p 3 x = 0.

Находим корни уравнений:

Учитывая то факт, что точка A пересечения парабол находится в первой четверти, то пределы интегрирования x = 0 и x = 2p.

Вычисление площади фигуры, ограниченной параметрически заданной кривой.

При выяснении геометрического смысла определенного интеграла, мы получили формулу для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох , прямыми x=a, x=b и непрерывной неотрицательной (неположительной) функцией y=f(x) . В некоторых случаях функцию, которая ограничивает фигуру, удобно задать в параметрическом виде, то есть, представить функциональную зависимость через параметр t . В этой статье мы разберемся, как находить площадь фигуры в случае параметрического задания ограничивающей кривой.

После краткого обзора теории и вывода формулы, мы подробно рассмотрим решение характерных примеров на нахождение площади фигуры, ограниченной параметрически заданной линией.

Навигация по странице.

Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной параметрически заданной линией.

Пусть границами криволинейной трапеции являются прямые x=a, x=b , ось абсцисс и параметрически заданная кривая , причем функции и непрерывны на интервале , монотонно возрастает на нем и .

Тогда площадь криволинейной трапеции находится по формуле .

Эта формула получается из формулы площади криволинейной трапеции подстановкой :

Если функция является монотонно убывающей на интервале , то формула примет вид .

Если функция не является основной элементарной, то для выяснения ее возрастания или убывания может потребоваться теория из раздела возрастание и убывание функции на интервале.

Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной параметрически заданной кривой.

Рассмотрим примеры применения полученной формулы, позволяющей вычислять площади фигур, ограниченных параметрически заданными линиями.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией, параметрические уравнения которой имеют вид .

В нашем примере параметрически заданная линия представляет собой эллипс с полуосями 2 и 3 единицы. Построим его.

Найдем площадь четверти эллипса, расположенной в первом квадранте. Эта область лежит в интервале . Площадь всей фигуры вычислим, умножив полученное значение на четыре.

Для k = 0 получаем интервал . На этом интервале функция монотонно убывающая (смотрите раздел основные элементарные функции, их свойства и графики). Применяем формулу для вычисления площади и определенный интеграл находим по формуле Ньютона-Лейбница:

Таким образом, площадь исходной фигуры равна .

Возникает логичный вопрос: почему мы брали четверть эллипса, а не половину? Можно было рассмотреть верхнюю (или нижнюю) половину фигуры. Она находится на интервале . Для этого случая мы бы получили

То есть, для k = 0 получаем интервал . На этом интервале функция монотонно убывающая.

Тогда площадь половины эллипса находится как

А вот правую или левую половины эллипса взять не получится.

Параметрическое представление эллипса с центром в начале координат и полуосями a и b имеет вид . Если действовать так же, как и в разобранном примере, то получим формулу для вычисления площади эллипса .

Окружность с центром в начале координат радиуса R через параметр t задается системой уравнений . Если воспользоваться полученной формулой площади эллипса, то сразу можно записать формулу для нахождения площади круга радиуса R : .

Решим еще один пример.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрически .

Забегая немного вперед, кривая является «вытянутой» астроидой. (Астроида имеет следующее параметрическое представление ).

Остановимся подробно на построении кривой, ограничивающей фигуру. Строить ее мы будем по точкам. Обычно такого построения достаточно для решения большинства задач. В более сложных случаях, несомненно, потребуется детальное исследование параметрически заданной функции с помощью дифференциального исчисления.

В нашем примере .

Эти функции определены для всех действительных значений параметра t , причем, из свойств синуса и косинуса мы знаем, что они периодические с периодом два пи. Таким образом, вычисляя значения функций для некоторых (например ), получим набор точек .

Для удобства занесем значения в таблицу:

Отмечаем точки на плоскости и ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО соединяем их линией.

Вычислим площадь области, расположенной в первой координатной четверти. Для этой области .

При k=0 получаем интервал , на котором функция монотонно убывает. Применяем формулу для нахождения площади:

Полученные определенные интегралы вычислим по формуле Ньютона-Лейбница, а первообразные для формулы Ньютона-Лейбница найдем с помощью рекуррентной формулы вида , где .

Следовательно, площадь четверти фигуры равна , тогда площадь всей фигуры равна .

Аналогично можно показать, что площадь астроиды находится как , а площадь фигуры, ограниченной линией , вычисляется по формуле .

Как вычислить площадь фигуры и объём тела вращения,
если линия задана параметрически?

На занятиях Вычисление площади с помощью определённого интеграла и Объем тела вращения мы рассмотрели два самых важных приложения определённого интеграла, в которых демонстрационная криволинейная трапеция ограничена осью абсцисс, отрезками прямых и графиком функции , которая непрерывна и не меняет знак на отрезке «а-бэ». Но в некоторых практических заданиях функция может быть задана в параметрическом виде , и наша сегодняшняя задача – научиться считать площадь и объем, если вышла такая незадача =) Понятие параметрической формы я достаточно подробно раскрыл в статье о производной параметрически заданной функции, и в курсе аналитической геометрии на уроках об уравнении прямой на плоскости и уравнениях прямой в пространстве.

Встречайте старую знакомую:

Рассмотрим ситуацию, когда эта же функция задана в параметрическом виде .

Как найти площадь в этом случае?

При некотором вполне конкретном значении параметра параметрические уравнения будут определять координаты точки , а при другом вполне конкретном значении – координаты точки . Когда «тэ» изменяется от до включительно, параметрические уравнения как раз и «прорисовывают» кривую . Думаю, на счёт пределов интегрирования стало всё понятно. Теперь в интеграл вместо «икса» и «игрека» подставляем функции и раскрываем дифференциал:

Примечание: подразумевается, что функции непрерывны на промежутке интегрирования и, кроме того, функция монотонна на нём.

Формула объёма тела вращения получается так же просто:

Объём тела, получаемого вращением криволинейной трапеции вокруг оси , рассчитывается по формуле или: . Подставляем в неё параметрические функции , а также пределы интегрирования :

Пожалуйста, занесите обе рабочие формулы в свой справочник.

По моим наблюдениям, задачи на нахождение объёма встречаются довольно редко, и поэтому значительная часть примеров данного урока будет посвящена нахождению площади. Не откладываем дело в долгий ящик:

Вычислить площадь криволинейной трапеции , если

Решение: используем формулу .

Сначала найдём производную. Дифференцирование осуществляется, само собой, по переменной «тэ», для краткости записи я не буду рисовать подстрочный индекс:
.

Ответ:

И сразу проанализируем важный вопрос:

Нужно ли в рассматриваемом типе задач выполнять чертёж?

Отвечу так: если повезёт с заданием, то можно и не выполнять. Как, например, в только что решенном примере, где само условие «заточено» под формулу, и чертёж с фигурой, площадь которой необходимо рассчитать, по существу, и не нужен.

Однако даже в очень простых случаях нас могут поджидать неожиданные сюрпризы. Так… сейчас придумаю что-нибудь… вот: вычислить площадь криволинейной трапеции , давайте с теми же пределами изменения параметра «тэ» от 1 до 4.

Найдём производную:
Площадь:

Но площадь не может быть отрицательной! Где ошибка?

В подобной ситуации, прежде всего, нужно проверить само решение. Выполняем тщательную проверку и убеждаемся, что с техникой всё в порядке. А может быть фигура расположена под осью , и поэтому изначально следовало поставить знак «минус» перед интегралом? Анализируем функцию , «отвечающую за игреки». Нет – она вообще неотрицательна при любом допустимом значении параметра, а значит, фигура расположена выше оси абсцисс. Так почему же площадь получилась со знаком «минус»?!

Разгадка в следующем: параметр «тэ» изменяется в пределах , но при его увеличении функция убывает. Что это значит геометрически? Это значит, что мы двигаемся по оси влево, и соответственно, параметрические уравнения «прочерчивают» линию справа налево. Но площадь криволинейной трапеции традиционно рассчитывается слева направо! Отсюда и «минус».

В этой связи корректное решение оформляется примерно так: «нижнему пределу интегрирования соответствует значение , а верхнему пределу интегрирования – значение , таким образом: ». Здесь мы «заставили убывать сам параметр», чтобы интегрирование проходило в «правильном» направлении.

Но на практике распространён и другой вариант: перед исходным интегралом изначально ставится «минус»: с предварительным комментарием, что функция убывает на промежутке (а то и без всяких пояснений ;-)).

Как видите, даже в таком простом примере волей-неволей пришлось прибегнуть к анализу (пусть и устному) геометрической информации, а во многих случаях без чертежа и вовсе обойтись очень трудно. Но беда в том, что изобразить график функции, заданной параметрически, не так-то просто и не так-то быстро, поэтому я рекомендую пользоваться программными средствами, например, моим графопостроителем.

Классическая задача по теме, которая разбирается всегда и везде:

Вычислить площадь эллипса

Решение: для определённости полагаем, что параметрические уравнения задают канонический эллипс с центром в начале координат, большой полуосью «а» и малой полуосью «бэ». То есть, по условию нам предложено не что иное, как

найти площадь эллипса

Очевидно, что параметрические функции периодичны, и . Казалось бы, можно заряжать формулу, однако не всё так прозрачно. Выясним направление, в котором параметрические уравнения «вычерчивают» эллипс. В качестве ориентира найдём несколько точек, которые соответствуют наиболее простым значениям параметра:

Легко уловить, что при изменении параметра «тэ» от нуля до «двух пи» параметрические уравнения «вычерчивают» эллипс против часовой стрелки:

Как я уже советовал на уроке Площадь в полярных координатах, учетверить результат лучше сразу же:

Интеграл (если у кого-то вдруг обнаружился такой невероятный пробел) разобран на уроке Интегралы от тригонометрических функций.

Ответ:

По сути, мы вывели формулу для нахождения площади эллипса. И если на практике вам встретится задача с конкретными значениями «а» и «бэ», то вы легко сможете выполнить сверку/проверку, поскольку задача решена в общем виде.

Площадь эллипса рассчитывается и в прямоугольных координатах, для этого из уравнения необходимо выразить «игрек» и решить задачу точь-в-точь по образцу Примера №4 статьи Эффективные методы решения определённых интегралов. Обязательно посмотрите на этот пример и сравните, насколько проще вычислить площадь эллипса, если он задан параметрически.

И, конечно же, чуть не забыл, параметрические уравнения могут задавать окружность либо эллипс в неканоническом положении.

Вычислить площадь одной арки циклоиды

Чтобы решить задачу, нужно знать, что такое циклоида или хотя бы чисто формально выполнить чертеж. Примерный образец оформления в конце урока. Впрочем, не буду вас отправлять за тридевять земель, на график этой линии можно посмотреть в следующей задаче:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями

Решение: параметрические уравнения задают циклоиду, и ограничение указывает на тот факт, что речь идёт о её первой арке, которая «прорисовывается», когда значение параметра изменяется в пределах . Заметьте, что здесь «правильное» направление этой «прорисовки» (слева направо), а значит, не возникнет заморочек с пределами интегрирования. Но зато появится куча других прикольных вещей =) Уравнение задаёт прямую, параллельную оси абсцисс и дополнительное условие (см. линейные неравенства) сообщает нам о том, что нужно вычислить площадь следующей фигуры:

Искомую заштрихованную фигуру я буду ассоциативно называть «крышей дома», прямоугольник – «стеной дома», а всю конструкцию (стена + крыша) – «фасадом дома». Хотя это сооружение больше напоминает какой-то коровник =)

Чтобы найти площадь «крыши» необходимо из площади «фасада» вычесть площадь «стены».

