Задача 7106 В прямоугольном параллелепипеде

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 найдите угол между плоскостью AA1C и прямой A1B, если AA1=3, AB=4, BC=4

РЕШЕНИЕ ОТ slava191 ✪ ЛУЧШЕЕ РЕШЕНИЕ

Добавил MaksimKudryavcev , просмотры: ☺ 9119 ⌚ 23.02.2016. математика 10-11 класс

Геометрическая задача на определение угла между прямой и плоскостью в прямоугольном параллелепипеде

В прямоугольном параллелепипеде найдите угол между прямой и плоскостью , если , , .

Решение задачи

Данный урок показывает, как определить угол между заданными прямой и плоскостью в прямоугольном параллелепипеде. Прежде, чем начать решение задачи, необходимо определить, какими прямыми будет образован данный угол, и провести необходимые построения. Следует учесть, что в данной задаче по начальным условиям получается, что в основании параллелепипеда лежит квадрат, а это очень облегчает решение задача – ведь диагонали квадрата перпендикулярны. Учитывая, что угол между прямой и плоскостью – это угол между наклонной и ее проекцией на данную плоскость, получаем, что угол, который необходимо найти, представляет собой угол между диагональю боковой грани и прямой, соединяющей вершину одного основания с центром второго основания. Используя исходные данные по теореме Пифагора легко определить длину боковой диагонали, по той же теореме Пифагора, через половину диагонали основания и высоту параллелепипеда находится длина проекции. Учитывая, что построенный треугольник для нахождения угла прямоугольный – угол найдем через тригонометрическую функцию – синус – отношение противолежащего катета к гипотенузе. Так как табличного значения в данном случае не получилось, то для определения угла используем арксинус. Ответ получен.

Решение данной задачи рекомендовано для учащихся 10-х классов при изучении тем «Перпендикулярность прямых и плоскостей» («Признак перпендикулярности прямой и плоскости», «Расстояние от точки до плоскости. Теорема и трех перпендикулярах»), «Многогранники» («Многогранники. Призма. Задач на призму»). При подготовке к ЕГЭ урок рекомендован при повторении тем «Перпендикулярность прямых и плоскостей», «Многогранники».

В прямоугольном параллелепипеде авсда1в1с1д1 найдите угол между плоскостью

26 июняНовые варианты прошедших ЕГЭ по математике: здесь.

5 июня Наши мобильные приложения могут работать оффлайн.
Андроид iOS

− Учитель Думбадзе В. А.
из школы 162 Кировского района Петербурга.

Наша группа ВКонтакте
Мобильные приложения:

В прямоугольном треугольнике D1C1 C находим:

В прямоугольном треугольнике BCC1 находим: BC1 = 17.

В прямоугольном треугольнике C1HB находим:

Найдем угол между прямой EF и плоскостью BB1C1C. Точка B — проекция точки E на эту плоскость. Искомый угол есть

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны рёбра: SC = 29. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины рёбер AS и BC.

Пусть и — середины рёбер и соответственно. Прямая проектируется на плоскость основания в прямую Поэтому проекция точки — точка — лежит на отрезке Значит, прямая является проекцией прямой следовательно, угол — искомый. Заметим, что где — центр основания, значит, — средняя линия треугольника а поэтому — середина

Тогда и Из прямоугольного треугольника находим:

Из прямоугольного треугольника находим: Значит, искомый угол равен

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра SC = 25. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и BC.

Пусть и — середины ребер и соответственно. — медиана правильного треугольника следовательно, находится по формуле Прямая проецируется на плоскость основания и прямую Поэтому проекция точки — точка — лежит на отрезке Значит, прямая является проекцией прямой следовательно, угол — искомый.

где — центр основания, значит, — средняя линия треугольника поэтому Тогда и Из прямоугольного треугольника находим:

Из прямоугольного треугольника находим:

Значит, искомый угол равен

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, у которого AA1 = 3, AD = 8, AB = 6, найдите угол между плоскостью ADD1 и прямой EF, проходящей через середины рёбер AB и B1C1.

Найдём угол между прямой и плоскостью которая параллельна плоскости Точка — проекция точки на эту плоскость. Искомый угол равен углу Найдём тангенс угла

Найдём угол между прямой и плоскостью грани которая параллельна плоскости Точка — проекция точки на эту плоскость. Искомый угол равен углу Найдём тангенс угла

Из точки B проведём перпендикуляр к — проекция на плоскость Значит, нужно найти угол В прямоугольном треугольнике находим: В прямоугольном треугольнике находим: В прямоугольном треугольнике находим:

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра SC = 17. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и BC.

Пусть и — середины ребер и соответственно. — медиана правильного треугольника следовательно, находится по формуле Прямая проецируется на плоскость основания и прямую Поэтому проекция точки — точка — лежит на отрезке Значит, прямая является проекцией прямой следовательно, угол — искомый.

где — центр основания, значит, — средняя линия треугольника поэтому Тогда и Из прямоугольного треугольника находим: