Задание 12. Математика ЕГЭ. Найдите точку максимума функции y = (2x – 3)cosx – 2sinx + 2, принадлежащую промежутку (0; π/2)

Задание.

Найдите точку максимума функции y = (2x – 3)cosx – 2sinx + 2, принадлежащую промежутку (0; π/2).

Решение:

Точка максимума функции – это точка экстремума функции, в которой производная меняет свой знак с положительного на отрицательный. Для вычисления точек экстремума необходимо найти производную функции и приравнять ее к нулю.

Функция определена на всей числовой прямой.

Найдем производную функции:

y´ = (2x – 3)´·cosx + (2x – 3)·(cosx)´ – (2sinx)´

y´ = 2cosx – (2x – 3)sinx – 2cosx = – (2x – 3)sinx

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю хотя бы один из множителей, а другой при этом не теряет смысла, т. е.

3 – 2x = 0 и sinx = 0

Решим 1 уравнение:

Решим 2 уравнение:

x = 0 не принадлежит промежутку (0; π/2)

Отметим точку x = 1,5 на числовой прямой, учитывая промежуток (0; π/2) и найдем знаки производной функции на получившихся промежутках, подставляя любые значения из промежутков в найденную производную (см. рисунок)

В точке x = 1,5 производная функции меняет знак с положительного на отрицательный, значит, это искомая точка максимума.

Ответ: 1,5

Найдите точку максимума функции y = (2x-5) cosx — 2sinx..

Найдите точку максимума функции y = (2x-5)cosx — 2sinx + 5, принадлежащую промежутку (0:2п)

* Для начала предположим наш промежуток, примерно: (0:6)
* Найдем производную функции;
y’ = (2x-5)’ * cosx + (2x-5) * (cosx)’ — 2cosx = 2cosx + (2x — 5) * (-sinx) — 2cosx = — (2x — 5) * (sinx) = (2x — 5) * (sinx)
* Приравняем производную к нулю:
(2x — 5) * (sinx) = 0
(2x — 5) = 0 или sinx = 0
2x = 5 x = п * n, n Є Z
x = 5/2 = 2.5 Є (0:2п) Один корень, принадлежащий промежутку — П

* Знак меняется с плюса на минус, точкой максимума является 2.5
Ответ: 2.5

Задача 12389 Найдите точку максимума функции

Найдите точку максимума функции у=(2х-3)cosx-2sinx+20, принадлежащую промежутку (0; Pi/2).

у=(2х-3)cosx-2sinx+20
Для нахождения экстремумов функции, найдём производную и приравняем её к нулю
y’=(2х-3)’cosx+(2х-3)(cosx)’-(2sinx)’ = 2cosx-(2x-3)sinx-2cosx = (3-2x)sinx
(3-2x)sinx=0
3-2x=0 или sinx=0
х=3/2 или х=Pin, n∈Z — ни один корень из данной серии корней не входит в заданный промежуток
В точке х=3/2 производная меняет знак с "+" на "-", значит, х=3/2=1,5 — точка максимума функции на заданном промежутке.