Сначала займёмся «фасадом». Для нахождения его площади нужно выяснить значения , которые задают точки пересечения прямой с первой аркой циклоиды (точки и ). В параметрическое уравнение подставим :

Тригонометрическое уравнение легко решить, банально взглянув на график косинуса: на промежутке равенству удовлетворяют два корня: . В принципе, всё понятно, но, тем не менее, перестрахуемся и подставим их в уравнение :

– это «иксовая» координата точки ;

– а это «иксовая» координата точки .

Таким образом, мы убедились в том, что значение параметра соответствует точке , а значение – точке .

Вычислим площадь «фасада». Для более компактной записи функция часто дифференцируется прямо под интегралом:

Площадь «стены» можно вычислить «школьным» методом, перемножив длины смежных сторон прямоугольника. Длина очевидна, осталось найти . Она рассчитывается как разность «иксовых» координат точек «цэ» и «бэ» (найдены ранее):

Разумеется, её не стыдно найти и с помощью простейшего определённого интеграла от функции на отрезке :

В результате, площадь «крыши»:

Ответ:

И, конечно же, при наличии чертежа прикидываем по клеточкам, похож ли полученный результат на правду. Похож.

Следующая задача для самостоятельного решения:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями

Кратко систематизируем алгоритм решения:

– В большинстве случаев придётся выполнить чертёж и определить фигуру, площадь которой требуется найти.

– На втором шаге следует понять, каким образом рассчитывается искомая площадь: это может быть одиночная криволинейная трапеция, может быть разность площадей, может быть сумма площадей – короче говоря, все те фишки, которые мы рассматривали на уроке Вычисление площади с помощью определённого интеграла.

– На третьем шаге надо проанализировать, целесообразно ли пользоваться симметрией фигуры (если она симметрична), после чего узнать пределы интегрирования (начальное и конечное значение параметра). Обычно для этого необходимо решить простейшее тригонометрическое уравнение – здесь можно использовать аналитический метод, графический метод или бесхитростный подбор нужных корней по тригонометрической таблице.

! Не забываем, что параметрические уравнения могут «прорисовывать» линию и справа налево, в этом случае делаем соответствующую оговорку и поправку в рабочей формуле.

– И на завершающем этапе проводятся технические вычисления. Правдоподобность полученного ответа всегда приятно оценить по чертежу.

А сейчас долгожданная встреча со звёздой:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями

Решение: кривая, заданная уравнениями является астроидой, и линейное неравенство однозначно определяет заштрихованную на чертеже фигуру:

Найдём значения параметра, которые определяют точки пересечения прямой и астроиды. Для этого подставим в параметрическое уравнение :

Способы решения подобного уравнения уже перечислены выше, в частности, эти корни легко подбираются по тригонометрической таблице.

Фигура симметрична относительно оси абсцисс, поэтому вычислим верхнюю половинку площади (синяя штриховка), а результат удвоим.

Подставим значение в параметрическое уравнение :
В результате получена «игрековая» координата верхней (нужной нам) точки пересечения астроиды и прямой.

Правой вершине астроиды, очевидно, соответствует значение . Выполним на всякий случай проверку:
, что и требовалось проверить.

Как и в случае с эллипсом, параметрические уравнения «прорисовывают» дугу астроиды справа налево. Для разнообразия оформлю концовку вторым способом: при изменении параметра в пределах функция убывает, следовательно (не забываем удвоить!!):

Интеграл получился довольно громоздкий, и чтобы «не таскать всё за собой» тут лучше прервать решение и преобразовать подынтегральную функцию отдельно. Стандартно понижаем степень с помощью тригонометрических формул:

Ответ:

Да, тяжеловато приходится со звёздами =)

Следующее задание для продвинутых студентов:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями

Для его решения будет достаточно материалов, которые мы уже рассмотрели, но привычный путь весьма долог, и сейчас я расскажу ещё об одном эффективном методе. Идея на самом деле знакома из урока Вычисление площади с помощью определённого интеграла – это интегрирование по переменной «игрек» и использование формулы . Подставляя в неё параметрические функции , получаем зеркальную рабочую формулу:

Действительно, ну а чем она хуже «стандартной»? В этом состоит ещё одно преимущество параметрической формы – уравнения способны исполнять роль не только «обычной» , но одновременно и обратной функции .

В данном случае предполагается, что функции непрерывны на промежутке интегрирования и функция монотонна на нём. Причём, если убывает на промежутке интегрирования (параметрические уравнения «прорисовывают» график «в противоход» (внимание!!) оси ), то следует по уже рассмотренной технологии переставить пределы интегрирования либо изначально поставить «минус» перед интегралом.

Решение и ответ Примера №7 в конце урока.

Заключительный мини-раздел посвящен более редкой задаче:

Как найти объем тела вращения,
если фигура ограничена параметрически заданной линией?

Актуализируем формулу, выведенную в начале урока: . Общая методика решения точно такая же, как и при нахождении площади. Выдерну немногочисленные задачи из своей копилки:

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной линией , если .

Решение: всё подано в лучшем виде, осталось не оплошать в вычислениях:

Ответ:

Теперь ваш черёд:

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси эллипса

Данная поверхность вращения называется эллипсоидом вращения или сфероидом.
А в случае равенства получится в точности сфера и, соответственно, объём ограниченного ей шара. Кстати, объём данного тела вращения довольно легко вычислить и в декартовых координатах, поскольку подынтегральная функция в формуле ликвидирует квадратный корень. Желающие могут выразить «игрек» из уравнения и решить задание вторым способом.

Помимо простейших примеров вполне могут встретиться задачи, где придётся выполнить чертёж и находить объём тела вращения как разность объемов тел вращения (или наоборот, сумму), то есть использовать уже знакомые из статьи Объем тела вращения приёмы. Кроме того, по аналогии с предыдущим параграфом, легко вывести вторую формулу: , с помощью которой рассчитывается объём тела вращения вокруг оси ординат. Но вероятность встретить такие вещи крайне мала, по крайне мере, лично я не припоминаю, что решал такие задания – вся надежда на вас =)

Решения и ответы:

Пример 3: Решение: вычислим площадь первой арки циклоиды. Значение параметра изменяется в пределах .
Найдём производную: .
По формуле:

Ответ:

Пример 5: Решение: уравнения задают окружность с центром в начале координат, радиуса . Уравнение определяет прямую, параллельную оси ординат. Поскольку , то необходимо вычислить площадь заштрихованной на чертеже фигуры:

Найдём пределы изменения параметра, для этого подставим в параметрическое уравнение :

Пример 7: Решение: выполним чертёж:

Фигура симметрична относительно оси ординат, вычислим часть площади в правой полуплоскости, результат удвоим. Найдём значения параметра, при которых эллипс пересекается с прямой . Для этого подставим в параметрическое уравнение :

(решения быстро отыскиваются по графику синуса либо тригонометрической таблице).
Подставим в параметрическое уравнение :
– таким образом, значение задаёт правую (нужную нам) точку (поскольку получена именно её «иксовая» координата).
Проверим, что очевидное значение задаёт верхнюю точку:
, что и требовалось проверить.
По формуле:

Примечание: в данном случае при изменении параметра от до направление «прорисовки» дуги совпадает с направлением оси ординат (так как растёт), поэтому дополнительного вопроса с модификацией формулы не возникло.
Ответ:

Пример 9: Решение: в силу симметрии эллипса, вычислим объём тела вращения в правой полуплоскости, результат удвоим. При изменении параметра в пределах функция убывает, поэтому:

Ответ: