Высота равнобедренного треугольника

Равнобедренным треугольником называется такой треугольник, у которого две из трех сторон равны между собой. Равные стороны считаются боковыми сторонами а, а третья сторона в называется основанием равнобедренного треугольника.

Соответственно, в таком треугольнике можно провести три высоты, две из которых будут равны между собой, аналогично сторонам — это высоты, опущенные на боковую сторону треугольника а, а третья высота опускается на основание. Высота треугольника проводится из угла треугольника к противолежащей стороне под прямым углом. Большинство задач с высотой треугольника решаются через прямоугольные треугольники, которые она образует.

Рассмотрим каждый случай по отдельности.

Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, обладает рядом индивидуальных свойств, присущих только ей и не распространяющихся на другие высоты в таком треугольнике. В частности, высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, совпадает с медианой и биссектрисой, проведенным к основанию, следовательно, она не только образует прямой угол с основанием, но и делит его на две равные части, как медиана, и аналогично делит угол пополам, как биссектриса. В итоге, высота является своеобразной осью симметрии треугольника и разделяет его на два конгруэнтных прямоугольных треугольника. В таком треугольнике высота является катетом, и чтобы найти ее длину необходимо соотнести стороны равнобедренного треугольника со сторонами прямоугольного. Боковая сторона равнобедренного треугольника становится гипотенузой, а чтобы определить второй катет, основание равнобедренного треугольника нужно разделить пополам, по свойству медианы.

Длина высоты равнобедренного треугольника равна по теореме Пифагора квадратному корню из суммы квадрата боковой стороны равнобедренного треугольника и четверти квадрата основания равнобедренного треугольника:

Второй случай, когда условиями задачи нужно найти высоту, опущенную на боковую сторону равнобедренного треугольника, раскрывается проще всего через площадь треугольника.

Площадь любого треугольника можно найти несколькими способами — например, через три стороны треугольника по формуле Герона, или через высоту, умножив ее на половину стороны, на которую она опущена. И тем, и другим способом получаются одинаковые значения площади, следовательно обе эти формулы можно друг к другу приравнять и отсюда вывести окончательную формулу высоты, опущенную на боковую сторону равнобедренного треугольника.

Формула Герона для равнобедренного треугольника будет иметь несколько упрошенный вид за счет того, что значения боковых сторон повторяются:

Площадь равнобедренного треугольника через высоту, опущенную к боковой стороне

Эту же формулу можно применять для нахождения любой высоты в равнобедренном треугольнике, если поменять в формуле соответствующие стороны местами.

Формула высоты равнобедренного треугольника через боковую сторону и угол при основании α: h=a sin⁡α

Формула через боковую сторону и угол напротив основания β:

Формула через основание и угол при нем α:

через основание и угол противолежащий ему β:

Найдите длину высоты проведённой к боковой стороне равнобедренного треугольника со сторона и 20,20,32

вопрос опубликован 21.01.2017 05:15:56

А = b = 20
c = 32
h — ?
Решение
1. Найдём площадь треугольника по формуле Герона
S = √ p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c )
где р — полупериметр
p = (a + b + c)/2
p = (20 + 20 + 32)/2 = 36
S = √(36 * (36 — 20) * (36 — 20) * (36 — 32)) = 192

Если сомневаешься в правильности ответа или его просто нет, то попробуй воспользоваться поиском на сайте и найти похожие вопросы по предмету Математика либо задай свой вопрос и получи ответ в течении нескольких минут.

Высоты равнобедренного треугольника к боковым сторонам

Свойство высот равнобедренного треугольника, проведенных из вершин при основании.

Высоты равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны.

AP и BH — высоты.

Рассмотрим треугольники ACP и BCH.

1) AC=BC (по условию (как боковые стороны равнобедренного треугольника))

∠ APC= ∠ BHC=90º (так как AP и BH — высоты (по условию)).

Сумма углов треугольника равна 180º .

В треугольнике ACP

∠ CAP=180º — ( ∠ APC+ ∠ C)=180º — 90º — ∠ C=90º — ∠ C.

В треугольнике BCH

∠ CBH=180º — ( ∠ BHC+ ∠ C)=180º — 90º — ∠ C=90º — ∠ C.

Следовательно, треугольники ACP и BCH равны

(по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AP=BH.

Что и требовалось доказать.

Если в треугольнике два угла раны, то этот треугольник — равнобедренный (по признаку).

Если в треугольнике две стороны равны, то этот треугольник — равнобедренный (по определению).

Высоты, проведенные из равных углов треугольника, равны.

Высоты, проведенные к равным сторонам треугольника, равны.

Вместо треугольников ACP и BCH можно было доказать равенство треугольников ABP и BAH.

2 Comments

Но требуют доказать без использования теоремы о сумме углов треугольника в 180 град.

Как вариант, можно использовать признаки равенства прямоугольных треугольников. Треугольники ACP и BCH — прямоугольные: ∠APC=∠BHC=90º (так как AP и BH высоты (по условию). ∆ACP=∆BCH по гипотенузе и острому углу (AC=BC (по условию, как боковые стороны равнобедренного треугольника), ∠C — общий). Следовательно, их соответствующие катеты равны: AP=BH.