Задача ЕГЭ 2018: теория вероятностей — . сумма и произведение событий

Задание по теории вероятностей в ЕГЭ по математике впервые появилось в 2012 году. С тех пор число и разнообразие прототипов, опубликованных на сайте ФИПИ, значительно возросло. Появились задачи на сумму и произведение событий, на условную вероятность. Но если Вы еще не решали задания, в которых используются только определение вероятности и элементы комбинаторики для подсчёта вариантов, обязательно сделайте это. Иначе решение более сложных заданий окажется бесполезным.

В демонстрационных вариантах ЕГЭ 2018 года они могут встретиться под номером 10 для базового уровня и под номером 4 для профильного уровня.

Задачи на правила сложения и умножения вероятностей.

Правило умножения вероятностей: если A и В независимые события, то вероятность одновременного наступления обоих событий А и В, равна произведению их вероятностей.

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B)

Правило умножения вероятностей для зависимых событий: вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло.

P(A·B) = P(A) · P(B/A)

Пример 1

Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

0,4·0,1 + 0,6·0,8 = 0,04 + 0,48 = 0,52.

Мы получили ответ, а заодно вывели формулу полной вероятности для группы из двух событий. Только последнее для нас не главное, для этого типа задач вообще формулы не главное. Гораздо важнее понять и хорошо сформулировать событие, о котором спрашивается в условии задачи. Математически наше решение выглядит следующим образом.

Решение

Обозначим события: A — «Джон промахнулся»; B — «попадание в муху»; С1 — «выстрел из пристрелянного пистолета»; С2 — «выстрел из непристрелянного пистолета».
Тогда искомая вероятность события А определяется по формуле

Находим вероятности составляющих событий так, как это было описано выше:
P(С1) = 0,4; P(С2) = 0,6; P( B − /С1) = 0,1; P( B − /С2) = 0,8 и подставляем их в формулу.

P(A) = 0,4·0,1 + 0,6·0,8 = 0,04 + 0,48 = 0,52.

Замечания. В формуле для P(A) правило сложения записано в простой форме — для несовместимых событий, поскольку пистолет не мог быть одновременно пристрелянным и непристрелянным, а правило умножения в сложной форме — с учетом условной вероятности, поскольку «попадание в муху» зависело от выбора пистолета. Символом B − , как обычно, обозначено событие противоположное событию В, т. е. «не попадание в муху».

Теперь проверьте себя.

Задача 1

На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Используем правило сложения, поскольку «вопрос по одной из этих двух тем» означает, что ИЛИ на тему «Вписанная окружность», ИЛИ на тему «Параллелограмм». Причем правило используем в простой форме, потому что события несовместимы. В условии об этом прямо сказано — вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет.
P(A + B) = P(A) + P(B)
0,2 + 0,15 = 0,35.

Задача 2

Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

«А. выиграет оба раза» означает, что А. выиграет И первый раз, И второй раз. А поскольку гроссмейстеры меняют цвет фигур, то это событие можно описать и так «А. выиграет И белыми, И черными.» Используем правило умножения в простой форме, потому что события независимы.
P(A·B) = P(A) · P(B)
0,52 · 0,3 = 0,156.

Замечание: Как мы можем судить о независимости событий? Вспоминаем всё, что знаем о самих событиях. В данном случае правила игры в шахматы таковы, что вторая партия начинается заново и её результат не зависит от исхода первой партии.

Задача 3

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

События A = «кофе закончится в первом автомате» и B = «кофе закончится во втором автомате» не являются несовместимыми, так как кофе может закончиться в обоих автоматах, и не являются независимыми, так как, если в одном из них кофе закончится, то во второй автомат покупатели будут обращаться чаще, и кофе в нем закончится скорее.
По условию задачи P(A) = P(B) = 0,3; P(AB) = 0,12

Способ I.
Событие «кофе останется в обоих автоматах» противоположно событию «кофе закончится хотя бы в одном из автоматов ИЛИ в первом, ИЛИ во втором, ИЛИ в обоих». Найдем вероятность этого (противоположного) события по правилу сложения вероятностей для совместимых событий.
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48
Тогда искомая вероятность равна 1 − 0,48 = 0,52

Способ II.
Рассмотрим следующие события:
Событие С1 = «кофе останется в обоих автоматах»;
Событие С2 = «кофе закончится в обоих автоматах»;
Событие С3 = «кофе закончится в первом автомате И останется во втором»;
Cобытие С4 = «кофе закончится во втором автомате И останется в первом».
Эти четыре события несовместимы и хотя бы одно из них обязательно реализуется, т. е. их сумма достоверное событие, вероятность которого равна 1.
P(С1) + P(С2) + P(С3) + P(С4) = 1.
Следовательно можем найти искомую вероятность из равенства
P(С1) = 1 − P(С2) − P(С3) − P(С4),
в котором P(С2) = P(AB) = 0,12 (по условию задачи) и P(С3) = P(С4) (автоматы одинаковые).
Разберемся с событием С3. Оно является произведением события A и события B − противоположного событию В. Эти события не являются независимыми, поэтому И-правило используем с учетом условной вероятности.
P(АВ) = P(A)·P(B/A). Следовательно вероятность того, что во втором автомате закончится кофе при условии, что оно уже закончилось в первом P(B/A) = P(AB)/P(A) = 0,12/0,3 = 0,4. А вероятность того, что во втором автомате останется кофе при условии, что оно закончилось в первом P( B − /A) = 1 − P(B/A) = 1 − 0,4 = 0,6. Тогда
P(С3) = P(А B − ) = P(A)·P( B — /A) = 0,3·0,6 = 0,18.
Итак P(С1) = 1 − 0,12 − 0,18 − 0,18 = 0,52.

Замечание: Здесь формально, I способ лучше, потому что короче. Реально, кому как больше нравится. Но в любом случае, если вы умеете решать задачу разными способами, то всегда сможете сами себя проверить.

Задача 4

На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход«. Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.

Ошибочно думать, что в заданных условиях на вероятность выйти через конкретный выход или попасть в один из тупиков влияет количество выходов и тупиков или длина пути к ним. Раз паук развернуться и ползти назад не может, то самое главное для него — на каждой встретившейся развилке выбрать правильный путь: И на первой, И на второй, И на . Т. е. это снова задача на правило умножения вероятностей.

Нарисуем путь паука к нужному выходу и возможные ответвления на этом пути.

Поставим на развилках «точки раздумья». Но по условию задачи паук не раздумывал, а выбирал путь чисто случайно, значит из каждой точки он мог пойти по любому пути с вероятностью p = 1/n, где n — количество путей на развилке за исключением того, по которому паук пришел. На нашем рисунке на нужном пути встречается 4 точки, и в каждой из них паук может выбрать два новых пути, следовательно p1 = p2 = p3 = p4 = 1/2 = 0,5.
На каждой развилке паук выбирает новый путь независимо от решения принятого на прошлой развилке (по условию — чисто случайно), поэтому правило умножения вероятностей используем в простой форме
P = p1 · p2 · p3 · p4 = 0,5·0,5·0,5·0,5 = 0,0625;

Замечание: Предлагаю подумать, как для такой задачи Вы могли бы сделать проверку.

Использование правил сложения и умножения вероятностей в форме И/ИЛИ-правил может значительно упростить задачу, но не забывайте быть внимательными к независимости и несовместимости событий. Если при анализе событий упустить эти моменты, то можно сделать существенные ошибки.
Подобные неверные решения задач ЕГЭ по математике встречаются, в том числе, и в сети Интернет. Поэтому

Задача 5

Вероятность того, что новый сканер прослужит больше года, равна 0,98. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что сканер прослужит меньше двух лет, но больше года.

Вопрос задачи сформулирован так, что его легче осмыслить через противоположные события. Определим их вероятности.
Пусть событие А = «сканер прослужит меньше года», его вероятность Р(А) = 1 − 0,98 = 0,2;
событие В = «сканер прослужит меньше двух лет», его вероятность Р(В) = 1 − 0,87 = 0,13.
Событие С = «сканер прослужит меньше двух лет, но больше года», о вероятности которого спрашивается в задаче, по существу означает, что сканер сломается на втором году службы. Один и тот же сканер не может сломаться одновременно и в первый, и во второй годы службы. Поэтому события А и С не совместимы, а событие В распадается на два случая: «сканер сломается на первом году службы» ИЛИ «сканер сломается на втором году службы». Таким образом, событие В является суммой двух несосвметимых событий А и C, к которым применима теорема сложения вероятностей (ИЛИ-правило):
В = А + С
P(B) = P(A) + P(C)
0,13 = 0,02 + P(C)
P(C) = 0,13 − 0,02 = 0,11.

Замечание: Конечно, 0,98 − 0,87 = 0,11 тоже правильный ответ, и, если переформулировать вопрос задачи, тоже будет правильным решением. Повторюсь, во всех задачах на вероятность главное разобраться в событиях, применяемые формулы здесь являются следствием рассуждений.

Однако не забывайте, что наличие союзов «и» и «или» в тексте задачи вовсе необязательно указывает на то, что это задание на правила сложения и умножения вероятностей. Эти части речи могут использоваться в своём первоначальном назначении — объяснять смыл задачи или события. Сравните:

Задача 6

При изготовлении подшипников диаметром 68 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,968. Найдите вероятность того, что случайный плдшипник будет иметь диаметр меньше, чем 67,99 мм, или больше, чем 68,01 мм.

Здесь фраза «диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм», фактически, означает, что диаметр будет находиться в диапазоне от 68 − 0,01 = 67,99 мм до 68 + 0,01 = 68,01 мм . Значит фраза «диаметр меньше, чем 67,99 мм, или больше, чем 68,01 мм» просто означает, что диаметр подшипника будет находиться за пределами этого диапазона. Таким образом речь идёт о противоположном событии, вероятность которого легко определить:
1 − 0,968 = 0,032.

Следующую задачу тоже можно решать разными способами, но явно лучше через противоположное событие. Попробуйте.

Задача 7

В уличном фонаре 3 лампы. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0,8. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Если известна вероятность какого-либо события А, то вероятность противоположного ему события A – определяется по формуле P( A – ) = 1 − P(A).
Так например, если вероятность перегорания лампы в течение года равна 0,8, то вероятность не перегорания в этот же период равняется 1 − 0,8 = 0,2.

Пусть событие A = «В течение года хотя бы одна лампа не перегорит». Противоположное ему событие A – = «В течение года перегорят все три лампы.»
Вероятность последнего события определяем по правилу умножения вероятностей
P( A – ) = 0,8·0,8·0,8 = 0,512 (перегорит И первая, И вторая, И третья лампы НЕЗАВИСИМО друг от друга).
Следовательно искомая вероятность P(A) = 1 − 0,512 = 0,488.

Рекомендую почитать:

  • Лютикас В. С. Школьнику о теории вероятностей. — М. «Просвещение», 1976.
  • Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. Пер. с англ. — М. «Наука», 1985.

Перейдите по стрелке, чтобы найти ссылки на другие задачи ЕГЭ 2018.

Теория вероятности формулы и примеры решения задач

События, которые происходят реально или в нашем воображении, можно разделить на 3 группы. Это достоверные события, которые обязательно произойдут, невозможные события и случайные события. Теория вероятностей изучает случайные события, т. е. события, которые могут произойти или не произойти. В данной статье будет представлена в кратком виде теория вероятности формулы и примеры решения задач по теории вероятности, которые будут в 4 задании ЕГЭ по математике (профильный уровень).

Зачем нужна теория вероятности

Исторически потребность исследования этих проблем возникла в XVII веке в связи с развитием и профессионализацией азартных игр и появлением казино. Это было реальное явление, которое требовало своего изучения и исследования.

Игра в карты, кости, рулетку создавала ситуации, когда могло произойти любое из конечного числа равновозможных событий. Возникла необходимость дать числовые оценки возможности наступления того или иного события.

В XX веке выяснилось, что эта, казалось бы, легкомысленная наука играет важную роль в познании фундаментальных процессов, протекающих в микромире. Была создана современная теория вероятностей.

Основные понятия теории вероятности

Объектом изучения теории вероятностей являются события и их вероятности. Если событие является сложным, то его можно разбить на простые составляющие, вероятности которых найти несложно.

События А и В называется несовместными, если они не могут произойти одновременно.

Событие А называется невозможным, если оно не может произойти. Такое событие обозначается символом .

Событие А называется достоверным, если оно обязательно произойдет. Такое событие обозначается символом .

  1. Вероятность принимает значения на отрезке от 0 до 1, т. е. .
  2. Вероятность невозможного события равна 0, т. е. .
  3. Вероятность достоверного события равна 1, т. e. .
  4. Если события A и В несовместные, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей, т. е. .

Важным частным случаем является ситуация, когда имеется равновероятных элементарных исходов, и произвольные из этих исходов образуют события А. В этом случае вероятность можно ввести по формуле . Вероятность, введенная таким образом, называется классической вероятностью. Можно доказать, что в этом случае свойства 1-4 выполнены.

Задачи по теории вероятностей, которые встречаются на ЕГЭ по математике, в основном связаны с классической вероятностью. Такие задачи могут быть очень простыми. Особенно простыми являются задачи по теории вероятностей в демонстрационных вариантах. Легко вычислить число благоприятных исходов , прямо в условии написано число всех исходов .

Ответ получаем по формуле .

Пример задачи из ЕГЭ по математике по определению вероятности

На столе лежат 20 пирожков — 5 с капустой, 7 с яблоками и 8 с рисом. Марина хочет взять пирожок. Какова вероятность, что она возьмет пирожок с рисом?

Всего равновероятных элементарных исходов 20, то есть Марина может взять любой из 20 пирожков. Но нам нужно оценить вероятность того, что Марина возьмет пирожок с рисом, то есть , где А — это выбор пирожка с рисом. Значит у нас количество благоприятных исходов (выборов пирожков с рисом) всего 8. Тогда вероятность будет определяться по формуле:

Независимые, противоположные и произвольные события

Однако в открытом банке заданий стали встречаться и более сложные задания. Поэтому обратим внимание читателя и на другие вопросы, изучаемые в теории вероятностей.

События А и В называется независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло ли другое событие.

Событие B состоит в том, что событие А не произошло, т. е. событие B является противоположным к событию А. Вероятность противоположного события равна единице минус вероятность прямого события, т.е. .

Теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы

Для произвольных событий А и В вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного события, т. е. .

Для независимых событий А и В вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей, т. е. в этом случае .

Последние 2 утверждения называются теоремами сложения и умножения вероятностей.

Не всегда подсчет числа исходов является столь простым. В ряде случаев необходимо использовать формулы комбинаторики. При этом наиболее важным является подсчет числа событий, удовлетворяющих определенным условиям. Иногда такого рода подсчеты могут становиться самостоятельными заданиями.

Сколькими способами можно усадить 6 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Для третьего ученика остается 4 свободных места, для четвертого — 3, для пятого — 2, шестой займет единственное оставшееся место. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение , которое обозначается символом 6! и читается «шесть факториал».

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа перестановок из п элементов В нашем случае .

Рассмотрим теперь другой случай с нашими учениками. Сколькими способами можно усадить 2 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение .

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа размещений из n элементов по k элементам

И последний случай из этой серии. Сколькими способами можно выбрать трех учеников из 6? Первого ученика можно выбрать 6 способами, второго — 5 способами, третьего — четырьмя. Но среди этих вариантов 6 раз встречается одна и та же тройка учеников. Чтобы найти число всех вариантов, надо вычислить величину: . В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа сочетаний из элементов по элементам:

Примеры решения задач из ЕГЭ по математике на определение вероятности

Задача 1. Из сборника под ред. Ященко.

На тарелке 30 пирожков: 3 с мясом, 18 с капустой и 9 с вишней. Саша наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

Задача 2. Из сборника под ред. Ященко.

В каждой партии из 1000 лампочек в среднем 20 бракованных. Найдите вероятность того, что наугад взятая лампочка из партии будет исправной.

Решение: Количество исправных лампочек 1000-20=980. Тогда вероятность того, что взятая наугад лампочка из партии будет исправной:

Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся У. верно решит больше 9 задач, равна 0,67. Вероятность того, что У. верно решит больше 8 задач, равна 0,73. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 9 задач.

Если мы вообразим числовую прямую и на ней отметим точки 8 и 9, то мы увидим, что условие «У. верно решит ровно 9 задач» входит в условие «У. верно решит больше 8 задач», но не относится к условию «У. верно решит больше 9 задач».

Однако, условие «У. верно решит больше 9 задач» содержится в условии «У. верно решит больше 8 задач». Таким образом, если мы обозначим события: «У. верно решит ровно 9 задач» — через А, «У. верно решит больше 8 задач» — через B, «У. верно решит больше 9 задач» через С. То решение будет выглядеть следующим образом:

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Давайте подумаем какие у нас даны события. Нам даны два несовместных события. То есть либо вопрос будет относиться к теме «Тригонометрия», либо к теме «Внешние углы». По теореме вероятности вероятность несовместных событий равна сумме вероятностей каждого события, мы должны найти сумму вероятностей этих событий, то есть:

Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,29. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Рассмотрим возможные события. У нас есть три лампочки, каждая из которых может перегореть или не перегореть независимо от любой другой лампочки. Это независимые события.

Тогда укажем варианты таких событий. Примем обозначения: — лампочка горит, — лампочка перегорела. И сразу рядом подсчитаем вероятность события. Например, вероятность события, в котором произошли три независимых события «лампочка перегорела», «лампочка горит», «лампочка горит»: , где вероятность события «лампочка горит» подсчитывается как вероятность события, противоположного событию «лампочка не горит», а именно: .

Заметим, что благоприятных нам несовместных событий всего 7. Вероятность таких событий равна сумме вероятностей каждого из событий: .

Еще одну задачку вы можете посмотреть на рисунке:

Таким образом, мы с вами поняли, что такое теория вероятности формулы и примеры решения задач по которой вам могут встретиться в варианте ЕГЭ.

Как решать задачи на вероятность?

Если вас интересует вопрос заголовка, вы наверняка студент или школьник, столкнувшийся с новым для себя предметом. Задачи теории вероятностей сейчас решают и школьники пятых классов продвинутых школ, и старшеклассники перед ЕГЭ, и студенты буквально всех специальностей — от географов до математиков. Что же это за предмет такой, и как к нему подойти?

Вероятность. Что это?

Теория вероятностей, как следует из названия, имеет дело с вероятностями. Нас окружают множество вещей и явлений, о которых, как бы ни была развита наука, нельзя сделать точных прогнозов.

Мы не знаем, какую карту вытянем из колоды наугад или сколько дней в мае будет идти дождь, но, имея некоторую дополнительную информацию, можем строить прогнозы и вычислять вероятности этих случайных событий.

Таким образом, мы сталкиваемся с основным понятием случайного события — явления, поведение которого невозможно предсказать, опыта, результат которого заранее невозможно вычислить и т. п. Именно вероятности событий вычисляются в типовых задачах.

Вероятность — это некоторая, строго говоря, функция, принимающая значения от 0 до 1 и характеризующая данное случайное событие. 0 — событие практически невозможно, 1 — событие практически достоверно, 0,5 (или «50 на 50») — с равной вероятностью событие произойдет или нет.

Алгоритм решения задач на вероятность

Подробнее с основами теории вероятностей можно ознакомиться, например, в онлайн учебнике.

А теперь не будем ходить вокруг да около, и сформулируем схему, по которой следует решать стандартные учебные задачи на вычисление вероятности случайного события, а затем ниже на примерах проиллюстрируем ее применение.

  • Внимательно прочитать задачу и понять, что именно происходит (что из какого ящика вытаскивается, что где лежало, сколько приборов работает и т. п.)
  • Найти основной вопрос задачи вроде «вычислить вероятность того, что . » и вот это многоточие записать в виде события, вероятность которого надо найти.
  • Событие записано. Теперь надо понять, к какой «схеме» теории вероятностей относится задача, чтобы правильно выбрать формулы для решения. Ответьте на тестовые вопросы типа:
    • происходит одно испытание (например, выбрасывание двух костей) или несколько (например, проверка 10 приборов);
    • если испытаний несколько, зависимы ли результаты одного от других (зависимость или независимость событий);
    • событие происходит в единственной ситуации или задача говорит о нескольких возможных гипотезах (например, шар вынимается из любого ящика из трех, или из конкретного).

    Чем больше опыт решения задач, тем легче будет определить, какие формулы подходят.

  • Выбрана формула (или несколько) для решения. Записываем все данные задачи и подставляем в данную формулу.
  • Вуаля, вероятность найдена.

Как решать задачи: классическая вероятность

Пример 1. В группе из 30 студентов на контрольной работе 6 студентов получили «5», 10 студентов – «4», 9 студентов – «3», остальные – «2». Найти вероятность того, что 3 студента, вызванные к доске, получили по контрольной работе «2».

Начинаем решение по пунктам, описанным выше.

  • В задаче речь идет о выборе 3 студентов из группы, которые удовлетворяют определенным условиям.
  • Вводим основное событие $X$ = (Все 3 студента, вызванные к доске, получили по контрольной работе «2»).
  • Так как в задаче происходит только одно испытание и оно связано с отбором/выбором по определенному условию, речь идет о классическом определении вероятности. Запишем формулу: $P=m/n$, где $m$ – число исходов, благоприятствующих осуществлению события $X$, а $n$ – число всех равновозможных элементарных исходов.
  • Теперь необходимо найти значения $m$ и $n$ для этой задачи. Сначала найдем число всех возможных исходов — число способов выбрать 3 студентов из 30. Так как порядок выбора не имеет значения, это число сочетаний из 30 по 3: $$n=C_<30>^3=\frac<30!><3!27!>=\frac<28\cdot 29 \cdot 30><1\cdot 2 \cdot 3>=4060.$$ Найдем число способов вызвать только студентов, получивших «2». Всего таких студентов было $30-6-10-9=5$ человек, поэтому $$m=C_<5>^3=\frac<5!><3!2!>=\frac<4 \cdot 5><1\cdot 2>=10.$$
  • Получаем вероятность: $$P(X)=\frac=\frac<10><4060>=0,002.$$ Задача решена.

Некогда решать? Найди решенную задачу

Готовые решения задач по любым разделам теории вероятностей, более 10000 примеров! Найди свою задачу:

Как решать задачи: формула Бернулли

Пример 2. Какова вероятность того, что при 8 бросаниях монеты герб выпадет 5 раз?

Снова по схеме решения задач на вероятность рассматриваем данную задачу:

  • В задаче идет речь о серии одинаковых испытаний — бросаний монеты.
  • Вводим основное событие $X$ = (При 8 бросаниях монеты герб выпадет 5 раз).
  • Так как в задаче происходит несколько испытаний, и вероятность появления события (герба) одинакова в каждом испытании, речь идет о схеме Бернулли. Запишем формулу Бернулли, которая описывает вероятность того, что из $n$ бросков монет герб выпадет ровно $k$ раз: $$ P_(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^.$$
  • Записываем данные из условия задачи: $n=8, p=0,5$ (вероятность выпадения герба в каждом броске равна 0,5) и $k=5$
  • Подставляем и получаем вероятность: $$ P(X)=P_<8>(5)=C_8^5 \cdot 0,5^5 \cdot (1-0,5)^<8-5>=\frac<8!><5!3!>\cdot 0,5^8=\frac<6\cdot 7 \cdot 8><1\cdot 2 \cdot 3>\cdot 0,5^8= 0,219.$$ Задача решена.

И это все? Конечно, нет.

Выше мы упомянули только малую часть тем и формул теории вероятностей, для более подробного изучения вы можете посмотреть учебник онлайн на данном сайте (или скачать классические учебники по ТВ), ознакомиться со статьями по решению вероятностных задач, бесплатными примерами, воспользоваться онлайн калькуляторами. Удачи!

Другие полезные статьи по теории вероятностей