Wiki. eduVdom. com

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Боковая панель

Геометрия:

Контакты

Признаки параллельности двух прямых. Свойства параллельных прямых

Признаки параллельности двух прямых

Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей:

прямые параллельны (рис.1).

Доказательство. Ограничимся доказательством случая 1.

Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ накрест лежащие углы равны. Например, ∠ 4 = ∠ 6. Докажем, что а || b.

Предположим, что прямые а и b не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М и, следовательно, один из углов 4 или 6 будет внешним углом треугольника АВМ. Пусть для определенности ∠ 4 — внешний угол треугольника АВМ, а ∠ 6 — внутренний. Из теоремы о внешнем угле треугольника следует, что ∠ 4 больше ∠ 6, а это противоречит условию, значит, прямые а и 6 не могут пересекаться, поэтому они параллельны.

Следствие 1 . Две различные прямые на плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны (рис.2).

Замечание. Способ, которым мы только что доказали случай 1 теоремы 1, называется методом доказательства от противного или приведением к нелепости. Первое название этот способ получил потому, что в начале рассуждения делается предположение, противное (противоположное) тому, что требуется доказать. Приведением к нелепости он называется вследствие того, что, рассуждая на основании сделанного предположения, мы приходим к нелепому выводу (к абсурду). Получение такого вывода заставляет нас отвергнуть сделанное вначале допущение и принять то, которое требовалось доказать.

Задача 1. Построить прямую, проходящую через данную точку М и параллельную данной прямой а, не проходящей через точку М.

Решение. Проводим через точку М прямую р перпендикулярно прямой а (рис. 3).

Затем проводим через точку М прямую b перпендикулярно прямой р. Прямая b параллельна прямой а согласно следствию из теоремы 1.

Из рассмотренной задачи следует важный вывод:
через точку, не лежащую на данной прямой, всегда можно провести прямую, параллельную данной.

Основное свойство параллельных прямых состоит в следующем.

Аксиома параллельных прямых. Через данную точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Рассмотрим некоторые свойства параллельных прямых, которые следуют из этой аксиомы.

1) Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую (рис.4).

2) Если две различные прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (рис.5).

Справедлива и следующая теорема.

Теорема 2. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то:

Следствие 2. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой (см. рис.2).

Замечание. Теорема 2 называется обратной теореме 1. Заключение теоремы 1 является условием теоремы 2. А условие теоремы 1 является заключением теоремы 2. Не всякая теорема имеет обратную, т. е. если данная теорема верна, то обратная теорема может быть неверна.

Поясним это на примере теоремы о вертикальных углах. Эту теорему можно сформулировать так: если два угла вертикальные, то они равны. Обратная ей теорема была бы такой: если два угла равны, то они вертикальные. А это, конечно, неверно. Два равных угла вовсе не обязаны быть вертикальными.

Пример 1. Две параллельные прямые пересечены третьей. Известно, что разность двух внутренних односторонних углов равна 30°. Найти эти углы.

Решение. Пусть условию отвечает рисунок 6.

Углы 1 и 2 внутренние односторонние, их сумма равна 180°, т. е.
∠ l + ∠ 2 = 180°. (1)

Обозначим градусную меру угла 1 через х. По условию ∠ 2 — х = 30°, или ∠ 2 = 30° + x.

Подставим в равенство (1) значения углов 1 и 2, получим
х + 30° + х = 180°.

Решая это уравнение, получим х = 75°, т. е.
∠ 1 = 75°, a ∠ 2 = 180° — 75° = 105°.

Пример 2. Две параллельные прямые пересечены третьей. Известно, что сумма двух внутренних накрест лежащих углов равна 150°. Чему равны эти углы и остальные шесть?

Решение. Пусть условию задачи соответствует рисунок 7.

Углы 1 и 2 внутренние накрест лежащие, следовательно, они равны. Сумма этих углов по условию задачи равна 150°, тогда ∠ 1 = ∠ 2 = 75°.

Найдем остальные углы (рис. 8):

∠ 1 = ∠ 3 = 75° и ∠ 2 = ∠ 7 = 75° (вертикальные). Углы 4 и 5, 6 и 8 равны как вертикальные, a ∠ 5 = ∠ 6 как внутренние накрест лежащие. Все перечисленные углы 4, 5, 6 и 8 равны между собой и равны по 105°, так как ∠ 4 + ∠ 3 = 180°, a ∠ 4 = 180° — ∠ 3.

Получили четыре угла по 75°, четыре угла по 105°.

Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей: а) соответственны?? углы равны ; б) Сумма односторонних углов равна 180 градусов

? углы равны ; б) Сумма односторонних углов равна 180 градусов

Вот что откапала в интернете:))) Дано: а, b, c — секущие; угол 1+ угол 4 = 180 градусов. Доказать: А//B ( параллельны). Доказательство: угол 1+ угол 4= 180 градусов; так как угорл 3 и угол 4 — смежные, то угол 3+ угол4= 180 градусов, угол 1 и угол 3- накрест лежащие; угол 1= углу 3 — следовательно А//B. а) Доказательство: Пусть при пересечении прямых а и б секущей ссоответственные углы равны, например угол 1 = углу 2 . Так как углы 2 и 3 — вертикальные, то угол 2 = углу 3. Из этих двух равенств следует, что угол 1 = углу 3. Но углы 1 и 3 — накрест лежащие, поэтому прямые а и б параллельны.

доказать что при пересечении двух параллельных прямых секущей соответственные углы равны

Пусь прямые параллельные А и В пересечены секуещей С. Докажем, что соотственные углы, например 1 и 2 равны. Так как А параллельна В, то накрест лежащие углы 1 и 3 равны. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Из равенств угол 1 = 3 и 2 = 3 следует что, угол 1 = 2.

Доказательство: Пусть при пересечении прямых а и б секущей с соответственные углы равны, например угол 1 = углу 2 . Так как углы 2 и 3 — вертикальные, то угол 2 = углу 3. Из этих двух равенств следует, что угол 1 = углу 3. Но углы 1 и 3 — накрест лежащие, поэтому прямые а и б параллельны.

Другие вопросы из категории

Если не трудно, нарисуйте и прикрепите фото, пожалуйста

градусов=. градусов, так как сумма углов. равна. градусов.2.треугольник ABE — прямоугольный с острым углом А, равным. поэтому BE=. =. см.3.Площадь ABCD=. *. =см

Читайте также

10. Теорема о сумме односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей.
11. Признаки параллельности прямых (доказательство для случая, когда две прямые параллельны третьей). Сформулировать и доказать следствия из аксиомы параллельных прямых

АВС угол С=90гр., угол А=60гр.,АВ=32см. Найдите АС.

3.Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллениных прямых а и в секущей с, если один из углов равен 60гр.

4.В треуг. АВС угол А=углуВ=45гр. и АВ=19см. Найдите расстояние от точки С до прямой АВ.

2)Что такое секущая? Назовите пары углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей.
3)Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
4)Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
5)Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 градусам, то прямые параллельны.
6)Расскажите о практических способах проведения параллельных прямых.
7)Объясните, какие утверждения называются аксиомами. Приведите примеры аксиом.
8)Докажите, что через данную точку, не лежащую на данной прямой , проходит прямая, параллельная данной.
9)Сформулируйте аксиому параллельных прямых.
11)Докажите, что если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
13)Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны.
14)Докажите, что если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.
15)Докажите, что при пересечении двух прямых параллельных прямых секущей: а) соответственно углы равны; б)сумма односторонних углов равна 180 градусам.

параллельных прямых секущей равна 150 градусов. Чему равны эти углы? Вот вторая: Разность двух внутренних односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 50 градусов. Найти эти углы.

подсказать , что эта за тест ? Учительница сказала , ток эту задачу , но будут еще в этом тесте , умоляю