Задача 25 из тренировочной работы №1 в формате ГИА 2013

Рассмотрим задание 25 из второй части ТР №1 в формате ГИА от 1 октября 2013 года.

В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°. Докажите, что точки A , C, центр описанной окружности треугольника ABC и точка пересечения высот треугольника ABC лежат на одной окружности.

Вокруг любого треугольника, в том числе вокруг , всегда можно описать окружность. Значит, нам остается доказать лишь тот факт, что точка пересечения высот треугольника , точка , также попадает на окружность, описанную около треугольника .

Заметим, что для вписанного в окружность (описанную около треугольника ) угла соответствующим центральным углом является угол . Так как по условию, то по свойству вписанного угла.

Далее, из прямоугольного треугольника (так как ), а значит, из прямоугольного треугольника .

Углы и – смежные, следовательно их сумма равна , а значит, .

В отношении точки у нас три ситуации:

(1): точка лежит на окружности, описанной около треугольника ;

(2): точка лежит внутри окружности, описанной около треугольника ;

(3): точка лежит вне окружности, описанной около треугольника ;

Рассмотрим ситуацию (2).

В этом случае угол (где – точка пересечения прямой с окружностью), как опирающийся на ту же дугу , что и вписанный угол , равен . Тогда угол , как внешний угол треугольника , больше (ведь внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним). То есть мы пришли к противоречию. Ситуация (2) невозможна.

Рассмотрим ситуацию (3).

В этом случае угол (где – точка пересечения прямой с окружностью), как опирающийся на ту же дугу , что и вписанный угол , равен . Тогда угол , как внешний угол треугольника , больше угла внутреннего угла треугольника (не смежного с внешним углом). То есть угол меньше , – мы пришли к противоречию. Ситуация (3) невозможна.

Значит, остается единственно возможной ситуация (1), когда точка лежит на окружности, описанной около треугольника . А это нам и нужно!

Итак, все четыре точки лежат на одной окружности.

Что и требовалось доказать.

Задача для самостоятельной проработки:

В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60° . Докажите, что точки A, C, центр описанной окружности треугольника ABC и центр вписанной

окружности треугольника ABC лежат на одной окружности.

В остроугольном треугольнике авс угол в равен 60 докажите что точки а с

29 января Новый сервис учителю: работа над ошибками кратко / полно

25 января Открыли новый раздел Итоговое собеседование
авторские материалы Т. Н. Стаценко (Кубань)

25 января Проверьте! Кнопка «Русский язык» в верхнем меню работает в двух режимах.

Наша группа Вконтакте
Мобильные приложения:

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC угол B равен 60°. Докажите, что точки A, C, центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC и точка пе­ре­се­че­ния высот тре­уголь­ни­ка ABC лежат на одной окружности.

Обозначим центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC через O, а точку пе­ре­се­че­ния высот через H. Тогда и Таким образом, точки A, C, O и H лежат на одной окружности.

Подготовка к ОГЭ по математике. Решение задачи 25. Задача про остроугольный треугольник.

Условие задачи: В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°. Докажите, что точки A, C, центр описанной окружности треугольника ABC и точка пересечения высот треугольника ABC лежат на одной окружности.

Будем рады, если Вы поделитесь ссылкой на этот видеоурок с друзьями!

Если Вы создаёте авторские видеоуроки для школьников и учителей и готовы опубликовать их, то просим Вас связаться с администратором портала.

© 2007 — 2018 Сообщество учителей-предметников «Учительский портал»
Свидетельство о регистрации СМИ: Эл № ФС77-64383 выдано 31.12.2015 г. Роскомнадзором.
Территория распространения: Российская Федерация, зарубежные страны.
Учредитель: Никитенко Евгений Игоревич

Использование материалов сайта возможно только с разрешения администрации портала.

Ответственность за разрешение любых спорных вопросов, касающихся опубликованных материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте.
Администрация портала готова оказать поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта.