Задача 4545 Найдите все значения а, при каждом из

Найдите все значения а, при каждом из которых наибольшее значение функции f(x) = |х-а|-х^2 не меньше 1.

РЕШЕНИЕ ОТ cnlex ✪ ЛУЧШЕЕ РЕШЕНИЕ

Пусть x-a>0, т. е. x>a, тогда f(x)=x-a-х^2. Производная f'(x)=1-2x. f'(x)=0 при x=1/2. f(1/2)=1/2-a-1/4=1/4-a.
f(1/2)>=1 при 1/4-a>=1 -> a<=-3/4. Итак, при a<=-3/4 есть точка x=1/2 (которая удовлетворяет условию x-a>0), что f(x)>=1.
Аналогично рассматриваем симметричный случай, когда x-a<0.
Если x=a, то f(x)=-x^2<=0<1.
Ответ: a принадлежит (-00;-3/4]U[3/4;+00).

Найти все значения а при каждом из которых наибольшее значение функции

Найдите все значения при каждом из которых наименьшее значение функции

1. При функция имеет вид:

а её график представляет собой часть параболы с ветвями, направленными вниз.

При функция имеет вид:

а ее график состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх и осью симметрии

2. Если принадлежит отрезку то наименьшее значение функция может принимать только в точках и Если — то в точке

3. Наименьшее значение функции больше тогда и только тогда, когда либо

Решим первую систему:

Решим вторую систему:

в первой системе должно быть не 3-2а, а 2а+3 —это координата вершины первой параболы, у которой ветви вниз

Екатерина, нет. Это координата вершины параболы, у которой ветви вверх. В этом идея решения. Если эта вершина присутствует на графике, то минимум именно в ней, а если эта вершина «исчезает» с графика (из-за модуля), то минимальные значения могут быть в точках х=1 и х=5

я согласен с Екатериной

у вас получается что обе параболы имеют одну и ту же икс вершину

А я по-прежнему не согласен с Екатериной.

У нас речь идет о вершине только одной параболы, у которой ветви вверх. О вершине второй параболы речи нет вообще.

От­ку­да вы взяли ко­рень из 29 ? Это число ранее нигде не упо­ми­на­лось.

из решения неравенства

При решении неравенства f(3-2a) нужно раскрыть скобки и решить неравенство относительно а. Нельзя решать уравнение относительно 3-2а, так как при этом переменную выражаем через переменную. Тем более нельзя сводить данное неравенство к неравенству «дискриминант

Найдите все значения при каждом из которых наименьшее значение функции

1. При функция имеет вид:

а её график представляет собой часть параболы с ветвями, направленными вниз.

При функция имеет вид:

а ее график состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх и осью симметрии

2. Если принадлежит отрезку то наименьшее значение функция может принимать только в точках и Если — то еще и в точке

3. Наименьшее значение функции больше тогда и только тогда, когда либо

Решим первую систему:

Решим вторую систему:

Найти все значения параметра при каждом из которых среди значений функции есть ровно одно целое число.

Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Уравнение при любом имеет решение Значит, при любом одно из значений функции равно 1.

Поскольку функция непрерывна, множество её значений образует промежуток, включающий число 1. Других целых значений функции нет, если для всех

Чтобы неравенства выполнялись для всех дискриминанты обоих трёхчленов должны быть отрицательны:

Таким образом, подходящие значения параметра

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество значений функции содержит отрезок

Запишем функцию в виде

Отрезок содержится в множестве значений данной функции тогда и только тогда, когда уравнения и имеют решения.

Решим первое уравнение. Уравнение имеет решение при любом

Решим второе уравнение. Уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен:

Мне кажется, следует объяснить, почему из существования значений функции, равных 0 и 1, следует существование и промежуточных значений.

Я бы, скажем, предложил сделать оговорку, что в матанализе есть такая умная теорема Больцано-Коши, которая утверждает, что если непрерывная функция принимает значения A и B, то для любого значения C, лежащего между A и B, найдется точка x, такая что f(x)=C.

А потом сказать, что мы эту теорему в школе не доказываем. Однако интуитивно справедливость теоремы и так понятна. И приложить схематический рисунок, как непрерывная функция принимает все промежуточные значения.

А наша функция как раз непрерывна, так как знаменатель >0

Найдите все такие значения параметра , при каждом из которых уравнение имеет хотя бы одно решение.

Решение 1. Положим где так как

Тогда, исходное уравнение принимает вид Найдем множество значений функции на отрезке [0; 2]. Так как на промежутке [0; 2), то функция убывает на отрезке [0; 2], и, следовательно, множество ее значений на отрезке [0; 2] ― отрезок т. е. отрезок Таким образом, уравнение имеет решения тогда и только тогда, когда выполняются условия

Решение 2. Положим где так как и рассмотрим функцию Так как ее производная на промежутке [0; 2), то функция убывает на отрезке [0; 2], и, значит, имеет на нем не более одного корня. Этот корень есть тогда и только тогда, когда одновременно выполняются два условия и Таким образом, приходим к системе

Решение 3 (Указание). Построить эскиз графика функции на отрезке [0; 2] (см. решение 1) и исследовать взаимное расположение графика этой функции и прямой

Найдите все значения а, при каждом из которых множество значений функции содержит промежуток При каждом таком а укажите множество значений функции

1. Поскольку знаменатель функции не имеет корней, то функция непрерывна. Это означает, что

множество значений функции будет содержать промежуток тогда и только тогда, когда уравнения и будут иметь решения. Рассмотрим эти уравнения.

Полученное уравнение имеет решения при выполнении одного условия: четверть его дискриминанта обязана быть неотрицательной.

Итак, ответ на первую часть: промежуток содержится во множестве значений функции при единственном значении параметра, равном 9.

2. Для ответа на второй вопрос задачи найдем наибольшее и наименьшее значения функции Для этого рассмотрим данное равенство как уравнение с переменной х и параметром — обозначив последнее за f.

Для того чтобы это уравнение имело решения, необходимо и достаточно выполнение условия: его дискриминант обязан быть неотрицательным:

Ответ: при множество значений будет

График функции пересекает ось ординат в точке А и имеет ровно две общие точки M и N с осью абсцисс. Прямая, касающаяся этого графика в точке M, проходит через точку А. Найдите а, b и с, если площадь треугольника AMN равна 1.

Пусть точки x1 и x2 — абсциссы точек N и M соответственно (см. рис.)

Очевидно, что выполняются равенства:

Из последнего равенства:

Так как график функции f(x) имеет ровно две общие точки с осью абсцисс, то либо x1, либо x2 будет корнем кратности 2. Корень x2 таковым быть не может, ибо в противном случает касательная к графику функции f(x) в точке M была бы параллельной оси Ох или совпасть с ней, что исключает прохождение этой касательной через точку А. Следовательно, корнем кратности 2 является корень x1.

Значит, Но тогда:

Теперь составим уравнение касательной к графику функции в точке (x2; 0). Это уравнение имеет вид: или где

Итак, уравнение касательной:

По условию задачи известно, что та же касательная проходит через точку A(0; c). Значит, координаты точки А удовлетворяют полученному уравнению. Тогда имеем:

Но в соответствии с равенством (*) получим:

Это — с одной стороны. С другой стороны, как было показано выше: a = −2x1x2, следовательно,

Теперь используем ранее полученные равенства: и

Из последнего равенства ясно, что x1 > 0. Коли это так, то: Но тогда:

Найдите все значения параметра a, при которых функция

является возрастающей на всей числовой прямой и при этом не имеет критических точек.

Возьмем производную этой функции (она должна быть всюду положительна).

Это неравенство должно выполняться при всех t из отрезка

Если то неравенство не выполняется, например, при

Если то при всех t из отрезка и поэтому нужно, чтобы

Если то при всех t из отрезка и поэтому нужно, чтобы

Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции на отрезке [−1; 3] не меньшее, чем −5.

Потребовать, чтобы наименьшее значение функции было не меньше чем −5 это все равно что потребовать, чтобы все ее значения были не меньше чем −5. То есть неравенство должно выполняться на всем промежутке То есть

Теперь заметим, что и наоборот — достаточно чтобы эти неравенства выполнялись в нескольких точках, если только одна из них (можно не выяснять какая) будет точкой с наименьшим значением. Поскольку квадратный трехчлен с положительным старшим коэффициентом на любом отрезке принимает наименьшее значение либо в абсциссе вершины параболы — его графика (если эта точка лежит на отрезке) либо в одном из концов отрезка (если не лежит), то нужно проверить следующие неравенства

при то есть при (нас не интересует, поскольку уже установлено что

при то есть при (то есть это обязательно надо проверить, при указанная точка точно лежит на интересующем нас отрезке).

Итак, совмещая все ограничения, получаем

Найдите все а, при каждом из которых функция

будет убывающей на всей области определения.

Заметим, что эта функция определена на всей вещественной оси, то есть непрерывна. Преобразуем ее

Очевидно, при имеем то есть имеет горизонтальную асимптоту y = – 12. Тогда для убывания функции необходимо, чтобы при и при но это невозможно для убывающей непрерывной функции.

Ответ: ни при каких.

Примечание. В оригинале вопрос про функцию В этом случае даже целую часть не надо выделять — на минус бесконечности график функции приближается к оси абсцисс сверху, а на плюс бесконечности — снизу. Убывающая функция так себя вести не может.

Найти все значения параметра при каждом из которых наименьшее значение функции на отрезке принимает наименьшее значение.

Наименьшее значение эта функция принимает либо в нулях производной, либо в одном из концов отрезка. Найдем производную:

поэтому нули производной равны

Если то производная имеет вид корни производной суть числа 0 и −1. Отрезок становится отрезком [0; 1], на нем функция f возрастает. Наименьшее значение достигается на левой границе отрезка. (*)

Если то а не лежит на отрезке В этом случае имеем следующее расположение знаков производной:

Наименьшего значения функция достигает либо на левой границе отрезка, либо в точке (**)

Если то производная имеет вид Отрезок становится отрезком на нем функция лежит единственный корень производной — число 0. Это точка максимума, поэтому наименьшее значение достигается или на левой границе отрезка, или на правой границе. Эти значения равны, будем считать, что наименьшее значение достигается на левой границе (***).

Объединяя случаи (*), (**) и (***) получаем, что если то ее наименьшее значение равно наименьшему из значений и Имеем:

Рассмотрим разность найденных значений на отрезке

Если то а не лежит на указанном отрезке. Рассуждая аналогично, находим, что если то функция убывает на и на Проведя аналогичные вычисления, можно получить, что ее наименьшее значение равно

Осталось исследовать наименьшие значения (1) и (2) на соответствующих отрезках и найти наименьшее из них. Однако поскольку при замене функции переходят друг в друга, достаточно будет исследовать одну из них. Иными словами, поскольку для всех α из отрезка верно равенство достаточно найти наименьшее значение функции на промежутке

Исследуем производную функции на интервале

Решениями уравнения являются числа и На интервале значения тангенса положительны и меньше 1, поэтому в него входит только корень

На интервале производная отрицательна, на интервале положительна. Следовательно, функция убывает на отрезке и возрастает на отрезке Поэтому наименьшее значение на отрезке достигается в точке Такое же наименьшее значение принимает и в точке принадлежащей отрезку

Итак, наименьшее значение достигается в точках и

Примечение РЕШУ ЕГЭ.

Это задание из вступительного экзамена в Московский государственный университет несколько сложнее других.

Видеорешение задания С5 (№20) из ДЕМО варианта ЕГЭ 2014

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №18»

Смотрите также разбор С1(№15), С2(№16), С3(№17), С4(№18), С6(№21) из демонстрационного варианта ЕГЭ на 2014 год.

Видеоразбор заданий части С из демонстрационной версии ЕГЭ 2014.

Задание С5.Параметр

Приглашаю посмотреть видеорешение следующей задачи:

Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции больше 1.

Аналогичное задание для самостоятельной проработки:

Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции больше 1.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя: