Задачи по теме : «Пирамида, Усеченная Пирамида». А

Главная > Документ

Задачи по теме : «Пирамида, Усеченная Пирамида».

Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 6, а апофема 6,5. Найдите периметр основания этой пирамиды. Ответ: 20.

Боковая поверхность правильной пирамиды равна 24, а площадь основания равна 12. Под каким углом наклонены боковые грани к основанию? Ответ: 60

Объём правильной четырехугольной пирамиды 48, высота равна 4. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. Ответ: 60.

Высота пирамиды 16. Площадь основания равна 512. На каком расстоянии от основания находится сечение, параллельное ему, если площадь сечения 50. Ответ: 11

В основании пирамиды лежит квадрат с диагональю, равной 6. Одно из боковых ребер перпендикулярно основанию. Большее боковое ребро наклонено к основанию в 45. Чему равен объём пирамиды? Ответ: 36.

В треугольной пирамиде две боковые грани взаимно перпендикулярны. Площади этих граней равны P и Q, а длина их общего ребра равна а. Определите объём пирамиды. Ответ:

Основанием пирамиды служит прямоугольник со сторонами 4 и 6. Каждое из боковых ребер равно 7. Найдите объём пирамиды. Ответ: 48.

В пирамиде плоскость сечения параллельного основанию делит высоту в отношении 1:1. Найдите площадь сечения, если площадь основания равна 60. Ответ: 15

Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое ребро равно 3. Найдите объём пирамиды. Ответ: 4,5

Объём правильной четырехугольной пирамиды равен 20, а ее высота равна 1. Найдите длину апофемы пирамиды. Ответ: 4

Высота правильной треугольной пирамиды В два раза меньше стороны основания. Найдите угол между боковой гранью пирамиды и плоскостью основания. Ответ: 60

Найдите объём правильной треугольной пирамиды, если все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45, а медиана основания равна 6. Ответ: 144

Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 3, боковое ребро составляет с высотой пирамиды угол 30.Найдите объём пирамиды. Ответ: 6

Найдите площадь основания правильной треугольной пирамиды, у которой высота равна 10 , а двугранный угол при стороне основания равен 45. Ответ: 900.

Все боковые грани треугольной пирамиды составляют с плоскостью основания угол 45. Найдите высоту пирамиды, если стороны её основания равны 20,21 и 29. Ответ: 6

В основании пирамиды треугольник со сторонами 7,10 и 13. Высота пирамиды 4. Найдите величину двугранного угла при основании пирамиды, если все боковые грани одинаково наклонены к плоскости основания. Ответ: 60

В основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция, длины оснований которой равны 16 и 4. Найдите высоту пирамиды, если каждая ее боковая грань составляет с основанием угол 60. Ответ: 4

Сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, делит высоту пирамиды в отношении 2:3, считая от вершины. Площадь основания пирамиды равна 360. Найдите площадь ее сечения. Ответ: 57,6

Основание пирамиды – треугольник со сторонами 5,5 и 6, высота пирамиды проходит через центр круга, вписанного в этот треугольник, и равна 2. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. Ответ: 20.

Плоские углы при вершине треугольной пирамиды прямые, боковые ребра пирамиды равны 5,6 и 7. Найдите объём пирамиды. Ответ: 35

Стороны оснований правильной усеченной четырехугольной пирамиды равны 4 и 6. Найдите площадь диагонального сечения, если боковое ребро образует с большим основанием угол, равный 45. Ответ:10

Найдите высоту правильной усеченной четырехугольной пирамиды, стороны оснований которой равны 14 и 10, а диагональ равна 18. Ответ: 6.

В основаниях усеченной пирамиды правильные треугольники со сторонами 2 и 6. Определите высоту этой пирамиды, если ее объём равен 52. Ответ: 12. В

Основанием пирамиды служит ромб со стороной 14 и острым углом 60. Двугранные углы при основании пирамиды по 45. Вычислите объём пирамиды. Ответ: 343.

Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды 36, а ее боковая поверхность 60. Найдите объём пирамиды. Ответ: 48

В основании пирамиды треугольник со сторонами 13, 14 и 15. Найдите высоту пирамиды, если все высоты боковых граней равны 14. Ответ: 6

В каком отношении делит объём пирамиды плоскость, параллельная основанию, если она делит высоту в отношении 3:2? Ответ:27:98

Основанием пирамиды является ромб со стороны 6 и острым углом 30. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если каждый двугранный угол при основании равен 60. Ответ: 54.

В основании треугольной пирамиды FABC лежит правильный треугольник АВС со стороной, равной , FA = . Боковые грани пирамиды имеют равные площади. Найдите объём пирамиды. Ответ:

В правильной треугольной пирамиде боковое ребро, равное 6, наклонено к основанию под углом 30. Найдите объём пирамиды. Ответ:

Высота правильной треугольной пирамиды равна 2, а боковая грань образует с плоскостью основания угол 60. Найдите объём пирамиды. Ответ: 24

Найдите объём правильного тетраэдра с ребром, равным а. Ответ: , а=5

Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен 90*. Площадь боковой поверхности пирамиды равна 192. Найдите радиус окружности, описанной около боковой грани пирамиды. Ответ: 8

Угол между боковой гранью и плоскостью основания правильной треугольной пирамиды равен 45. Объём пирамиды равен . Найдите сторону основания пирамиды. Ответ: 2

Основание пирамиды – ромб с диагоналями 6 и 8, высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба и равна 1. Найдите боковую поверхность пирамиды. Ответ: 26

В четырехугольной пирамиде все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 60. В основании ее лежит равнобедренная трапеция, больший угол которой равен 120. Диагональ трапеции является биссектрисой ее острого угла. Высота пирамиды равна 4. Найдите большее основание трапеции. Ответ: 8

Определите объём правильной четырехугольной пирамиды, зная угол = 30, составленный ее боковым ребром с плоскостью основания, и площадь ее диагонального сечения S= . Ответ: 2.

Основание пирамиды – правильный треугольник со стороной . Одно из боковых ребер перпендикулярно основанию, а два других наклонены к плоскости основания под углами 60. Найдите площадь большей боковой грани пирамиды. Ответ: 3,75

Основанием пирамиды служит прямоугольник с площадью 81. Две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а две другие образуют с ней углы 30 и 60. Найдите объём пирамиды. Ответ: 243

Найдите объём пирамиды, основанием которой служит равнобедренная трапеция с основаниями 10 и 20, а боковые грани образуют с плоскостью основания двугранные углы, равные 60. Ответ: 500

В основании пирамиды лежит прямоугольный равнобедренный треугольник с гипотенузой с. Каждое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом 45 . Найдите площадь полной поверхности пирамиды. Ответ:

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а. Величина угла, образованного высотой пирамиды с боковой гранью, равна 30. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. Ответ:

Угол между высотой правильной четырехугольной пирамиды и ее боковым ребром равен 60. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если высота ее равна 10. Ответ: 200(3+)

Основание пирамиды – ромб с большей диагональю 12 и острым углом 60. Все двугранные углы при основании пирамиды равны 45. Найдите объём пирамиды. Ответ: 24

Основаниями правильной усеченной пирамиды служат квадраты со сторонами a и b (a>b ). Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом а. Определите величину двугранных углов при сторонах оснований. Ответ: arctg(tga)

В треугольной усеченной пирамиде высота равна 10. Стороны одного основания равны 27,29 и 52, а периметр другого основания равен 72. Определите объём усеченной пирамиды. Ответ: 1900

В основаниях усеченной пирамиды лежат прямоугольные треугольники с острым углом 60. Гипотенузы этих треугольников равны 6 и 4. Высота данной пирамиды . Найдите объём ученной пирамиды. Ответ:9,5.

Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 4 и 4; боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60. Найдите полную поверхность пирамиды. Ответ: 128

Стороны основания правильной четырехугольной усеченной пирамиды относятся, как 3:2. Высота пирамиды равна 3. Боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 60. Найдите объём пирамиды. Ответ:114

Боковое ребро правильной четырехугольной усеченной пирамиды̊ равно и наклонено к плоскости основания под углом 60. Диагональ пирамиды перпендикулярна боковому ребру. Найдите площадь меньшего основания пирамиды. Ответ: 1,5

10 класс. Геометрия. Многогранники. Пирамида. Задачи на пирамиду.

10 класс. Геометрия. Многогранники. Пирамида. Задачи на пирамиду.

Вопросы

Задай свой вопрос по этому материалу!

Поделись с друзьями

Комментарии преподавателя

1. Правильная треугольная пирамида

Определение: правильной n-угольной пирамидой называется такая пирамида, у которой в основании лежит правильный n-угольник, и высота проецируется в центр этого n-угольника (рис. 1).

Правильная треугольная пирамида

Для начала рассмотрим ∆ABC (рис. 2), в котором AB=BC=CA (то есть в основании пирамиды лежит правильный треугольник). У правильного треугольника центр вписанной и описанной окружности совпадают и являются центром самого треугольника. В данном случае центр находится следующим образом: находим середину АВ – С1, проводим отрезок СС1, который является медианой, биссектрисой и высотой; аналогично находим середину AC – B1 и проводим отрезок BB1. Пересечением BB1 и СС1 будет точка О, которая является центром ∆АВС.

Если соединить центр треугольника O с вершиной пирамиды S, то получим высоту пирамиды SO ⊥ ABC, SO = h.

Соединив точку S с точками А, В и С получим боковые ребра пирамиды.

Мы получили правильную треугольную пирамиду SABC (рис. 2).

2. Стандартные задания на пирамиды (Sосн, Sбок, ha)

Известны стороны основания – а и высота пирамиды – h. Необходимо найти:

Решение:

1. Найти Sосн

Если есть ∆АВС (рис. 3), сторона которого равна а, то

2. Найти Sбок ,hа

Отрезок SC1 называется апофемой ha(рис. 2). Апофему найдем из прямоугольного треугольника SC1O. Известен катет SO=h, второй катет С1О найдем из ∆АВС (рис. 3).

Для начала найдем высоту АА1 из прямоугольного треугольника АА1С:

Высота АА1 состоит из радиуса вписанной окружности r=С1О и из радиуса описанной окружности R (причем R=2r).

Зная катеты ∆SC1O, мы можем найти гипотенузу

Найдя апофему haможно без труда найти

3. Стандартные задания на пирамиды (двухгранные углы)

Теорема о боковой поверхности правильной пирамиды

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему

3. Найти (АВ)

Двугранный угол при ребре АВ есть угол между плоскостями SAB и ABC. Обозначим его

Избавимся от иррациональности в знаменателе путем умножения и деления выражения на

Зная тангенс угла, можем найти сам угол

5)4. Найти( (SC)

Проведем BP⊥SC и AP⊥SC, SC, тогда ∠(SC)= ∠APB. Обозначим его как ∠α (рис. 4)

Для нахождения угла рассмотрим равнобедренный треугольник АРВ. Основание треугольника АВ=а, а боковые стороны найдем из ∆ACS (который тоже является равнобедреннымтреугольником) в).

B ∆SAC S известны основание АС = а и боковые стороны . Необходимо найти высоту, высоту, проведенную из точки А. Для этого нужно найти площадь треугольника:

Из данного уравнения найдем АР:

По теореме косинусов

Косинус угла однозначно определяет угол в треугольнике, поэтому дальше задача очевидная.

4. Усеченная пирамида, понятие, свойства

Вспомним понятие n-угольной пирамиды на примере треугольной пирамиды. Задан треугольник АВС. Вне плоскости треугольника взята точка Р, соединенная с вершинами треугольника. Полученная многогранная поверхность и называется пирамидой (рис. 1).

Рис. 1. Треугольная пирамида

Рассечем пирамиду плоскостью , параллельной плоскости основания пирамиды . Полученная между этими плоскостями фигура и называется усеченной пирамидой (рис. 2).

Рис. 2. Усеченная пирамида

-нижнее основание АВС;

-если РН – высота исходной пирамиды, то – высота усеченной пирамиды.

Свойства усеченной пирамиды вытекают из способа ее построения, а именно из параллельности плоскостей оснований:

-все боковые грани усеченной пирамиды являются трапециями. Рассмотрим, например, грань . У нее по свойству параллельных плоскостей (поскольку плоскости параллельны, то боковую грань исходной пирамиды АВР они рассекают по параллельным прямым), в то же время и не параллельны. Очевидно, что четырехугольник является трапецией, как и все боковые грани усеченной пирамиды.

-отношение оснований одинаково для всех трапеций:

Имеем несколько пар подобных треугольников с одинаковым коэффициентом подобия. Например, треугольники и РАВ подобны в силу параллельности плоскостей и , коэффициент подобия:

В то же время подобны треугольники и РВС с коэффициентом подобия:

Очевидно, что коэффициенты подобия для всех трех пар подобных треугольников равны, поэтому отношение оснований одинаково для всех трапеций.

5. Правильная усеченная пирамида, понятие, основные определения

Правильной усеченной пирамидой называется усеченная пирамида, полученная сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию (рис. 3).

Рис. 3. Правильная усеченная пирамида

Определение.

Правильной называется пирамида, в основании которой лежит правильный n-угольник, а вершина проектируется в центр этого n-угольника (центр вписанной и описанной окружности).

В данном случае в основании пирамиды лежит квадрат, и вершина проектируется в точку пересечения его диагоналей. У полученной правильной четырехугольной усеченной пирамиды ABCD – нижнее основание, – верхнее основание. Высота исходной пирамиды – РО, усеченной пирамиды – (рис. 4).

Рис. 4. Правильная четырехугольная усеченная пирамида

Определение.

Высота усеченной пирамиды – это перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания к плоскости второго основания.

Апофема исходной пирамиды – РМ (М – середина АВ), апофема усеченной пирамиды – (рис. 4).

Определение.

Апофема усеченной пирамиды – высота любой боковой грани.

Ясно, что все боковые ребра усеченной пирамиды равны между собой, то есть боковые грани – равные равнобедренные трапеции.

6. Теорема о площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

Доказательство (для правильной четырехугольной усеченной пирамиды – рис. 4):

Итак, необходимо доказать:

Площадь боковой поверхности здесь будет состоять из суммы площадей боковых граней – трапеций. Поскольку трапеции одинаковы, имеем:

Площадь равнобедренной трапеции – это произведение полусуммы оснований и высоты, апофема является высотой трапеции. Имеем:

Что и требовалось доказать.

Для n-угольной пирамиды:

Где n – количество боковых граней пирамиды, a и b – основания трапеции, – апофема.

7. Решение задачи 1

Стороны основания правильной усеченной четырехугольной пирамиды равны 3 см и 9 см, высота – 4 см. Найти площадь боковой поверхности.

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 1

Решение. Проиллюстрируем условие:

Через точку О проведем прямую MN параллельно двум сторонам нижнего основания, аналогично через точку проведем прямую (рис. 6). Поскольку в основаниях усеченной пирамиды квадраты и построения параллельны, получим трапецию, равную боковым граням. Причем ее боковая сторона будет проходить через середины верхнего и нижнего ребра боковых граней и являться апофемой усеченной пирамиды.

Рис. 6. Дополнительные построения

Рассмотрим полученную трапецию (рис. 6). В этой трапеции известно верхнее основание, нижнее основание и высота. Требуется найти боковую сторону, которая является апофемой заданной усеченной пирамиды. Проведем перпендикулярно MN. Из точки опустим перпендикуляр NQ. Получим, что большее основание разбивается на отрезки по три сантиметра ( ). Рассмотрим прямоугольный треугольник , катеты в нем известны, это египетский треугольник, по теореме Пифагора определяем длину гипотенузы: 5 см.

Теперь есть все элементы для определения площади боковой поверхности пирамиды:

8. Решение задачи 2

Пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию. Докажите на примере треугольной пирамиды, что боковые ребра и высота пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные части.

Рис. 7. Иллюстрация к задаче 2

Задана пирамида РАВС. РО – высота пирамиды. Пирамида рассечена плоскостью , получена усеченная пирамида , причем . Точка – точка пересечения высоты РО с плоскостью основания усеченной пирамиды . Необходимо доказать:

Ключом к решению является свойство параллельных плоскостей. Две параллельные плоскости рассекают любую третью плоскость так, что линии пересечения параллельны. Отсюда: . Из параллельности соответствующих прямых вытекает наличие четырех пар подобных треугольников:

Из подобия треугольников вытекает пропорциональность соответствующих сторон. Важная особенность заключается в том, что коэффициенты подобия у этих треугольников одинаковы:

Что и требовалось доказать.

9. Решение задачи 3

Правильная треугольная пирамида РАВС с высотой и стороной основания рассечена плоскостью , проходящей через середину высоты РН параллельно основанию АВС. Найти площадь боковой поверхности полученной усеченной пирамиды.

Рис. 8. Иллюстрация к задаче 3

АСВ – правильный треугольник, Н – центр данного треугольника (центр вписанной и описанной окружностей). РМ – апофема заданной пирамиды. – апофема усеченной пирамиды. Согласно свойству параллельных плоскостей (две параллельные плоскости рассекают любую третью плоскость так, что линии пересечения параллельны), имеем несколько пар подобных треугольников с равным коэффициентом подобия. В частности нас интересует отношение:

Найдем НМ. Это радиус окружности, вписанной в основание, соответствующая формула нам известна:

Теперь из прямоугольного треугольника РНМ по теореме Пифагора найдем РМ – апофему исходной пирамиды:

Из начального соотношения:

Теперь нам известны все элементы для нахождения площади боковой поверхности усеченной пирамиды:

Итак, мы ознакомились с понятиями усеченной пирамиды и правильной усеченной пирамиды, дали основные определения, рассмотрели свойства, доказали теорему о площади боковой поверхности. Следующий урок будет посвящен решению задач.

Задания для устного счета по теме «Усеченная пирамида», геометрия 10 класс

Успейте воспользоваться скидками до 60% на курсы «Инфоурок»

Выбранный для просмотра документ ╨г╤Б╨╡╤З╨╡╨╜╨╜╨▌╤П ╨+╨╕╤А╨▌╨+╨╕╨▌╨▌.ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

Задания для устного счета по теме «Усеченная пирамида» Геометрия, 10 класс

АВСDA1B1C1D1 – правильная усеченная пирамида А В С D 5 Правильный ответ: ? К Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку К и высоту РН ВК = КС Показать Н 16 В1 С1 А1 D1 Н1 4 3

АВСDA1B1C1D1 – правильная усеченная пирамида А В С D 5 Правильный ответ: ? К К1К — апофема Н 80 В1 С1 А1 D1 Н1 5 3 К1 Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды

АВСDA1B1C1D1 – правильная усеченная пирамида А В С D Правильный ответ: ? Н 900 В1 С1 А1 D1 Н1 Найдите двугранный угол ВНН1С1 Показать

АВСА1В1С1 – правильная усеченная пирамида А В С 8 Правильный ответ: ? 52 Н М В1 С1 А1 Н1 М1 5 8 Найдите площадь сечения усеченной пирамиды плоскостью, проходящей через боковое ребро и высоту. Показать AМ = 8, A1М1 = 5 НН1 = 8

АВСА1В1С1 – правильная усеченная пирамида А В С 10 Правильный ответ: ? 216 Н М В1 С1 А1 Н1 М1 6 9 Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды

АВСА1В1С1 – правильная усеченная пирамида А В С Правильный ответ: ? 1200 Н М В1 С1 А1 Н1 М1 Найдите двугранный угол АНН1С Показать

АВСА1В1С1 – правильная усеченная пирамида А В С Правильный ответ: ? 600 Н М В1 С1 А1 Н1 М1 Найдите двугранный угол СНН1М Показать Закрыть

Урок 1. Пирамида. Площадь полной поверхности пирамиды.

Цель: познакомить с новым видом многогранника

Задачи: образовательная – дать понятие пирамиды, её основных элементов, понятие полной поверхности пирамиды;

развивающая — развивать умение самостоятельно мыслить, делать выводы;

воспитательная – воспитывать дисциплинированность, аккуратность.

Вид урока : комбинированный: лекция и практикум по решению задач.

Средства обучения : презентация.

Оборудование: компьютер, экран, мультимедийный проектор, модели пирамид, интерактивная доска.

1. Организационный момент (2 мин).

2. Объяснение нового материала (20-25 мин).

3. Закрепление материала (15 мин).

4. Подведение итогов. Домашняя работа (3 мин).

1.Учитель организует учащихся к уроку.

2. Учитель: Тема нашего сегодняшнего урока «Пирамида», сегодня на уроке мы должны познакомиться с новыми видом многогранника, с его основными элементами, научиться решать простейшие задачи на пирамиду. (Демонстрируется слайд № 3) Начнем с истории. Слово пирамида нам знакомо с детства, это детская игрушка, а также при слове пирамида мы вспоминаем о египетских пирамидах — величайших архитектурных памятниках, которые историки относят к эпохе Древнего Египта, среди которых одно из «семи чудес света» — пирамида Хеопса. Пирамиды представляют собой огромные каменные сооружения пирамидальной формы (оттуда и название), предположительно построенные в качестве гробниц для фараонов Древнего Египта. Всего в Египте было обнаружено 118 пирамид (на ноябрь 2008 года).

А теперь давайте познакомимся с пирамидой как с многогранником. (Демонстрируется слайд № 4). Рассмотрим многоугольник и точку, не лежащую в плоскости этого многоугольника, соединим отрезками точку и вершины многоугольника, получим треугольники. Многогранник, состоящий и многоугольника и треугольников, называется пирамидой.

Как же называются основные элементы пирамиды? (демонстрируется слайд №5).

В зависимости от вида многоугольника существуют разные виды пирамид (демонстрируется слайд № 6).

Как и призма, пирамида имеет поверхность. Из чего же состоит поверхность пирамиды? Как найти площадь полной поверхность пирамиды? (демонстрируется слайд № 7). Таким образом, говоря о полной поверхности пирамиды, мы подразумеваем площадь основания и площадь боковой поверхности, которая складывается из суммы площадей боковых граней. Так как в основании пирамиды лежит многоугольник, а боковыми гранями являются треугольники, то чтобы найти площадь основания или боковой грани, нужно знать формулы.

А какие формулы вы знаете для нахождения площади треугольника и многоугольника?

3. Учитель: А теперь, давайте, выполним математический диктант (демонстрируется слайд № 8). Ученики выполняют диктант в тетрадях самостоятельно, а затем проводится фронтальная проверка.

Учитель: А теперь решим устно задачи (демонстрируется слайд № 9).При решении задач необходимы дополнительные построения, поэтому можно из презентации вызвать интерактивный режим (если есть в наличии интерактивная доска) и проводить построения, параллельно решая задачу на слайде.

Задача 1. В основании пирамиды квадрат. Высота пирамиды равна стороне квадрата и проходит через одну из его вершин. Найти двугранные углы при основании.

Решение: боковые грани АЕО и СЕО перпендикулярны основанию, так как ЕО высота. Следовательно, двугранные углы при ребрах АЕ и СЕ прямые. Треугольники АЕО и СЕО равнобедренные , так как высота ЕО равна стороне квадрата. Значит углы ОСЕ и ЕАО равны 45º, следовательно, двугранные углы, линейными углами которых они являются, тоже равны 45º.

Задача 2 . Боковые ребра пирамиды равны гипотенузе прямоугольного треугольника и равна 12 см. Найти высоту пирамиды.

Решение: боковые ребра пирамиды равны и высота пирамиды общая, следовательно, и равны их проекции и они являются радиусами описанной около основания окружности. Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы. Треугольник АВА2 равносторонний, его высота ВВ1 является медианой, а также и высотой пирамиды. По теореме Пифагора находим, что высота равна .

(набор задач не является обязательным, учитель вправе сам выбрать задачи в зависимости от уровня подготовленности класса)

Учитель: Решим задачи из учебника № 239.

Задача № 239 . Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей равна 8 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если высота ее проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7 см.

Решение: (чертеж к задаче выполняется на интерактивной доске). Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Δ АВО прямоугольный с катетом 4 см и гипотенузой 5 см, отсюда по теореме Пифагора находим

АО = = =3 см. Δ ASO прямоугольный, так как SO — высота пирамиды. Отсюда по теореме Пифагора находим боковое ребро AS = = = см. Δ SOB прямоугольный, следовательно, SB = = = см. SC = AS , SD = SB .

Задача № 241. Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 м и 4 м и меньшей диагональю 3 м. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 2 м. Найдите площадь полной поверхности.

Решение: (чертеж к задаче выполняется на интерактивной доске или можно подготовить шаблон заранее). Площадь полной поверхности равна сумме площадей основания и боковой поверхности. По теореме косинусов найдем косинус острого угла параллелограмма = , , отсюда S =4*5* м2. Площадь боковой поверхности равна сумме площадей боковых граней, так как у параллелограмма противоположные стороны равны, то и боковые грани, опирающиеся на эти стороны, тоже будут равны, поэтому достаточно найти площади только двух граней. Найдем высоту параллелограмма 12=5* H 1, отсюда H 1= м . Найдем высоту боковой грани по теореме Пифагора, она будет равна = м. Найдем другую высоту параллелограмма 12=4* H 2, отсюда H 2=3 м. Найдем высоту другой боковой грани, она будет равна м. Найдем теперь площадь боковой поверхности, она равна S = м2. Площадь полной поверхности равна S = 12+10+2 м2.

4. Учитель: Давайте подведем итог.

Что такое пирамида?

Назовите основные элементы пирамиды (на модели).

Как найти площадь полной поверхности пирамиды?

Учитель оценивает работу учащихся. При оценивании учитывается полнота, логически правильный, сформулированный ответ.

З адает домашнее задание: п. 28, задача из учебника № 242.

Урок 2. Правильная пирамида.

Цель: познакомить учащихся с правильной пирамидой.

Задачи: образовательная – дать понятие правильной пирамиды, вывести формулу площади боковой поверхности правильной пирамиды;

развивающая — развивать логический стили мышления; умение самостоятельно мыслить, делать выводы;

воспитательная – дисциплинированность, аккуратность.

Вид урока : комбинированный: лекция и решение задач.

Средства обучения : презентация.

Оборудование: модели пирамид, компьютер, экран, мультимедийный проектор, интерактивная доска.

1. Организационный момент (2 мин).

2. Теоретический опрос (5-7 мин).

3. Объяснение нового материала (15- 20 мин).

4. Закрепление материала (15 мин).

5. Подведение итогов. Домашняя работа (3 мин).

1. Учитель организует учащихся к уроку.

2. Учитель: Что такое пирамида?

Назовите основные элементы пирамиды (на модели).

Какие виды пирамид вы знаете?

Как найти площадь полной поверхности пирамиды?

3. Учитель: Тема нашего сегодняшнего урока «Правильная пирамида», сегодня на уроке мы должны познакомиться с новым понятием (демонстрируется слайд № 10). Пирамида называется правильной, если в её основании лежит правильный многоугольник.

Какие правильные многоугольники вы знаете?

У правильной пирамиды боковые ребра равны, боковые грани равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани называется апофемой. Высотой правильной пирамиды называется отрезок, соединяющий вершину и центр основания. Центром основания правильного многоугольника является центр описанной около него окружности.

Можно легко доказать, что боковые ребра равны, так как они являются гипотенузами прямоугольных треугольников, в которых один катет (высота пирамиды) общий, а другие катеты равны как радиусы описанной окружности, отсюда по теореме Пифагора каждое боковое ребро равно .

4.Учитель: Вспомните формулы нахождения сторон правильных многоугольников и радиусов вписанной и описанной окружностей.

; ; где n – количество сторон в многоугольнике.

Учитель: решим задачи (демонстрируется слайд № 11)

Задача. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна половине стороны основания. Найти двугранные углы при основании.

Решение: пусть сторона основания равна а, тогда высота АА5 = а/2. Радиус вписанной окружности А5 А6=а/2 . Треугольник АА5 А6 равнобедренный. Угол АА6 А5 =45º.

Учитель: А теперь выведем формулу боковой поверхности правильной пирамиды (демонстрируется слайд № 12).

Скажите, из чего складывается площадь боковой поверхности пирамиды?

Так как боковые грани правильной пирамиды равнобедренные треугольники, то у них равны высоты. Площадь каждой грани находиться по формуле где l – апофема. Боковых граней несколько, сумма длин сторон основания дает периметр. Таким образом, получаем формулу площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Учитель: Решим задачи на нахождение площади боковой поверхности правильной пирамиды (демонстрируется слайд № 13).

Задача. Найти площадь боковой поверхности правильной

а) четырехугольной пирамиды со стороной основания 6, высотой 4.

б) треугольной пирамиды со стороной 6, высотой 1.

Решение: а) найдем апофему по теореме Пифагора, , , l = 5. А теперь найдем площадь боковой поверхности пирамиды S =0.5*(6*4)*5=60.

б) найдем апофему по теореме Пифагора , , l =2 . А теперь найдем площадь боковой поверхности пирамиды S =0.5*(6*4)*2=24.

Учитель: Решим задачу № 255 из учебника.

Задача № 255 . В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 8 см, а плоский угол при вершине равен φ. Найдите высоту этой пирамиды.

Решение: Найдем радиус вписанной окружности см. Высота боковой грани (апофема) является медианой и биссектрисой, найдем ее см. Найдем высоту пирамиды см.

5.Учитель: Давайте подведем итог.

Учитель оценивает учащихся (знание теории, активную работу на уроке).

З адает домашнее задание: п. 29, задача из учебника № 258.

Урок 3. Усеченная пирамида.

Цель: ознакомить учащихся с усеченной пирамидой.

Задачи: образовательная – познакомить с видами сечений, дать понятие усеченной пирамиды, познакомиться с её элементами, вывести формулу боковой поверхности усеченной пирамиды;

развивающая — развивать логический стили мышления; умение самостоятельно мыслить, делать выводы.

воспитательная – воспитывать дисциплинированность, аккуратность.

Вид урока : лекция и решение задач.

Средства обучения : презентация.

Оборудование: компьютер, экран, мультимедийный проектор, интерактивная доска.

1. Организационный момент (2 мин).

2. Теоретический опрос (5 — 7 мин).

3. Объяснение нового материала (15 — 18 мин).

4. Закрепление материала (15 мин).

5. Подведение итогов. Домашняя работа (3 мин).

1.Учитель организует учащихся к уроку.

2. Учитель: Какая пирамида называется правильной?

Докажите теорему о площади боковой поверхности правильной пирамиды.

3. Учитель: Рассмотрим сечения пирамиды (демонстрируются слайд № 14, 15). Сечение, проходящее через вершину пирамиды и диагональ основания, называются диагональными. Они имеют вид треугольников. Существуют сечения, которые параллельны основанию (демонстрируется слайд № 16). Они, как правило, имеют вид многоугольника подобного тому, который находится в основании. Решим задачу (демонстрируется слайд № 17):

Задача. В пирамиде проведено сечение параллельно основанию через середину высоты. Площадь основания равна Q . Найти площадь сечения.

Решение: так как сечение проходит через середины боковых ребер, то каждая сторона многоугольника (сечения) является средней линей боковой грани и равна половине стороны многоугольника, находящегося в основании. То есть можно сказать, что основание и сечение, подобные многоугольники, к=2. А площади подобных фигур относятся квадрат коэффициента подобия. Значит, площадь сечения равна Q/4 .

Дадим понятие усеченной пирамиды (демонстрируется слайд № 18). Пусть дана пирамида. Проведем плоскость параллельную основанию, которая пересечет боковые ребра. Наша секущая плоскость разделяет нашу пирамиду на два многогранника: один — пирамида, подобная данной, а второй многогранник, заключенный между сечением и основанием, называется усеченной пирамидой. Назовем основные элементы усеченной пирамиды (демонстрируется слайд № 19). Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна сумме площадей боковых граней.

Если усеченная пирамида получена сечением правильной пирамиды, то она называется правильной усеченной пирамидой, у которой есть свои особенности в названии элементов (демонстрируется слайд № 20). Так как в правильной усеченной пирамиде, боковые грани являются равнобедренными трапециями и равны между собой, то площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

4. Учитель: проведем математическое исследование (демонстрируется слайд № 21). Учащиеся выполняют исследование самостоятельно, а затем сообщают о полученных результатах в классе (можно данное исследование дать на дом).

Учитель: Решим задачу № 269.

Задача № 269 . Стороны основания правильной треугольной усеченной пирамиды равны 4 дм и 2 дм, а боковое ребро равно 2 дм. Найдите высоту и апофему пирамиды.

Решение: боковая грань правильной треугольной усеченной пирамиды является равнобедренной трапецией, её высота (апофема) равна дм. Найдем радиусы вписанных окружностей в нижнее и верхнее основания, дм, дм. Высота усеченной пирамиды является высотой прямоугольной трапеции, где основания радиусы вписанных окружностей, а боковая сторона апофема. Отсюда высота усеченной пирамиды равна дм.

5. Учитель: Давайте подведем итог.

Что такое усеченная пирамида?

Какая усеченная пирамида называется правильной?

Учитель оценивает учащихся (знание теории, активную работу на уроке),задает домашнее задание: п. 30.задача из учебника № 268.

Урок 4. Решение задач.

Цель: повторить и закрепить изученный материал в ходе решения задач.

Задачи: образовательная – научить практическому применению знаний учащихся по теме к решению задач;

развивающая — развивать умение логически мыслить, делать выводы;

воспитательная – воспитывать дисциплинированность, аккуратность.

Вид урока : практикум по решению задач.

Оборудование: интерактивная доска.

1. Организационный момент (2 мин).

2. Теоретический опрос (5 мин).

3. Практикум по решению задач (30 — 35 мин).

4. Подведение итогов. Домашняя работа (3 мин).

1.Учитель организует учащихся к уроку.

2. Учитель: Ответьте на следующие вопросы:

Что называется высотой пирамиды?

Что такое апофема?

Какая пирамида называется правильной?

Учитель: Ответьте на вопросы, ответ обоснуйте:

Будет ли пирамида правильной, если её боковыми гранями являются правильные треугольники?

Существует ли четырехугольная пирамида, у которой противоположные боковые грани перпендикулярны к основанию?

Могут ли все грани треугольной пирамиды быть прямоугольными треугольниками?

3.Учитель: Сегодня мы будем решать задачи на нахождение длин элементов пирамиды (по своему усмотрению учитель может выбрать другие задачи).

Задача № 252 . Основанием пирамиды DABC является равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ=АС, ВС=6 см, высота А H =9 см. Известно также, что DA = DB = DC =13 см. Найдите высоту пирамиды.

Решение: найдем площадь основания см2. Найдем сторону равнобедренного треугольника АВ = см. Найдем радиус описанной окружности см. Найдем высоту пирамиды H = см.

Задача № 256 . В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна т. А плоский угол при вершине равен α. Найдите: а) высоту пирамиды; б) боковое ребро; в) угол между боковой гранью и плоскостью основания; г) двугранный угол при боковом ребре пирамиды.

Решение: апофема пирамиды является медианой и биссектрисой, найдем апофему, она равна . Найдем боковое ребро . Найдем радиус вписанной окружности, он равен . Найдем высоту пирамиды . Найдем угол между боковой гранью и основанием . Найдем площадь боковой грани S = , через площадь и сторону найдем другую высоту боковой грани h = m * cos . Половина диагонали равна . Две высота боковых граней будут образовывать двугранный угол при боковом ребре, найдем половину этого угла , отсюда весь угол равен 2 arcsin ( .

Задача № 267 . Пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию. Докажите, что боковые ребра и высота пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные части.

Решение: рассмотрим треугольники: боковую грань и треугольник, отсекаемый сечением. Так как сечение параллельно основанию, то соответственные углы при параллельных прямых равны. Следовательно, треугольники подобны по первому признаку, отсюда следует, что боковое ребро делится на пропорциональные части. Аналогично доказывается, что треугольник, образованный высотой пирамиды, боковым ребром и радиусом вписанной в основание окружности подобен треугольнику, отсеченному от данного сечением.

4.Учитель: Давайте подведем итог.

Чему научились сегодня на уроке?

Учитель оценивает учащихся (знание теории, активную работу на уроке), задает домашнее задание: задача из учебника № 253, № 259.

Урок 5. Решение задач.

Цель: научить практическому применению знаний учащихся по теме к решению задач.

Задачи: образовательная – закрепить навыки в решении задач на нахождение площади поверхности пирамиды;

развивающая — развивать умение логически мыслить, делать выводы;

воспитательная – воспитывать дисциплинированность, аккуратность.

Вид урока : практикум по решению задач.

Оборудование: интерактивная доска.

1. Организационный момент (2 мин).

2. Теоретический опрос (5 мин).

3. Практикум по решению задач (30 — 35 мин).

4. Подведение итогов. Домашняя работа (3 мин).

1.Учитель организует учащихся к уроку.

2. Учитель: Ответь на следующие вопросы:

Из чего складывается поверхность пирамиды?

Как найти боковую поверхность правильной пирамиды?

Как найти боковую поверхность усеченной пирамиды?

3.Учитель: Сегодня мы будем решать задачи на нахождение площади поверхности пирамиды (по своему усмотрению учитель может выбрать другие задачи).

Задача № 243 . Основанием пирамиды DABC является треугольник АВС, у которого АВ=АС=13 см, ВС=10 см; ребро AD перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение: площадь боковой поверхности пирамиды складывается из суммы площадей боковых граней. Две грани будут равны и являются прямоугольными треугольниками, их площадь равна см2. Третья грань является равнобедренным треугольником. Найдем высоту основания, она равна см. Найдем высоту боковой грани, она равна см. Отсюда, площадь боковой грани равна см2. Площадь свей поверхности равна см2.

Задача № 264. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, если сторона её основания равна а, а площадь боковой грани равна площади сечения, поведенного через вершину пирамиды и большую диагональ основания.

Решение: периметр основания равен 6а. Большая диагональ основания равна 2а, площадь сечения равна , а площадь боковой грани равна , отсюда . Следовательно, боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 30º. Радиус вписанной в основание окружности равен , таким образом получаем, что площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды равна см2.

Задача № 270 . Основаниями усеченной пирамиды являются правильные треугольники со сторонами 5 см и 3 см. Одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания и равно 1 см. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.

Решение: две грани усеченной пирамиды будут являться прямоугольными трапециями и будут равны между собой, их площадь равна см2. Третья грань является равнобедренной трапецией, найдем высоту этой грани, а затем и площадь. Боковое ребро пирамиды равно см, высота боковой грани равна см, площадь боковой грани равна см2. Таким образом, площадь боковой поверхности усеченно пирамиды равна 16 см2.

4. Учитель: Давайте подведем итог.

Учитель оценивает учащихся (знание теории, активную работу на уроке), задает домашнее задание: задача из учебника № 257, № 266.

Урок 6. Самостоятельная работа.

Цель: проверить уровень освоенности материала по данной теме, умение решать различные учебные задачи

Задачи: образовательная – проконтролировать уровень ЗУНа у учащихся;;

развивающая — развивать умение самостоятельно мыслить, делать выводы.

воспитательная – дисциплинированность, аккуратность.

Методические рекомендации к уроку: учащимся предлагаются дифференцированные задания по вариантам.

При оценивании работы учитывается:

— объём выполненной работы.

1. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 4 см, а длина диагонали основания равна см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

2. Основанием пирамиды МАВС служит прямоугольный треугольник АВС ( ے С =90º), ВС = а, ے А=30º. Боковые ребра наклонены к основанию под углом 60º. Найдите высоту пирамиды.

3. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, а боковые грани наклонены к нему под углом 60º. Найдите площадь сечения, поведенного через среднюю линию основания параллельно боковой грани.

1. В пирамиде МАВС боковое ребро МА перпендикулярно плоскости основания АВС, а грань МВС составляет с ним угол 60º, АВ=АС=10, ВС=16. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

2. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, а высота равна 2а. Найдите углы наклона боковых ребер и боковых граней к плоскости основания.

3. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 6 и 8 см, а боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 45º. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.