Задача 7905 Укажите номера верных утверждений

Укажите номера верных утверждений.

1) Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Поэтому утверждение неверное.
2) В тупоугольном треугольнике против тупого угла лежит большая сторона (по теореме о неравенстве треугольника). Утверждение верное.
3) Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна радиусу окружности, описанной около этого треугольника (по свойству прямоугольного треугольника). Утверждение верное.

SBP-Program

получайте знания здесь

Подобные треугольники

Что такое подобные треугольники?

Подобные треугольники определение

Подобные треугольники определение:

На рисунке изображены два подобных треугольника, у них углы соответственно равны, т. е. угол A равен углу A1, угол B равен углу B1, угол C равен углу C1.

Сходственные стороны треугольников

Сходственные стороны треугольников пропорциональны:

здесь k называется коэффициентом подобия.

Отношение площадей подобных треугольников

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

Отношение периметров подобных треугольников

Отношение периметров подобных треугольников:

Докажем это утверждение. Пусть имеются два подобных треугольника ABC и A1B1C1. По определению подобных треугольников их сходственные стороны пропорциональны:

Периметр треугольника ABC равен сумме длин его трёх сторон:

Сумма в скобках в правой части равенства представляет собой периметр треугольника A1B1C1. Разделим обе части равенства на периметр A1B1 + B1C1 + A1C1. Получаем:

что и требовалось доказать. Итак, отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Для установления факта подобия двух треугольников используют признаки подобия треугольников:

А). периметры подобных треугольников относятся как коэффициент подобия

Б). площади подобных треугольников относятся как коэффициент подобия в квадрате.

Формулы площадей треугольника

1). Равносторонний треугольник

S = a – сторона треугольника

h = h – высота треугольника

2). Прямоугольный треугольник

S = a b a, b – катеты треугольника

3). Разносторонний треугольник

S = a h a – сторона треугольника

h – высота, проведенная к этой стороне

S = a b sin ά a, b – стороны треугольника

ά — угол между этими сторонами

S = a, b, c – стороны треугольника

p – полупериметр; p = (a + b + c)

S = a, b, c – стороны треугольника

R – радиус описанной окружности

S = P r P – периметр треугольника

r – радиус вписанной окружности

Решение треугольников.

1). Теорема синусов:

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности.

2). Теорема косинусов:

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Прямоугольные треугольники.

Решение прямоугольного треугольника

2). Опорные прямоугольные треугольники

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Два прямоугольных треугольника равны, если у них равны:

А). катет и гипотенуза

Б). гипотенуза и острый угол

Соотношение в прямоугольном треугольнике

Описанные и вписанные треугольники

1). Положения центра окружности.

а). Центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения биссектрис треугольника.

Радиус вписанной окружности – перпендикуляр, опущенный из этой точки на сторону треугольника.

б). Центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника.

Радиус описанной окружности – отрезок, соединяющий центр окружности с вершиной треугольника

в). В равностороннем треугольнике центр вписанной и описанной окружностей совпадают .

Формулы радиусов окружности

а). равносторонний треугольник б). прямоугольный треугольник

в). разносторонний треугольник

Опорные задачи.

1). Свойство медианы в прямоугольном треугольнике:

Медиана в прямоугольном треугольнике равна половине гипотенузы.

CM = AB или CM = AM = MB

2). Свойство высоты в равнобедренном прямоугольном треугольнике: